|
9 маъруза. Статистик моделлаштиришда энг кичик квадратлар усули. Динамик дастурлаш
Табиат ҳодисаларидаги, иқтисодиётдаги, ижтимоий соҳалардаги статистик маълумотларни йиғиш усули, ҳодисалардаги баъзи қонуниятларни аниқлашда ушбу жараёнлар учун қисқа ва узоқ муддатли маълумотларни тузишда хизмат қилади. Масалан атроф мухит ўзгаришини ўрганиш бўйича тадқиқотлар ўтказиш мумкин. Табиатнинг глобал исиши, атмосферанинг ифлослиниши, ўсимлик ва ҳайвонларнинг айрим турларининг йўқ бўлиб кетиши билан боғлиқ огоҳлантиришлар башорати юқоридагиларнинг тасдиғи сифатида хизмат қилади.
Статистик маълумотларни қайта ишлаш ва тадбиқ қилиш алгоритмлари замонавий ахборот технологияларининг долзарб ва талаб қилинадиган математик аппаратига айланмоқда. Юқорида таъкидлаб ўтилганидек, узоқ муддатли кузатувлар ва тўпланган материаллар у билан тўғри ва малакали муносабатларга эга бўлиб, алоҳида тармоқларнинг кейинги фаолиятини режалаштиришда ва бутун дунё ҳамжамиятининг ҳаракатларини мувофиқлаштиришда катта фойда келтириши мумкин. Ушбу турдаги хабарлар ёки мурожаатлар кўпинча оммавий ахборот воситаларида пайдо бўлади.
Энди биз статистик маълумотларга асосланиб, математик моделларни қуриш йўналишларидан бири билан танишамиз. Айтайлик бизга қандайдир ҳодисани кузатиш натижасида олинган маълумотлар, ёки қуйида жадвал шаклида тўпланган материаллар берилган бўлсин.
xi
|
x0
|
x1
|
x2
|
…
|
xn
|
fi
|
f0
|
f1
|
f2
|
…
|
fn
|
Бу ерда xi – қиймати fi функциянинг бошланғич вақти қийматларига мос келади. Ҳозирча биз fi нинг ҳақиқий ҳодисаси ва жисмоний моҳиятини ўрганамиз. Аслида fi ҳарорат, босим, баъзи бир маҳсулотларнинг нарҳи, ҳавонинг ифлосланиш фоизлари бўлиши мумкин. Нима бўлишидан қатъий назар, муаммонинг моҳияти ўзгармайди. f – ни х га боғлиқлигиниг математик моделини аниқлашимиз керак бўлади. Табиий савол туғилади, интерполяция усулидан фойдаланиб ва интерполяцион полиномни қуриш мумкинми? Биз кўриб чиқаётган масалаларда x ва f ўртасидаги боғлиқлик функционал бўлиши мумкин эмас, чунки f га бирон бир тарзда таъсир қиладиган бошқа кўплаб омиллар мавжуд. Бундай ҳолларда боғлиқлик коореляциявий деб аталади. Шунинг учун, бу холда қурилган математик модел қандайдир ишончлилик эҳтимоллиги даражасига эга бўлади, бу жараён математик моделни қуришда ҳам аниқланади.
Энг кичик квадратлар усулининг ғояси шундан иборатки, маълум бир турдаги элементар функциялар синфида берилган иш учун энг мос шаклни танлаш керак. Базис кўпхади сифатида k даражали кўпхадини танлашимиз мумкин, унинг кўриниши қуйидагича:
(9.1)
Ушбу кўпҳаднинг жадвал кўринишида берилган функция нормасини яқинлашиши сифатида қуйидаги функционалини танлаймиз.
(9.2)
Шундай қилиб, биз (9.1) даги кўпҳадлар тўпламидан (9.2) функционалнинг минимал қийматига мос келадиганини танлаш масаласига дуч келамиз. Бундан кўринадики, (9.2) да ягона минимал қийматга эга бўлади:
(9.3)
(9.3) системанинг иккала томонини 2 га қисқартириб, қавсларни очиб га мос бўлган чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ҳосил қиламиз.
(9.4)
Бу (9.4) системани ечиб, қийматларини топиб (9.1) формулага қўйиб, қидирилаётган кўпҳадни топамиз. (9.1) кўпҳаднинг энг керакли (мос келадиган) даражасини танлашимиз лозим, яъни k даражасини. Шу билан бирга k нинг кичик қийматига мос келувчи, табиатдаги ва техникадаги маълум боғлиқлик қонуниятидан келиб чиқиб бошқарилади.
Биз бу ерда чизиқли регрессия устида тўхталамиз, яъни k = 1 бўлганда. Бунда (9.4) система содда кўринишда келади.
(9.5)
Бу (9.5) тенгламани (n+1) га бўлиб, белгилаш киритамиз:
У холда (9.5) ечими қуйидагича кўринишда бўлади.
Бундан кейин тенгламага келамиз.
Бу чизиқли регрессия тенгламаси дейилади, агар белгилаш киритсак.
(9.7)
Корреляция коэффиценти деб аталиб, у (2.6) моделнинг қийматини аниқлилигини баҳолайди. нинг қиймати бирдан катта эмаслиги исботланган. Агар нинг қиймати қанчалик бирга яқин бўлса (2.6) чизиқли моделнинг аниқлиги юқори бўлади. нинг кичик қийматларида эса янада мураккаб чизиқли моделларга ўтиш керак бўлади. Масалан k=2, k=3 ёки k нинг бошқа боғлиқлик шаклларига.
Бундай ҳолларнинг яна бир йўналиш алгоритмлаштиришда “бўлиб ол ва эгалла” деган принцпи бўлиши мумкин. Бунинг учун биз жадвални икки ёки ундан ортиқ қисмларга ажратиб ва юқорида келтирилган методни хар бир қисмига алоҳида қўллаймиз. Шундай қилиб, биз алоҳида вақт оралиғида ишлайдиган бир нечта формулаларни оламиз.
Бу нуқталар координата текислигида жадвал қийматига, қуйидаги расмдаги каби мос жойлашган бўлади.
Рисунок 9.1
y
x
0 α β
Do'stlaringiz bilan baham: |
