Matematik mantiq va diskret matematika

bul algebrasi deb yuritiladi.
J.Bul mantiq va matematika operatsiyalari o‘rtasidagi o‘xshashlikka asoslanib mantiqiy xulosalalarga algebraik simvolikani qo‘lladi. U mantiq operatsiyalarini formallashtirish (rasmiylashtirish) uchun quyidagi simvollarni (belgilarni) kiritdi:
– predmetlarni belgilash uchun ( , , , ...) lotin aifbosining (alfavitining) kichik harflarini;
– predmetlar sifatini belgilash uchun ( , , , ...) lotin aifbosining bosh harflarini;
– biror mulohazaga akslantirilgan hamma predmetlar sinfi 1 ni;
– ko‘rilishi lozim bo‘lgan predmetlar yo‘qligining belgisi 0 ni;
– mulohazalarni mantiqiy qo‘shishning “+” belgisini;
– mulohazalarni mantiqiy ayirishning “–” belgisini;
– mulohazalar tengligining “=” belgisini.
Simvolik bul algebrasida mantiqiy ko‘paytirish amali, xuddi algebraik qiymatlarni ko‘paytirishdagidek kommutativlik

va assotsiativlik

xossalariga ega. Mantiqiy qo‘shish amali ham kommutativlik va assotsiativlik xossalariga ega:
, .
Bul algebrasida yig‘indi ko‘paytmaga nisbatan distributivlik qonuniga bo‘ysunadi:
.
J.Bul algebraik simvolikalar yordami bilan hamma mantiqiy operatsiyalarni ikki qiymatli (1 va 0) algebra qonunlariga bo‘ysunadigan formal (rasmiy) operatsiyalarga keltirishni o‘yladi. Bul funksiyalari va uning argumentlari faqat ikki qiymat – «chin» va «yolg‘on» qiymatlar qabul qiladi.
Mantiq algebrasi qoidalari orqali oddiy mulohazalardan murakkab mulohazalarni hosil qilish mumkin. Masalan:
– bir vaqtda va xossalarga ega bo‘lgan predmetlar klassi;
– xossaga ega va xossaga ega bo‘lmagan predmetlar klassi;
– xossaga ega va xossaga ega bo‘lmagan predmetlar klassi;
– va xossalarga ega bo‘lmagan predmetlar klassi.
Hozirgi matematik mantiq fanini yaratishda fundamental rol o‘ynagan Bul simvolik logikasi mukammallashtirishga muhtoj edi. Masalan, Jevons fikricha mantiqiy ayirish operatsiyasi ayrim noqulaylikka olib keladi.
O. de Morgan Bul g‘oyalarini rivojlantirib, mantiq hisobini ehtimollar nazariyasi teoremalarini asoslashga tatbiq etdi va simvolik hisobni yaratish ustida ishladi.
Ch.Pirs matematikani analiz qilishda mantiqiy munosabatlarni qurol sifatida ishlatishni asoslab berdi, u G.Fryoge ishlaridan xabarsiz holda, mantiqqa kvantor tushunchasini kiritdi.
G.Fryoge matematika prinsiplarini mantiq prinsiplaridan keltirib chiqarish ustida ishlab, mantiq hisobini yaratdi.
Bul va O. de Morgan asarlarida matematik mantiq o‘ziga xos algebra – mantiq algebrasi ko‘rinishida shakllandi.
Keyinchalik Bul metodlari U.Jevons, E.Shryoder (1853-1901) va P.S.Poreskiy (1846-1907) asarlarida o‘z rivojini topdi.
Bul algebrasini U.Jevons va E.Shryoder mukammallashtirishdi. U.Jevons «Sof mantiq» (1864), «O‘xshashlarni almashtirish» (1869) va «Fan asosi» (1874) nomli kitoblarida mantiq sohasida almashtirish prinsipiga asoslangan o‘zining nazariyasini tavsiya etdi. 1877 yili E.Shryoder «Der operationskreis des Logikkalkuls» kitobida algebraik mantiq asoslarini yoritdi.
Matematik mantiq fanining rivojlanishiga rus olimi P.S.Poreskiyning ham katta xizmati bor. Bul, Jevons va Shryoderlar yutuqlarini umumlashtirib, «Mantiqiy tenglamalarni yechish usullari va matematik mantiqning teskari usuli haqida» (1884) nomli kitobida mantiq algebrasi apparati rivojini ancha ilgari surdi. Amerikalik olim A.Bleyk P.S.Poreskiy metodini E.Shryoder metodidan ustun qo‘ygan.
P.S.Poreskiy sistemasida quyidagi belgilar qabul qilingan:
1) bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan va bir-biri bilan hech qanday munosabatda bo‘lmagan predmetlar klassini lotin alifbosining kichik harlflari , , , … bilan belgilash;
2) sinflarni inkor etish uchun lotin alifbosining kichik harlflaridan keyin «emas» so‘zini qo‘shish, ya’ni emas, emas va hokazo kabi belgilash;
