Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

> with(plots):
> f:=x->x^3:a:=1;
> D(f);D(f)(a); ₃
> T:=x->f(a)+(x-a)*D(f)(a);
> N:=x->f(a)-(x-a)/D(f)(a);
> plot({f(x),N(x),T(x)},x=-5..5,y=-5..5,discont=true,
scaling=constrained, color=[red,red,blue]);

7.10-misol. funktsiya grafigining ga mos keluvch nuqtasidagi urinma va normalini toping.


> with(plots):
> f:=x->3*sqrt(2^2-x^2)/2:a:=1/sqrt(2);
> D(f);D(f)(a);
> T:=x->f(a)+(x-a)*D(f)(a);
> N:=x->f(a)-(x-a)/D(f)(a);
> plot({f(x),N(x),T(x)},x=-3..3,y=-2..4, color=[red,blue,blue],discont=true, scaling=constrained);

2. Urinmaning egri chiziqdagi urinish nuqtasi bilan Ox o‘q orasidagi QM kesmaning T uzunligi urinmaning uzunligi deyiladi. Bu kesmaning Ox o‘qdagi proektsiyasi Q kesma urinma osti deyiladi va S_T kabi belgilanadi. MR normal uzunligini N , R proektsiyasini S_N bilan belgilaymiz.

y=f(x) funksiya egri chizig’ining M(x₁;y₁) dagi T , S_T, N, S_N miqdorlarni topamiz.
Shakildan: Q=|y₁ctgα|= , shuning uchun
S_T= ,
Yana shu shakildan R= bundan
S_N= , N=
Bu formulalar >0, >0 degan farazda chiqarildi. Ammo umumiy holda ham saqlanadi.
7.11-misol. x=acost, y=bsint ellips uchun t=π/4 bo‘lgan M(x₁; y₁) nuqtada urinma va normal tenglamalari, urinma va urinma osti uzunliklari, normal va normal osti uzunliklari topilsin.
Echish. Quyidagilarni topamiz.
,
Urinish nuqtasi M ning koordinatalarini topamiz.
x₁=(x) _t=π/4= , y₁=(y) _t=π/4=
Urinma tenglamasi:
Normal tenglamasi:
Urinma osti va normal osti uzunliklari:

Urinma va normal uzunliklari
,
Yuqoridagi masalani Male7 dasturida bajarilishini ko‘rsatamiz. Buning uchun ellips tenglamasini oshkor holdagi ko‘rinishidan (a>0,b>0) ni va tanlaymiz chunki, urinma uning yuqori qismidagi M nuqtaga o‘tkaziladi deb hisoblaymiz. Quyidagicha masalani echamiz:
1) ellipsning berilgan nuqtasidagi urinma va normal tenglamalari, urinma va urinma osti uzunliklari, normal va normal osti uzunliklari topilsin.
2) topilganlar asosida ellips, uning urinma va normalning grafigini quring.
3) katta va kichik o‘qlari a=3, b=2 bo‘lgan ellipsning abtsissalari x=-2, x=2 bo‘lgan, nuqtalariga o‘tkazilgan urinmalar orasidagi burchakni toping.