Matematik analiz fanidan

Zarurligi. Shartga ko’ra f (x) funksiya a,b intervalda o’zgarmas,

yani	. Ravshanki, bu holda intervalda bo’ladi. Yetarliligi. Shartga ko’ra funksiya intervalda chekli
hosilaga ega va . Endi intervalda istalgan va tayinlangan
nuqtalarni olib,	yoki	segmentni qaraylik:

f (x)  c, c  const a,b f (x)  0 f (x) a,b f (x)
f (x)  0a,b x x0 x0 , x x , x0 x0 , x a,b,
x , x0  a,b. Lagranj teoremasiga (6–bob, 7–teoremaga qarang ) ko’ra x0
bilan x nuqtalar orasida shunday c(c(x0 , x)) nuqta mavjudki,( f (x)  0
bo’lishini hisobga olgan holda)
f (x)  f (x0 )  f (c)(x  x0 )  0 (7.1)

tenglik orinli bo’ladi. tenglikdan esa

kelib chiqadi. Bu

(7.1) f (x)  f (x0 ) f (x) funksiya a,b intervalda o’zgarmas ekanini anglatadi.
1–natija. Agar f (x)va g(x)funksiyalara,b intervalda chekli f (x) va
g(x) hosilaga ega bo’lib, shu intervalda
f (x)  g(x)
6
tenglik o’rinli bo’lsa, u holda f (x) bilan g(x) funksiyalar a,b intervalda
bir biridan o’zgarmas songa farq qiladi:
f (x)  g(x)  C (c  const)
Haqiqatan ham,
F(x)  f (x)  g(x) (7.2)

deb, da
bo’lishini topamiz. Isbot etilgan teoremaga ko’ra	bo’ladi.
munosabatdan	ekani	kelib	chiqadi.

a,b F(x)f(x)g(x)0
F(x)C(7.2)
f (x)  g(x)  C


7

Funksiyaning monoton bo’lishi


f(x)a,b itervalda aniqlangan bo’lsin.
2–teorema. f (x) funksiya a,b itervalda chekli f (x) hosilaga ega
bo’lsin.Bu funksiya shu intervalda o’suvchi ( kamayuvchi)bo’lishi uchun
a,bintervalda
f(x)0,(f(x)0)
tenglik o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
Zarurligi. Shartda ko’ra f (x) funksiya a,b da chekli f (x) hosilaga
ega bo’lib, u a,b itervalda o’suvchi ( kamayuvchi). x(a,b) nuqtani olib, u
bilan birga (x  x)(a,b) nuqtada ham qaraymiz. U holda
x  0
f (x)  f (x  x) ( f (x)  f (x  x))
x  0 f (x)  f (x  x) ( f (x)  f (x  x))
munosabatlar o’rinli bo’ladi va bu munosabatlardan har doim
( )  0 xf x x    ( ) ( ) 0xf x x f x(7.3)
tengsizlik kelib chiqadi.
Ma’lumki, lim ( ) ( )0f xx f x x x   (7.4)
(7.3) va (7.4) munosabatlardan (4–bob, 4–§ ga qarang ) intervalning
barcha nuqtalarida
f (x)  0 , ( f (x)  0)
tenglik o’rinli bo’lishini topamiz.
Yetarliligi. Shartga ko’ra f (x) funksiya a,b intervalda chekli f (x)
hosilaga ega bo’lib, shu intervalda f (x)  0 ( f (x)  0) tengsizlik o’rinli.
x(a,b) va (x  x)(a,b), x  0 nuqtalarni olaylik. Bu holda
8
x, x  x  (a,b) bo’lib, x, x  x segmentda f (x) funksiya Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Lagranj teoremasiga muvofiq x va
x  x nuqtalar orasida shunday c(x  c  x  x) nuqta mavjutki, ushbu
f (x  x)  f (x)  f (c)x
tenglik o’rinli bo’ladi.
Demak,


f (x  x)  f (x)  0 ( f (x  x)  f (x)  0)

bundan	funksiya intervalda o’suvchi ( kamayuvchi) bo’lishi kelib
chiqadi.

f (x) a,b
Yuqorida ketma-ketlikning chegaralanganligi uning limitga ega bo‘lishi uchun zaruriy shart bo‘lishini o ‘m atgiin cdik. Limitga ega bo‘lgan ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi. Lekin teskari mulohaza noto‘g‘ri bo‘lishi mumkin. I l;ir qanday chegaralangan ketma-ketlikning limiti mavjud boMavermaydi. Limiti mavjud bo‘ladigan ketma-ketlik i liegaralangan bo‘lishdan tashqari yana qandaydir xususiyatga ega bo‘lishi kerak. Ketma-Kfetlikning bunday xususiyati uning monotonligidir. Ketma-ketlikning limiti mavjud bo‘lishining asosiy belgisi uning bir vaqtda cliegaralangan va monoton bolishidir. Chegaralanganlik va monotonlik cheksiz ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishining yetarli shartlarini ifodalaydi. Shunday ekan biz berilgan ketma-ketlikning m onotonlik xususiyatini va 23 www.ziyouz.com kutubxonasi chegaralanganligini ko‘rsata olsak, albatta, bunday ketmaketlik chekli limitga ega bo‘ladi. Keyingi vazifa esa limitni hisoblash usulini
9
tanlab, uni topishdan iboratdir. T eorem a (Veyershtrass). Har qanday monoton
chegaralangan ketma-ketlik limitga ega bo ‘ladi. Bu teoremaning isbotini
keltirmaymiz. Veyershtrass teoremasi ketma-ketlik limitining mavjud bo‘lishining yetarli shartlarini ifodalaydi. Lekin limitni topish usulini ko‘rsata olmaydi. Ko‘pchilik hollarda ketma-ketlik limitining mavjudligi haqida m a’lum ot berish bu limitni topish uchun yetarli bo‘ladi.




