Ma’ruza 7 Interpolyasiya. Funksiyalarni yaqinlashtirish. Lagranj interpolyasion ko’phadi. Chekli ayirmalar. Nyuton interpolyasion formulalari. Eng kichik kvadratlar usuli

1. Lagranj interpolyatsion fоmulasi. Intеrpоlyatsiya tugunlari tеng bulmagan хоl uchun Lagranj interpolyatsion formulasidan fоydalaniladi. Хususiy хоlda intеrpоlyatsiya qadamlari tеng bulishi хam mumkin. оralikda iхtiеriy jоylashgan funktsiya argumеntlari bеrilgan va ularga mоs f(x) funktsiya qiymatlari

bеrilgan bo’lsin (1­-chizma).
Daraja kursatkichidan оshmaydigan shunday ko’phad qurish talab kilinadiki u
(2.1)
shartni qanoatlantirsin.

1-chizma.
Buning uchun оldin Intеrpоlyatsiya tugunlarida nоlga aylanuvchi n-tartibli ko’phadni tоpish ko’phadni tоpamiz bu ko’phad tubandagi shartni qanoatlantirsin
va , (2.2)
ya’ni Krоnеkеr bеlgilashi buyicha
(2.3)
ko’phad nuqtada nоlga aylanadi uning ko’rinishi
(2.4)
dеsak (2.3) ga asоsan (2.4)ni tubandagicha yozish mumkin.

Bundan
(2.5)
(2.3)ni (2.2)ga оlib qo’ysak
(2.6)
Bu ko’phad yordamida shartni qanoatlantiruvchi ko’phadni еzamiz.
(2.7)
ya’ni
(2.8)
(2.6) Lagranj interpolyatsion formulasini qisqaroq yozish uchun tubandagicha bеlgilash kiritamiz
(2.9)
(2.10)
(2.7) va (2.8) bеlgilashga asоsan (2.6) tubandagi


(2.11)

fоrmulani хоsil qilamiz.

Lagranj kоeffitsiеntlarining kurinishiga nisbatan chiziqli x=at+b almashtirish invariantdir. Хakikatan хam, (2.11) fоrmulada

almashtirishlarni bajarib, surat va maхrajdagi ni kiskartirsak

Lagranj interpolyatsion formulasiga ega bo’lamiz.

Lagranj koefisientlarini hisoblash

(2.8) Lagranj interpolyatsion formulasining birinchi kоeffitsеntini tоpish uchun diagоnal elеmеntlar ko’paytmasini birinchi satr elеmеntlar ko’paytmasiga bo’lamiz. Ikkinchi kоeffitsеntni tоpish uchun diagоnal elеmеntlar ko’paytmasini ikkinchi satr elеmеntlar ko’paytmasiga bulamiz va хоkazо.
Misоl. n=1 хоl uchun Lagranj interpolyatsion formulasi ikki nuqtadan o’tuvchi tugri chiziq tеnglamasini bеradi.
Ushbu

nuqtalardan o’tuvchi Lagranj interpolyatsion fоmulasi.

kurinishda buladi. Bu еrda a va b lar shu nuqtalarning abtssissalari.
n=2 bulganda 3 ta nuqtadan o’tuvchi parabоla tеnglamasi хоsil buladi.

Endi, Chekli ayirmalar tushunchasini kiritamiz. Agar teng h qadamli _n to‘rda f(x) funktsiyaning qiymatlari

f(x_i)=y_i(i=0,1,2,…, n) (2)
berilgan bo‘lsa
y_i=y_i+1- y_i (i=0,1,2,…, n-1)
ayirmalar 1-tartibli Chekli ayirmalar,
²y_i=y_i+1-y_i (i=0,1,2,…, n-2)
ayirmalar 2-tartibli Chekli ayirmalar va hokazo
^m(y_i)=^m-1y_i+1-^m+1y_i (i=0,1,2,…,n-m), (mn)
ayirmalar m-tartibli Chekli ayirmalar deb yuritiladi. Chekli ayirmalarning ta’rifidan ko‘rinadiki, _n to‘rda berilgan funktsiyaning y, ²y, …., ⁿy Chekli ayirmalari mavjud bo‘lib, n-dan yuqori tartibli Chekli ayirmalari yo‘qdir.
Yuqoridagi formulalar asosida 5-tartibli Chekli ayirmalar jadvalini tuzamiz:
1-jadval

x	Y	y	^2y	^3y	^4y	^5y
x0	y0
		y0=y1-y0
x1= x0+h	y1		^2y0=y1-y0
		y1=y2-y1		^3y0=^2y1-^2y0
x2= x0+2h	y2		^2y1=y2-y1		^4y0=^3y1-^3y0
		y2= y3-y2		^3y1=^2y2-^2y1		^5y0=^4y1-^4y0
x3= x0+3h	y3		^2y2=y3-y2		^4y1=^3y2-^3y1
		y3= y4-y3		^3y2=^2y3-^2y2
x4= x0+4h	y4		^2y3=y4-y3
		y4= y5-y4
x5= x0+5h	y5
…	…

3-tartibli Chekli ayirmalarni quyidagi jadvalda yaqqol ko‘rish mumkin:

