|
Annotatsiya.
Ushbu maqolada obyekt boshqaruvining koordinatalari o‘zaro bog‘liqsiz
bo‘lgan holda optimal boshqaruv nazariyasida obyektning tekislikning istalgan nuqtasiga optimal
o‘tish masalasi o‘rganilgan. Bunda tekislik to‘rtta sohaga ajratilib, har bir soha uchun boshqaruv
funksiya va eng qisqa o‘tish vaqti aniqlanadi. Natijalar umumlashtirilib optimal boshqaruv
funksiya va o‘tish vaqti topiladi.
Kalit so‘zlar.
Geometrik chegaralanish, obyekt, trayektoriya, o‘lchanuvchi funksiya, tezlik,
koordinata, optimal boshqaruv funksiya, optimal o‘tish vaqti.
2
R
fazoda harakatlanuvchi
E
obyekt berilgan bo‘lib, uning tekislikdagi holati
1
2
,
x
x x
bo‘lsin. Obyektning tekislikdagi harakat tenglamasi koordinatalari bo‘yicha
quyidagicha berilgan bo’lsin
E
:
1
1
1
10
2
2
2
20
,
(0)
,
,
(0)
,
x
u
x
x
x
u
x
x
(1)
bu yerda
2
1
2
1
2
, , ,
x x u u
R
,
2
n
;
1
10
(0)
x
x
,
2
20
(0)
x
x
nuqtalar
0
t
vaqtda
obyektning koordinatalar bo‘yicha boshlang‘ich holatlari va bunda
0
0
x
y
deb qaraymiz.
1
u
-
1
x
koordinataning harakat tezligi,
2
u
-
2
x
koordinataning harakat tezligi bo‘lib,
E
obyektning
1
2
( ), ( )
u
u t u t
boshqaruv parametri vaqt bo‘yicha o‘lchanuvchi funksiya
sifatida tanlanadi va
2
( ) :[0,
)
u
R
akslantirishni bajaradi. Ular quyidagi geometrik
chegaralanishlarni (
G
-chegaralanish) qanoatlantirishi talab etiladi
1
( )
kt
u t
e
, deyarli barcha
0
t
, (2)
2
( )
kt
u t
e
, deyarli barcha
0
t
,
(3)
bu yerda
, ,
0
k
.
(2) va (3) chegaralanishlarni qanoatlantiruvchi
1
( )
u t
va
2
( )
u t
o‘lchanuvchi funksiyalar
to‘plamini mos ravishda
1
U
va
2
U
deb belgilaymiz.
Ta’rif 1. Obyekt koordinatalarining trayektoriyalari deb, ixtiyoriy quyidagi juftliklarga
10
1
, ( )
x u
,
1
1
( )
u
U
,
20
2
, ( )
x u
,
2
2
( )
u
U
mos keluvchi
1
1
10
1
0
, ( )
( )
t
x t u
x
u s ds
,
0
t
, (4)
2
2
20
2
0
, ( )
( )
t
x t u
x
u s ds
,
0
t
(5)
funksiyalarga aytiladi.
Ta’rif 2.
E
obyektning tekislikdagi harakati deb quyidagi tenglikka aytamiz
738
1
2
( )
, ( ), ( )
x t
t u t u t
,
0
t
. (6)
Bu ta’rifga asosan turlicha
1
1
( )
u
U
,
2
2
( )
u
U
boshqaruvlar uchun boshlang‘ich
0
10
20
(
,
)
x
x
x
nuqtadan chiquvchi turli trayektoriyalar hosil bo‘ladi.
Masalaning qo‘yilishi
Berilgan
0
10
20
(
,
)
x
x
x
boshlang‘ich nuqtadan tekislikning biror
1
2
,
P
p p
nuqtasiga o‘tkazuvchi optimal boshqaruv va eng qisqa o‘tish vaqtini topish.
Dastlab masalani
10
0
x
,
20
0
x
hol uchun ko‘raylik ya’ni
E
obyektning boshlang‘ich
holati koordinatalar boshida bo‘lsin. Koordinatalar boshidan
2
1
x
x
, va
2
1
x
x
to‘g‘ri
chiziqlarni o‘tkazsak,
1
2
( , )
x x
tekislik quyidagi sohalarga ajraladi
1
1
2
2
1
1
,
:
,
П
x x
x
x x
x
,
2
1
2
2
1
1
,
:
,
П
x x
x
x x
x
,
3
1
2
2
1
1
,
:
,
П
x x
x
x x
x
,
4
1
2
2
1
1
,
:
,
П
x x
x
x x
x
.