10

Funksiyaning_qavariqligi_vabotiqligi'>Funksiyaning qavariqligi vabotiqligi
Funksiyaning egilish nuqtalari
1-ta’rif.  funksiyaning grafigi  oraliqning istalgan nuqtasidan unga o’tkazilgan urinmadan pastda yotsa, funksiya grafigi shu oraliqda qavariq deyiladi.
2-ta’rif.  funktsiyaning grafigi  oraliqning istalgan nuqtasidan unga o’tkazilgan urinmadan yuqorida yotsa, funksiya grafigi shu oraliqda botiq deyiladi.
3-ta’rif. Funksiya grafigining qavariq qismini, botiq qismidan ajratuvchi  nuqta egilish nuqtasi deyiladi.
Funksiya grafigining qavariq yoki botiq bo’lishining yetarli shartlari:
1)  oraliqda differentsiallanuvchi  funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi manfiy, ya’ni  bo’lsa, bu oraliqda funksiya grafigi qavariq bo’ladi;
2)  oraliqda differentsiallanuvchi  funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi musbat, ya’ni  bo’lsa, bu oraliqda funksiya grafigi botiq bo’ladi.
va  mavjud bo’lmagan nuqtalarga 2-tur kritik nuqtalar deyiladi.
Egilish nuqtalari mavjud bo’lishining yetarli sharti.  nuqta  funksiya uchun ikkinchi tur kritik nuqta bo’lsa va  ikkinchi tartibli hosila bu nuqtadan o’tishda ishorasni o’zgartirsa,  abstsissali nuqta egilish nuqtasi bo’ladi.
Shunday qilib, funksiya grafigining qavariqlik va botiqlik oraliqlarini, egilish nuqtalarini topish uchun, oldin funksiya aniqlanish sohasini ikkinchi tur kritik nuqtalar bilan oraliqlarga bo’lish va bu oraliqlarda ikkinchi tartibli hosila ishorasini tekshirish kerak. Keyin yetarli shartlardan foydalanib, qavariqlik, botiqlik oraliqlari va egilish nuqtalari aniqlanadi.


11
 Funksiya grafigining asimptotalari.
4-ta’rif.  funksiya grafigidagi nuqta shu grafik bo’ylab cheksiz uzoqlashganda, undan biror to’g’ri chiziqqacha masofa nolga intilsa, bu to’g’ri chiziq  funksiya grafigining asimptotasi deyiladi.



bo’lsa,  to’g’ri chiziq  funksiya grafigining vertikal asimptotasi bo’ladi.



yoki  limitlar mavjud bo’lsa,  to’g’ri chiziq  funksiya grafigining og’ma asimptotasi bo’ladi.  bo’lsa,  gorizantal asimptota bo’ladi.


 
  funksiya  intervalda differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda  funksiya grafigining  ,  nuqtada urinmasi mavjud bo‘ladi.
2-ta’rif. Agar  intervalning istalgan nuqtasida  funksiya grafigi unga o‘tkazilgan urinmadan yuqorida (pastda) yotsa, funksiya grafigi  intervalda botiq (qavariq) deyiladi.
 Funksiya grafigining botiq qismini qavariq qismidan ajratuvchi nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi deb ataladi (14-shakl).
12
5-teorema. Agar   funksiya  intervalda ikkinchi tartibli hosilaga ega va  da  bo‘lsa, u holda funksiya grafigi  intervalda qavariq (botiq) bo‘ladi.
Isboti.  da  bo‘lsin. Funksiya grafigida  abssissali ixtiyoriy  nuqta olamiz (15-shakl). Funksiyaning grafigi bu urinmadan pastda yotishini ko‘rsatamiz. Buning uchun   nuqtada  egri chiziqning  ordinatasi bilan urinmaning  ordinatasini solishtiramiz.
  Urinma tenglamasini tuzamiz:
yoki
U holda

Lagranj teoremasiga ko‘ra bu yerda  bilan  ning orasida yotadi. Shu sababli
 yoki .
 ayirmaga Lagranj teoremasini takror qo‘llaymiz:
 bu yerda  bilan  ning orasida yotadi.
Demak, 
 