3) , , , … predmetlar sinfi xususiyatiga ega bo‘lmagan predmetlar sinfini , , , … bilan belgilash;
4) ikki yoki ko‘proq sinflar birgalikda bir nechta bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan xossalarga ega bo‘lishini , , … ko‘paytmalar bilan belgilash; Bu operatsiya kommutativlik va assotsiativlik xossalariga ega:
, ;
5) mantiqiy qo‘shish amalini «+» belgi bilan begilash, bu operatsiya ham kommutativlik va assotsiativlik xossalariga ega:
, ;
6) hech qanday mazmunga ega bo‘lmagan sifat formasini 0 (mantiqiy 0) bilan belgilash;
7) mumkin bo‘lgan sinflarni o‘z ichiga olgan sifat formasini 1 (mantiqiy 1) bilan belgilash; 0 va 1 ushbu xossalarga ega:
, ;
8) sinfning inkorini sinf bilan belgilash;
9) qo‘shish, ko‘paytirish va inkor amallaridan tashqari ekvivalentlik amalini kiritilgan va uni «=» simvol bilan belgilangan. Bu amal uchta qoidaga bo‘ysunadi: a) agar tenglikning chap va o‘ng tomonlariga bir xil sinflarni qo‘shsak, u holda tenglik o‘rinli, ya’ni bo‘ladi; b) agar, bo‘lsa, u holda bo‘ladi; d) agar, bo‘lsa, u holda bo‘ladi, bu yerda , .
XIX asrning oxirida matematik nazariyalar shunday rivojlandiki, endi mantiq masalalari matematikaning o‘zida ham muhim ahamiyatga ega bo‘lib, mavjud mantiqiy qurollar matematika talablariga javob bera olmay qoldi. Ayrim matematik muammolarni yechishdagi qiyinchiliklar ularning mantiqiy tabiatiga bog‘liqligi aniqlandi. Shuning uchun ham matematik mantiq tor algebraik doiradan chiqib, jadal rivojlana boshladi. Bu yo‘nalishda birinchi bo‘lib G.Fryoge va italyan matematigi J.Peano (1858-1932) tadqiqotlar olib borishdi, ular matematik mantiqni arifmetika va to‘plamlar nazariyasini asoslash uchun qo‘lladilar.
Matematik mantiqning keyingi taraqqiyoti uchun B.Rassel va A.Uaytxedning uch tomlik «Matematika prinsiplari» (1910-1913 y.), D.Gilbertning ishlari, hamda K.Gyodelning tadqiqotlari juda muhim ahamiyatga ega bo‘ldi. Matematik mantiqning rivojlanishida Rossiya matematiklari I.I.Jegalkin, V.I.Glivenko, A.N.Kolmogorov, P.S.Novikov, A.A.Markov va boshqalar o‘zlarining ulkan hissalarini qo‘shdilar.
1903 yili B.Rasselning Londonda nashr etilgan «Matematika prinsiplari» kitobida mulohazalar va sinflar hisob nazariyasi ishlab chiqildi. B.Rasselning A.Uaytxed bilan hamkorlikda yozilgan 3 tomlik «Matematika prinsiplari» kitoblari matematik mantiq fanining rivojlanishida katta rol o‘ynadi. Bu kitoblarda mulohaza, sinf va predikatlar hisobi deyarli to‘liq aksiomalashtirilgandi va formallashtirildi. Ular hozirgi vaqtda o‘rganilayotgan matematik mantiq ko‘rinishini yaratdilar.
D.Gilbert va nemis olimi V.Akkerman 1928 yilda chop etilgan «Nazariy mantiqning asosiy xususiyatlari» kitoblari matematik mantiqning yanada rivojlanishida muhim ahamiyat kasb etdi. Bu kitobning mualliflari mantiqiy amallarda formallashtirish metodini tatbiq etib katta yutuqqa erishdilar.
Bul, Shryoder va Poreskiyning mantiq algebrasiga tayanib, I.I.Jegalkin logik qo‘shish va logik ko‘paytirish amallarini quyidagicha aniqladi:
1) , , , ;
2) , , , .
Logik (mantiqiy) qo‘shish va ko‘paytirish amalidan va kelib chiqadi.
Mantiqiy operatsiyalarning simvolik ko‘rinishlari Jegalkin sistemasida quyidagicha bo‘ladi:
; ; ;
; .
Jegalkin simvolik mantiqqa umumiylik va mavjudlik kvantori degan tushunchalarni ham kiritdi va predikatlar algebrasini yaratdi.
XX asrning 50- yillarida ko‘p qiymatli mantiq sohasida ilmiy izlanishlar olib borildi. Ko‘p qiymatli mantiqda mulohazalar chekli (3 va undan ko‘p) va cheksiz chinlik qiymatlari oladi. Matematik mantiqning bu bo‘limining asoschilaridan biri polyak olimi Ya.Lukasevich (1878-1954) hisoblanadi. U dastlab (1920) uch qiymatli, 1954 yilda to‘rt qiymatli va nihoyat cheksiz qiymatli mantiqni yaratdi.
Ko‘p qiymatli mantiq problemalari (muammolari) bilan