|
TESKARI MATRISA
Biz ushbu mavzuimizda
matrisalar algebrasidagi matrisalarning
determinantlari bilan bog’liq masalalar bilan shug’ullanamiz.
Ta’rif 8.13.
matrisaning
bo’lsa, matrisasi xos
(maxsus) va
bo’lsa,
matrisaga xosmas (maxsusmas) matrisa
deyiladi.
Shuni ta’kidlaymizki, agar
xosmas yoki xos bo’lsa, u holda
transponirlangan ham xosmas yoki xos bo’ladi.
Teorema 8.14.
uchun
tenglik o’rinlidir, ya’ni matrisalarning ko’paytmasining determinanti
determinantlarining ko’paytmasiga tengdir.
Isbot. Bizga
va
matrisalar berilgan bo’lib, ularning
ko’paytmasi
bo’lsin. Bu matrisalardan
tartibli
determinantni tuzib olamiz. Laplas teoremasiga asosan
(1)
tenglik o’rinli bo’ladi. Ikkinchi tomondan determinantni
ustunlarini
mos ravishda
larga ko’paytirib,
ustuniga ko’shamiz,
so’ngra
larga ko’paytirib,
ustuniga ko’shamiz va hokazo
ko’paytirib,
ustuniga qo’shsak,
determinant o’zgarmagan
holda, uning barcha
elementlari nolga aylanadi. Ikkinchi tomondan yuqori
o’ng burchagida turgan nollar o’rniga
elementlar joylashib, bu element
ko’paytma matrisaning aynan
elementining o’zidan iboratdir va demak
bo’ladi. Laplas teoremasini yana bir bor qo’llab, determinantni uning oxirgi ta
ustuni bo’yicha yoyamiz.
minor uchun to’ldiruvchi minor
ga teng,
minor
satrlarda va
ustunlarda joylashganligi
tufayli
bo’lib,
bo’lganligi uchun
bo’ladi va nihoyat (1) dan isbotlanayotgan
tenglikni hosil qilamiz.
Ushbu teorema bir nechta matrisalarni ko’paytmalari uchun ham o’rinlidir,
ya’ni
,
bu yerda
.
Teoremadan xos va xosmas matrisalar uchun muhim xossalar o’rinli
bo’lishligi kelib chiqadi.
Xossa 8.15.
1.
Xos matrisalar ko’paytmasi xosdir;
2.
Agar matrisalar ko’paytmasida biror ko’paytuvchisi xos matrisa bo’lsa, u
holda ko’paytma ham xosdir;
3.
Xosmas matrisani xosmas matrisaga ko’paytmasi xosmasdir. Umuman bir
nechta xosmas matrisalarning ko’paytmasi xosmasdir.
Xuddi shu xossalarni transponirlangan matrisalar uchun aytish mumkin,
chunki
bo’ladi (ko’rsating!).
Bu xossalarni o’rinli bo’lishini ko’rsatishni o’quvchining ixtiyoriga havola
qilamiz.
matrisaning hamma
elementlarini
algebraik to’ldiruvchilardan tartibli
(2)
matrisani tuzib olamiz.
matrisaga
matrisaning biriktirilgan (yoki o’zaro)
matrisasi deyiladi. Shunday hosil bo’lgan
yana
qarashlidir. Endi
va
ko’paytmalarni topamiz:
(3)
diagonal matrisadan iborat bo’lib, bu yerda
. Haqiqatan ham,
matrisani satrini
matrisaning ustunining mos ravishda ko’paytirib
qo’shsak,
matrisaning satr va ustuniga
element hosil bo’lib, bu element, bizga ma’lumki,
ga teng bo’ladi. Xuddi
shunday
matrisani satrini
matrisani ustunidan farqli boshqa
ustunlariga mos ravishda ko’paytirib qo’shsak,
element bizga ma’lumki, nolga teng bo’ladi. Xuddi shunday
kommutativ
halqa bo’lganligi tufayli
ham (3) ifodadan iborat bo’ladi. Bundan tashqari
(3) dan
tenglikni hosil qilamiz. Agar
butun sohali halqa bo’lib,
xosmas matrisa
bo’lsa, u holda
ni hosil qilamiz va demak
ham xosmas matrisa bo’ladi.
Endi
maydon bo’lib, xosmas matrisa bo’lsin. U holda quyidagi
ko’paytmasi
birlik matrisa bo’lib, matrisaga
teskari matrisa
bo’ladi. Tabiiyki,
ham xosmas matrisadir.
Misol.
matrisaning determinanti
va
demak xosmas matrisa bo’lib, unga teskari matrisa mavjud.
ning algebraik
to’ldiruvchilari
va demak tirkalgan matrisa
bo’lib, teskari matrisa
matrisadan iborat va osonlik bilan tekshirib ko’rish mumkinki
bo’ladi (tekshiring!).
maydonda hamma tartibli xosmas matrisalar to’plamini
yoki
bilan belgilab olamiz,
. U holda
matrisalarni ko’paytirish amaliga nisbatan nokommutativ gruppa
bo’ladi. Haqiqatan ham,
dan
bo’ladi,
chunki
xosmas matrisa. Bundan tashqari
da assosiativlik
qonuni o’rinli, aks holda u
da ham o’rinli bo’lmasligi mumkin.
, chunki
va nihoyat
matrisaga
teskari matrisa mavjud bo’lib, u xosmasdir va demak
.
gruppaga to’liq chiziqli gruppa deb ataladi va bu gruppa zamonaviy
algebrada muhim ahamiyat kasb etadi. O’z navbatida bu gruppada markaziy
rolni o’ynovchi uning
qism gruppasidir (tekshiring!) bu qism gruppaga maxsus chiziqli gruppa yoki
gohida unimodulyar gruppa deb ham atashadi. Albatta ayrim adabiyotlarda
determinanti
ga teng bo’lgan
qism gruppani unimodulyar
gruppalar deb yuritiladi. Bundan tashqari
akslantirish syuryektiv gomomorf akslantirish
(tekshiring!) bo’lib, uning yadrosi
iborat bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