Faraz qilaylik,
E
obyektning boshlang‘ich holati koordinatalar boshida bo‘lsin.
Lemma.
1. Agar
1
2
1
(p ,p )
P
П
bo`lsa, u holda E obyekt
1
1
2
,
kt
p
u
e
p
boshqaruv
orqali
1
2
1
ln
T
k
kp
vaqtda P nuqtaga tushadi.
Endi bizning masalamizda
0
k
bo’lgan holda
1
u
boshqaruv orqali E obyektning P
nuqtaga tushish vaqtini hisoblaymiz
1
2
2
0
0
2
2
1
lim ln
ln lim(1
)
.
k
k
k
kp
p
k
kp
kp
2. Agar
1
2
2
( , )
P
p p
П
bo`lsa, u holda
2
2
1
,
kt
p
u
e
p
boshqaruv orqali
2
1
1
ln
T
k
kp
vaqtda P nuqtaga tushadi.
Endi bizning masalamizda
0
k
bo’lgan holda
2
u
boshqaruv orqali E obyektning P
nuqtaga tushish vaqtini hisoblaymiz
739
1
1
1
1
0
0
1
1
lim ln
ln lim 1
k
k
k
k
kp
p
kp
kp
3. Agar
1
2
3
( ,
)
P
p
p
П
bo`lsa, u holda
3
1
2
,
kt
p
u
OK
e
p
boshqaruv
orqali
3
2
1
ln
T
k
kp
vaqtda P nuqtaga tushadi.
Endi bizning masalamizda
0
k
bo’lgan holda
3
u
boshqaruv orqali E obyektning P
nuqtaga tushish vaqtini hisoblaymiz
1
2
2
0
0
2
2
1
lim ln
ln lim(1
)
k
k
k
kp
p
k
kp
kp
4. Agar
1
2
4
(
, )
P
p p
П
bo`lsa, u holda
4
2
1
,
kt
p
u
e
p
boshqaruv orqali
4
1
1
ln
T
k
kp
vaqtda P nuqtaga tushadi.
Endi bizning masalamizda
0
k
bo’lgan holda
4
u
boshqaruv orqali E obyektning P
nuqtaga tushish vaqtini hisoblaymiz
1
1
1
1
0
0
1
1
lim ln
ln lim 1
k
k
k
k
kp
p
kp
kp
Hulosa.
Agar
1
3
P
П
P П
bo`lsa,
1
2
1
1
1
ln
ln
T
k
kp
k
kp
Agar
2
4
P
П
P П
bo`lsa,
2
1
2
1
1
ln
ln
T
k
kp
k
kp
Agar
1
2
1
2
2
1
,
,
:
x x
x
x
P
p p
yoki
1
2
1
2
2
1
,
,
:
x x
x
x
P
p p
bo`lsa,
2
1
1
1
ln
ln
T
k
kp
k
kp
bo`ladi.
Natija. Tekislikda E obyektni biror fiksirlangan
2
1
2
, P ( , )
P R
p p
, nuqtaga eng qisqa
tushish vaqti quyidagiga teng bo`ladi :
740
*
2
1
1
max ln
;ln
T
k
kp
kp
Teorema1.
2
P R
bo`lsa, u holda
*
1
2
2
1
min
,
,min
,
kt
p
p
u
e
p
p
boshqaruv yordamida,
2
1
2
,
P
p p
R
nuqtaga quyidagi vaqtda o`tadi
*
2
1
1
max ln
;ln
T
k
kp
kp
Agar
0
0
x
bo‘lsa, quyidagi teorema o‘rinli.
Teorema2.
.
2
P R
bo`lsa,
u
holda
*
1
10
2
20
2
20
1
10
min
,
,min
,
kt
p
x
p
x
u
e
p
x
p
x
boshqaruv yordamida,
2
1
2
,
P
p p
R
nuqtaga quyidagi vaqtda o`tadi
*
2
20
1
10
1
max ln
;ln
T
k
k p
x
k p
x
Do'stlaringiz bilan baham: |
