Ma’ruza. Aniq integral va uning asosiy xossalari. Aniq integrallarni hisoblash usullari. Nyuton-Leybnits formulasi. Aniq integralning tatbiqlari. Aniq integral yordamida yuzalarni, yoy uzunligini va jism hajmini hisoblash. Reja

O‘zgaruvchilarini almashtirish usuli bilan aniq integrallarni hisoblash
Ko‘pincha integralni almashtirish yordamida hisoblash qulay bo‘ladi.
Aytaylik, va funksiyalar quyidagi shartlarni bajarsin:
1) funksiya segmentda uzluksiz;
2) funksiya da uzluksiz, uzluksiz hosilaga ega bo‘lib, uning qiymatlari ni tashkil etsin;
3)
U holda (2)
bo‘ladi.¹
Faraz qilaylik, funksiya ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. Unda

tenglik o‘rinli. bo‘lgani uchun funksiya ning da boshlangich funksiyasi bo‘ladi. N'yuton-Leybnits formulasiga ko‘ra

bo‘lishi kelib chiqadi.
Misollar. 1. Ushbu integral hisoblansin.
Bu integralda almashtirish bajaramiz. Unda
bo‘ganda , bo‘ganda ,

bo‘lib, (2) formulaga ko‘ra

bo‘ladi. Ravshanki,
.
Demak,
.

2.Ushbu integralni hisoblansin.

 Bu integralda deb olamiz. Unda
bo‘ganda ,
bo‘ganda ,

bo‘lib, bo‘ladi.
Teorema. Tengsizlikli ifodalar
a) Agar intervalda integrallanuvchi va , u holda intervalga tegishli ixtiyoriy uchun o‘rinli.
b) agar va funksiyalar intervalda integrallanuvchi va bo‘lsa, intervalga tegishli ixtiyoriy uchun tengsizlik o‘rinlidir.
Geometrik nuqtai nazardan teoremaning a) qismi yaqqol ko‘rinib turgan fakt, agar intervalda manfiy qiymat qabul qilmasa, grafigi bilan interval orasidagi soha yuzasi ham manfiy bo‘lmaydi. b) qismini oddiy tushunish kerak, agar va funksiyalar intervalda musbat qiymatlarni qabul qilsa va ekanligi, grafigi bilan chegaralangan yuza ning grafigi bilan chegaralangan yuzadan kichik bo‘lmaydi.
Izoh. Teoremaning b) qismidagi tengsizlikning ikkala tomonini tengsizlik ma’nosini o‘zgartirmasdan integrallash mumkin. Biz yana shuni aytishimiz kerakki, agar bo‘lsa, teorema hulosasi o‘rinli bo‘ladi, agar barcha “ ” belgi o‘rniga, boshqa “ ”,“ ” yoki “ ” belgilar qo‘yilsa.