Bu tengsizlikni tekshiramiz:

1. 
   agar  bo‘lsa, u holda  bo‘ladi va  . Bundan  yoki ;
   

13
2) agar  bo‘lsa, u holda  bo‘ladi va  . Bundan  yoki .
Demak,  da urinmaning ordinatasi funksiya grafigining ordinatasidan katta bo‘ladi va  intervalda funksiya grafigi qavariq.
da funksiya grafigi botiq bo‘lishi shu kabi isbotlanadi.
Funksiya grafigining egilish nuqtasini topish quyidagi teoremalarga asoslanadi.
6-teorema (egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti). Agar   funksiya  intervalda uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega va   nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lsa, u holda  bo‘ladi.
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni  , aniqlik uchun  , bo‘lsin. Teoremaning shartiga ko‘ra ikkinchi tartibli hosila uzluksiz. U holda  hosila  nuqtaning biror atrofida musbat bo‘ladi va funksiya grafigi bu atrofda botiq bo‘ladi. Bu  nuqta egilish nuqtaning abssissasi bo‘ladi mulohazasiga zid. Demak, qilingan faraz noto‘g‘ri va .
 bo‘ladigan nuqtalarning barchasi ham funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lmaydi. Masalan,  funksiya grafigining  nuqtasi egilish nuqta emas, ammo  da . 
Demak,  shart egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti bo‘ladi.
7-teorema (egilish nuqta mavjud bo‘lishining etarli sharti) funksiya  nuqtaning biror  atrofida ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin. Agar  atrofning  nuqtadan chap va o‘ng tomonlarida hosila har xil ishoraga ega bo‘lsa, u holda  nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi.
Isboti.  da  , da bo‘lsin. 
U holda 5-teoremaga ko‘ra  nuqtadan chapda funksiya grafigi botiq va o‘ngda qavariq bo‘ladi. Demak,  nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi. 
da  va  da  bo‘lgan hol uchun teorema shu kabi isbotlanadi.
14
Bu teorema funksiya  nuqtaning biror  atrofida ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lib, nuqtada mavjud bo‘lmasa ham o‘rinli bo‘ladi. Shu sababli egilish nuqtalarni ikkinchi tartibli hosila nolga teng bo‘lgan
yoki uzilishga ega bo‘lgan nuqtalar, ya’ni ikkinchi tur kritik nuqtalar orasidan
izlash kerak.
Misol
funksiya grafigini botiq va qavariqlikka tekshiramiz.


Ikkinchi tartibli hosila  nuqtalarda nolga teng va mavjud emas.
  hosilaning bu nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini tekshiramiz:
Demak, funksiyaning grafigi  va  intervallarda qavariq,  va  intervallarda botiq
bo‘ladi.  nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi.
 Funksiya grafigining asimptotalari
 Egri chiziqning asimptotasi deb shunday to‘g‘ri chiziqqa aytiladiki, egri chiziqda yotuvchi  nuqta egri chiziq bo‘ylab harakat qilib koordinata boshidan chеksiz uzoqlashgani sari  nuqtadan bu to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa nolga intiladi.
Bunda  nuqta asimptotaga juda yaqinlashib boradi, lеkin uni kеsib o‘tmaydi (16-shakl).

Uch turdagi, ya’ni vertikal, gorizontal va og‘ma asimptotalar mavjud.
15
  Agar   yoki   limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi cheksiz (  yoki ) bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining vertikal asimptotasi deyiladi.
Masalan, funksiya grafigi uchun  to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota, chunki  va  .
Agar shunday  va sonlari mavjud bo‘lib,  da  funksiya

ko‘rinishda ifodalansa  to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining og‘ma asimptotasi deyiladi.
8-teorema.   funksiya grafigi  og‘ma asimptotaga ega bo‘lishi uchun
,
bo‘lishi zarur va etarli.
Isboti. Zarurligi.  funksiya grafigi  og‘ma asimptotaga ega bo‘lsin. U holda og‘ma asiimptotaning ta‘rifiga ko‘ra  bo‘ladi. Bundan
,
kelib сhiqadi.
16
Etarliligi.  ,   bo‘lsin. 
U holda  dan  kelib сhiqadi. Demak,  da   bo‘ladi. Bu esa  to‘g‘ri chiziq  funksiya grafigining asimptotasi ekanini bildiradi.
Agar  ,   limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmasa yoki cheksiz bo‘lsa,  funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega bo‘lmaydi.
Agarr  bo‘lsa,   bo‘ladi. Bunda   to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining gorizontal asimptotasi deyiladi.
Izoh.  funksiya grafigining asimptotalari  da va  da har xil bo‘lishi mumkin. Shu sababli  ,  limitlarni
aniqlashda  va  hollarini alohida qarash lozim.
Misol
funksiya grafigining asimptotalarini topamiz.
.
Demak,   to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota.
,
,
Bundan  . Demak, to‘g‘ri chiziq og‘ma asimptota.
18
 Funksiyaning asimptotalari.