Massa va zichlik. Eyler koordinatalarida massaning saqlanish qоnuni. Uzluksizlik tenglamasi

Massa va zichlik.

Eyler koordinatalarida massaning saqlanish qоnuni.

Uzluksizlik tenglamasi.
Biror koordinata sistemasiga nisbatan absolut vaqt o’zgarishida harakatda bo’lgan va inersiya xossasiga ega bo’lgan jism moddiy jismni tashkil etadi. Inersiya xossasi jism massasi orqali xarakterlanadi. Tutash muhit massasi o’rganilayotgan moddiy jismning shu tutash muhit egallagan fazoning bo’lagidagi massasi tushuniladi. Tutash muhit ayrim ixtiyoriy bo’laklari massasi yig’indisi shu tutash muhit massasi deb olinadi. Ixtiyoriy koordinatalar sistemasi va istalgan vaqt uchun individual ajratilgan tutash muhit massasi o’zgarmasdir - bu massaning saqlanish qonunidir. Albatta, absolut qattiq jism uchun massaning saqlanish qonuni deformatsiyalanish xossasiga ega bo’lgan tutash muhit massasining saqlanish qonunidan hosil qilish mumkin: buning uchun harakat jarayonida individual hajm va uning ixtiyoriy bo’laklarini o’z ichiga olgan moddiy jismlar ham o’zgarmasligi kerak.

Agar individual hajmdagi massani desak,

yoki (1)

tenglamalarni yoza olamiz.

Tutash muhit biror vaqtda hajmda massaga ega deylik. U holda shu moment uchun , ya’ni o’rtacha zichlikni kiritish mumkin:

(2)

Tutash muhit egallagan hajmning bo’lagi sifatida hajm yetarli darajada kichik qilib olinsa, har bir hajmdagi o’rtacha zichlik turlicha bo’lishi mumkin va bu miqdor muhit massasining o’zi egallagan hajm bo’ylab qanday taqsimlanganligini o’rtacha xarakterlaydi. Haqiqiy zichlik quyidagicha aniqlanadi:

(3)

Cheksiz kichik hajmdagi muhit uchun deb yozish mumkin. Agar muhit hajmni egallasa, uning massasini, ravshanki, quyidagicha hisoblash mumkin:

, (4)

O’zgaruvchan hajm bo’yicha olingan integralni hisoblash formulasidan foydalanib, massaning saqlanish qonunini yoza olamiz:

(5)

Yozilgan formula har bir individual hajm uchun o’rinli bo’lganligidan:

(6)
yoki
(6)¹
yoki baribir

(6)²


Bu tenglama Eyler koordinatalarida yozilgan massaning saqlanish qonuni tenglamasi yoki uzluksizlik tenglamasi deyiladi.

Massaning saqlanish qonunining quyidagi xususiy hollarini ko’raylik.

1. 
   Zichlik maydoni vaqtga bog’liq bo’lmagan hol:
   

(7)
2. bo’lgan hol:



(8)

Bu tenglama siqilmaydigan tutash muhit uchun massaning saqlanish qonuni yoki uzluksizlik tenglamasi deyiladi.

O’zgaruvchan hajmli integraldan vaqt bo’yicha

hosila olish formulasi
Tutash muhit deformatsiyalanishida uning egallagan hajmi yoki uning bo’lagi vaqtning funksiyasi sifatida o’zgarishi mumkin. Keyingi paragraflarda tekshirilayotgan tutash muhitga tegishli miqdorlar o’zgaruvchan hajmlarda aniqlangan bo’lishligi va bu hajmlardan olingan integrallarning hosilasini topishga harakat qilamiz. Shu munosabat bilan biror onda tutash muhit egallagan hajmni va unda aniqlangan ixtiyoriy funksiyani olaylik va ushbu integralni ko’raylik:

(9)

Bu integraldan vaqt bo’yicha olingan ushbu hоsilani, ya’ni

(10)

ni hisoblaylik. Hosilaning ta’rifiga ko’ra

(12)

bu yerda hajm

elementar silindrdan ibo-ratligi hisobga olingan. uchun Gauss-Ostrogradskiy formulasini qo’llasak, izlanayotgan ushbu zarur formulaga ega bo’lamiz:
(13)
Lagranj koordinatalarida

massaning saqlanish qonunining yozilishi
Massaning saqlanish qonunini TMM sining asosiy qonunlaridan biri bo’lib, uning ifodasini yuqorida keltirilganidek, Eyler koordinatalarida, shuningdek, TMMda keng ishlatiladigan Lagranj koordinatalarida ham yozish mumkin.

Shu maqsadda momentda tutash muhitdan shunday cheksiz kichik parallelepiped ajrataylikki, ularning tomonlari mos ravishdagi ushbu vektor-tolalardan iborat bo’lsin deylik:

(14)

U holda uning ondagi hajmi

(15)
bo’ladi. Zichligini deb belgilasak, u holda olingan hajmdagi tutash muhit massasi onda
(16)

bo’ladi.

Tutash muhit so’nggi onda hajm ga va uning zichligi ga o’zgarsin deylik. Bu yerda Lagranj koordinatalariga bog’liqdir. Agar ko’chish Lagranj koordinatalarida berilgan bo’lsa,
(17)

bo’lib, onda bazis

(18)

va hajmi quyidagicha buladi

(19)
bo’ladi.

Massaning saqlanish qonunining mazmuni

(20)
dan iborat bo’ladi va bundan yoza olamiz:
(21)

Shuningdek quyidagi ifodalarni e'tiborga olsak

U holda, Lagranj koordinatalarida massaning saqlanish qonunini ushbu ko’rinishga keltirish mumkin

(22)
Agar xususiy holda o’rniga birlik bazis vektorlar olinsa, va bo’lsa,

(23)

tenglamaga ega bo’lamiz.