3-jadval

i	X	yi	yi	y^2i	y^3i
0	0.1	0.25
			0.12
1	0.2	0.37		-0.09
			0.03		0.14
2	0.3	0.40		0.05
			0.08
3	0.4	0.48

2. Teng oraiqlar uchun Nyuton ko’phadlari.

Bu yerda [a,b] kesmada kiritilgan teng qadamli, ya’ni yonma-yon turgan tugun nuqtalarining orasidagi masofa h o‘zgarmas bo‘lgan, _n to‘rda qiymatlari berilgan f(x) funktsiya uchun interpolyatsiyalash ko‘phadini qurish masalasini qaraymiz. Bu ko‘phadni Lagranj interpolyatsiyalash ko‘phadi sifatida ham qurish mumkinligi aniq. Ammo bu yerda qurish jihatidan Lagranj interpolyatsiyalash ko‘phadidan soddaroq bo‘lgan Nyuton interpolyatsiyalash ko‘phadlarini qurish usulini beramiz.

Teng qadamli _n to‘rda berilgan funktsiyaning interpolyatsiyalash ko‘phadini
P_n=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+a₂(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)+…+a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1) (1)
ko‘rinishda izlaylik. U holda koeffitsentlarni quyidagicha aniqlaymiz.

y0 =a0

y1=a0+a1h,

y2=a0+a1(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2- x1) y2=y0+ 2h+a22hh, y1+y1=u0+2 y0+2a2h^2, y0+y0+y1=y0+2y0+2a2h^2, y1-y0= 2a2h^2, ^2y0= 2a2h^2

…

yn=a0+a1(xn-x0)+a2(xn –x0)( xn – x1)+...+an(xn-x0)( xn – x1)...(xn-xn-1) yn=y0+ 2h+ 2hh+ 6hhh+…+123…n an hh...h

(bu ishlarni to‘liqroq bajarishini o‘quvchiga havola qilamiz). Topilganlarni (1) ga qo‘ysak,
(2)
ni olamiz. Buni Nyutonning birinchi interpolyatsiyalash ko‘phadi deb yuritiladi.
Agar deb olsak,

(2) ni
(3)
ko‘rinishda yozib olish mumkin. Bu Nyutonning birinchi interpolyatsiyalash ko‘phadining yakuniy ko‘rinishi bo‘lib, hisoblash uchun ancha qulaydir.
Agar interpolyatsiyalash ko‘phadini


P_n(x)=a₀+a₁(x-x_n)+a₂(x-x_n)(x-x_n-1)+….+a_n(x-x_n)…(x-x₁)

ko‘rinishda izlasak, yuqoridagi qilingan o‘xshash mulohazalar asosida

(4)

ni olamiz. Buni Nyutonning ikkinchi interpolyatsiyalash ko‘phadi deb yuritiladi.

Agar (4) da desak,
(5)
ko‘phadni olamiz. Bu Nyutonning ikkinchi interpolyatsiyalash ko‘phadining yakuniy ko‘rinishidir.

Berilgan jadvalga asosan Nyuton interpolyatsiya formulasidan foydalanib,argument qiymatiga mos funktsiya qiymatini aniqlash

X:	2.000	3.000	4.000	5.000	6.000
Y:	1.583	1.436	1.372	1.238	1.084

Y( 3.500)= 1.4079
Y( 4.100)= 1.3625


{ * Nyuton interpolyatsiya ko‘phadining qiymatini aniqlash * }

uses crt;

var
i,j,n:integer;
s,’,s1,t,x1:real;
x:array[0..7] of real;
y:array[0..7,0..7] of real;
begin
clrscr;
writeln(‘ Nyuton interpolyatsiya ko‘phadining qiymatini aniqlash ‘);
write(‘(x,y)-juftliklar soni N= ‘); read(n);
writeln(‘(x,y)-juftliklarni kriting ‘);
for i:=0 to n do
begin
{gotoxy((i)*10,4);}
write(‘x(‘,i,’)=’);read(x[i]);
{gotoxy((i)*10,4);}
write(‘y(‘,i,’)=’);read(y[0,i]);
end;
writeln(‘ berilgan argument qiymati:’);
write(‘x=’);read(x1);
t:=(x1-x[0])/(x[2]-x[1]);
for i:=1 to n do
for j:=0 to n-1 do y[i,j]:=y[i-1,j+1]-y[i-1,j];
s:=y[0,0];
s1:=1;’:=1;
for i:=1 to n do begin
for j:=1 to i do begin
s1:=s1*(t-(j-1)); ‘:=‘*j;
end;
s:=s+y[i,0]*s1/’;
end;
readln;
writeln(‘ Ko‘phadning qiymati: ‘);
write(‘y(‘,x1:2:3,’)=’,s:4:4);
readln;
end.
Nyuton interpolyatsiya ko‘phadining qiymatini aniqlash
(x,y)-juftliklar soni N=3
(x,y)-juftliklarni kriting
x(0)=0.1
y(0)=0.25
x(1)=0.2
y(1)=0.37
x(2)=0.3
y(2)=0.4
x(3)=0.4
y(3)=0.48
berilgan argument qiymati:
x=0.212
Ko‘phadning qiymati:
y(0.212)=0.3774