|
vertikal asimptotalar. Faraz qilaylik a nuqtadagi bir tomonli limitlarning kamida biri cheksizga teng bo`lsin. U holda y=f(x) egri chiziqdagi M(x,y) nuqta x ® a da koordinatalar boshidan cheksiz uzoqlashadi, shu nuqtadan x=a to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofa MN=|x-a| nolga intiladi. Demak, ta`rifga ko`ra x=a to`g`ri chiziq y=f(x) egri chiziqning (funksiya grafigining) vyertikal asimptotasi bo`ladi.
Ravshanki, haqiqiy sonlar to`plamida uzluksiz bo`lgan funksiyalar uchun vyertikal asimptota mavjud emas. Vyertikal asimptota faqat ikkinchi tur uzilish nuqtalarida bo`lishi mumkin.
Misol. Ushbu funksiyaning f(x)= vyertikal asimptotalarini toping.
18
Demak, u juft.
Demak, va to‘g‘ri chiziqlar vertikal asimptotalar bo‘ladi.
( da ham da ham ),
Demak, to‘g‘ri chiziq da ham da ham gorizontal asimptota bo‘ladi.
Funksiyaning monotonlik oraliqlarini aniqlaymiz va ekstremumlarini topamiz.
.
Birinchi tartibli hosila va da mavjud emas va da nolga teng. Bu nuqtalar berilgan funksiyaning aniqlanish sohasini to‘rtta i ntervallarga ajratadi. Hosilaning bu intervallardagi va ha r bir birinchi tur kritik nuqtadan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini chizmada belgilaymiz:
Demak, funksiya intervalda o‘sadi va intervalda kamayadi. maksimum nuqta, .
Funksiyaning qavariqlik va botiq-lik oraliqlarini hamda egilish nuqtalarini aniqlaymiz.
Ikkinchi tartibli hosila va nuqtalarda mavjud emas.
hosilaning intervallardagi va har bir ikkinchi tur
19
kritik nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini tekshiramiz:
Demak, funksiyaning grafigi intervalda qavariq, va intervallarda botiq bo‘ladi. Funksiya grafigining egilish nuqtasi yo‘q.
bandlar asosida funksiya grafigini chizamiz (17-shakl).
2. funksiyani tekshiramiz va grafigini chizamiz.
Funksiyaning aniqlanish sohasi:
da bo‘ladi. Funksiya va o‘qlarini nuqtada kesadi.
Funksiya va intervallarda musbat ishorali.
Funksiya uchun va bo‘ladi. Demak,
u umumiy ko‘rinishdagi funksiya.
Funksiya aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘lgani uchun u vertikal asimptotaga ega emas.
.
Demak, da to‘g‘ri chiziq gorizontal assimptota.
Demak, da funksiya assimptotaga ega emas.
Funksiyaning monotonlik intervallarini aniqlaymiz va ekstremumlarini topamiz.
Hosila va da nolga teng. Bu nuqtalar berilgan funksiyaning aniqlanish sohasini uchta intervallarga ajratadi.
Hosilaning bu intervallardagi va har bir birinchi tur kritik nuqtadan chapdan o‘ngga o‘tgandagi ishoralarini chizmada belgilaymiz:
Demak, funksiya intervalda o‘sadi va va intervallarda kamayadi. minimum nuqta, va maksimum
20
nuqta
Funksiyaning qavariqlik va botiqlik intervallarini hamda egilish nuqtalarini aniqlaymiz.
.
Ikkinchi tartibli hosila va nuqtalarda nolga teng.
Bu nuqtalar funksiyaning aniqlanish
ohasini
Intervallarga ajratadi. hosilaning bu intervallardagi va ikkinchi tur kritik nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tgandagi ishora- larini chizmada belgilaymiz:
Demak, funksiyaning grafigi intervalda qavariq, va intervallarda botiq bo‘ladi, va funksiya grafigining egilish nuqtalari.
bandlar asosida funksiya grafigini chizamiz (18-shakl).
21
Xulosa
F araz qilaylik, M va N abssissasi x ga teng bo`lganda egri chiziqdagi va asimptotadagi nuqtalar, (40-rasm)da MP esa M nuqtadan asimptotagacha bo`lgan masofa, (/2) asimptotaning Ox o`qining musbat yo`nalishi bilan hosil qilgan burchagini ko’rdik. U holda MNP uchburchakdan MP=MN cos, bundan esa
MN=MP/cos
Tenglikka ega bo`ladi. Bu tenglikdan, agar MP nolga intilsa, uholda MN ham nolga intilishi, va aksincha, agar MN nolga intilsa, u holda MP nolga intilishi kelib chiqadi.
Shunday qilib, agar x+ yoki x - da
40-rasm
f(x)-kx-b ayirma nolga intilsa, u holda y=kx+b to`g`ri chiziq y=f(x) funksiya grafigining asimptotasi bo`lar ekan.
Bundan (f(x)-kx-b)=0 shart y=kx+b to`g`ri chiziqning y=f(x) funksiya grafigining og`ma asimptotasi bo`lishi uchun zaruriy va yetarli shart ekanligi kelib chiqadi.
Xususan, y=b gorizontal asimptota bo`lishi uchun (f(x)-b)=0, ya`ni f(x)=b shartning bajarilishi zarur va yetarli.
22
Amalda og`ma asimptotalarni topish uchun quyidagi teoremadan foydalaniladi.
y=f(x) funksiya grafigi y=kx+b og`ma asimptotaga ega bo`lishi uchun
va b=
chekli limitlarning mavjud bo`lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zaruriyligi. y=kx+b to`g`ri chiziq y=f(x) funksiya grafigining x dagi asimptotasi bo`lsin, ya`ni (f(x)-kx-b)=0. U holda f(x)-kx-b=(x) tenglik o`rinli, bu yerda (x) x da cheksiz kichik funksiya. So`ngi tenglikni kuyidagicha yozib olish mumkin: f(x)=kx+b+(x). Demak,
= =k, = (b+(x))=b
tengliklar o`rinli bo`ladi.
Yetarliligi. Aytaylik va b=
chekli limitlar mavjud bo`lsin. So`ngi (f(x)-kx)=b tenglikni quyidagicha yozib olish mumkin: f(x)-kx=b+(x), bu yerda (x) x da cheksiz kichik funksiya. Demak, f(x)-kx-b=(x), ya`ni (f(x)-kx-b)=0. Bu esa y=kx+b to`g`ri chiziq y=f(x) funksiya grafigining x dagi asimptotasi ekanligini bildik.
23
Foydalanilgan adabiyotlar
1 . В. A. Илик, В. A. Садовничев, B. X. Cедов “Матемачиский анализ M: 1979.
Do'stlaringiz bilan baham: |
