Ma’ruza 7 Interpolyasiya. Funksiyalarni yaqinlashtirish. Lagranj interpolyasion ko’phadi. Chekli ayirmalar. Nyuton interpolyasion formulalari. Eng kichik kvadratlar usuli

Ma’ruza 7-8.


Interpolyasiya. Funksiyalarni yaqinlashtirish. Lagranj interpolyasion ko’phadi. Chekli ayirmalar. Nyuton interpolyasion formulalari. Eng kichik kvadratlar usuli.


Funktsiyalarni interpolyatsiyalash jadval tuzishga nisbatan teskari masaladir. Funktsiya qiymatlarining jadvali tuzilganda funktsiyaning analatik ifoda bo’yicha uning qiymatlari topiladi, interpolyatsiyalashda esa, aksincha, funktsiyaning jadvaldagi qiymatlari bo’yicha uning analitik ifodasi tuziladi.
Aytaylik, funktsiyaning faqat jadvaldagi qiymatlari berilgan bo’lsin, yani argument bo’lganda funktsiyaning qiymatlari malum bo’lsin:

Funktsiyaning ma’lum qiymatlariga ko’ra uning analitik ifodasini topish masalasi, geomtrik nuqtai nazardan, nuqtalar berilganda, bu nuqtalar orqali o’tuvchi to’g’ri chiziqni topishni bildiradi (1-chizma). Berilgan nuqtalardan cheksiz ko’p egri chiziqlar o’tkazish mumkinligi o’quvchiga ravshan bo’lishi kerak. Shunday qilib, funktsiyaning qiymatlariga ko’ra, uning analitik ifodasini topish masalasi juda ko’p yechimlarga egadir, ya’ni bunday funktsiyalarni cheksiz ko’p tuzish mumkin.
Berilgan nuqtalarda berilgan qiymatlarni qabul qiluvchi istalgan funktsiyani bilan belgilaymiz. Yuqorida aytib utilganidek, funktsiya istalgancha ko’p bo’lishi mumkin.
Shunday qilib, biz quyidagi ko’rinishdagi masalaga keldik. ning va qiymatlari uchun Shunday u= F(x) ko’phadni topish kerakki, bu ko’phad n-chi darajali bo’lsin va shartlarni qanoatlantirsin:
(1)
Boshqacha qilib aytganda, bu erda, berilgan nuqtalarda berilgan qiymatlarni qabul qiluvchi ko’phadni topish masalasi qo’yilgan ekan. Bunday masala interpolyatsiyalash deyiladi, nuqtalar interpolyatsiyaning tugunlari deyiladi.
Yuqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi F(x) funktsiyani interpolyatsion ko’phad deyilib, bu ko’phadni tuzish uchun ishlatiladigan formulalar interpolyatsion formulalar deyiladi.
Interpolyatsion formulalarni qo’llashning asosiy manosi Shundaki, faqat jadvaldagi qiymatlari malum bo’lgan y=f(x) funktsiyani uning takribiy analitik ifodasi deb karaladigan ko’phadga almashtiriladi. Bunda tabiy ravishda f(x) va F(x) ga almashtirishning qanday darajada aniq bajarilganligi va xatoni baholash kabi masalalar kelib chiqadi. Bu masalalarni kelgusida bayon qilamiz.
f(x) funktsiyani uning interpolyatsion ko’phadi bilan almashtirish, avvalo, funktsiyaning oraliq qiymatlarini topish zarur bo’ladi. Lekin interpolyatsion ko’phadni qo’llanishi faqat shu bilan chegaralanib qolmaydi. Bunday almashtirish f(x) funktsiyaning analitik ifodasi juda murakkab bo’lib, f(x) funktsiya ustida turli matematik amallar bajarish (Masalan, f(x)funktsiyani integrallash) lozim bo’lganda ishlatiladi. f(x) funktsiyaning qiymatlari tajriba natijasida olingan bo’lib, funktsiyaning oraliq qiymatlarini topish qiyin yoki mumkin bo’lmay qolganda, funktsiyaning analitik ko’rinishi noma’lum bo’lganda interpoltsion ko’phadan fodalaniladi.
Odatda interpolyatsion fоrmulalar tugunlar orasidagi masofaga qarab 2 tugra bo’linadi: tugunlari оrasidagi masоfa tеng bo’lgan va teng bo’lmagan interpolyasion formulalar.