|
KO`RSATKICHLI TAQSIMOT
Ta`rif 8 . Agar uzluksiz X tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi
0, agar x 0
ko`rinishda berilgan bo`lsa, X tasodifiy miqdor ko`rsatkichli qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy deyiladi. Bu yerda biror musbat son. parametrli ko`rsatkichli taqsimot E orqali belgilanadi. Uning grafigi 3- rasmda keltirilgan.
x
Taqsimot funksiyasi quyidagicha ko`rinishga ega bo`ladi:
0, agar x 0.
Uning grafigi 4-rasmda keltirilgan.
x
Endi ko`rsatkichli taqsimotning matematik ko`tilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz.
MX x
0
e xdx
b
lim x
b
0
e xdx
lim
b
b
xde
0
lim
b
b b
xe e
0
0
b
xdx
0
DX x 2 f
dx
MX 2
x 2 e
0
x dx
[bo`laklab integrallash formulasini ikki marta qo`llaymiz]=
x e .
Demak, agar
X ~ E
bo`lsa, u holda
MX va DX
NORMAL TAQSIMOT
Normal taqsimot ehtimollari nazariyasida o`ziga xos o`rin tutadi. Normal taqsimotning xususiyati shundan iboratki, u limit taqsimot hisoblanadi. Ya`ni boshqa taqsimotlar ma`lum shartlar ostida bu taqsimotga intiladi. Normal taqsimot amaliyotda eng ko`p qo`llaniladigan taqsimotdir.
Ta`rif 9 . X uzluksiz tasodifiy miqdor normal qonun bo`yicha taqsimlangan deyiladi, agar uning zichlik funksiyasi quyidagicha ko`rinishga ega bo`lsa
, x ( 13)
a va 0 parametrlar bo`yicha normal taqsimot
N a,
orqali belgilanadi
. X ~ N a, normal tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
Agar normal taqsimot parametrlari a 0 va 1 bo`lsa, u standart
normal taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha ko`rinishga ega:
x2
e 2 .
Bu funksiya Gauss funksiyasi deyiladi. Uning grafigi quyidagicha
x 0,4
0.24
0.053
-1 0
1 2 x
Taqsimot funksiyasi
2
1 x t
ko`rinishga ega va u Laplas funksiyasi deyiladi. Uning grafigi quyidagicha
0 x
0.5
0 x
a va parametrlarni ma`nosini aniqlaymiz. Buning uchun
X ~ N a,
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz:
MX e
dx x a
2
t, almshtirish
bajaramiz
1 2 t
2
a e t2
2 dt
2 te
t 2 dt
a e t2 dt 0 a a
Birinchi integral nolga teng, chunki integral ostidagi funksiya toq, integrallash chegarasi esa nolga nisbatan simmetrikdir. Ikkinchi integral esa Puasson integrali deyiladi,
Shunday qilib, a parametr matematik kutilmasi bildirar ekan.
Dispersiya hisoblshda almashtirish va bo`laklab integrallashdan
faoydalanamiz:
DX x
f x dx 1 x
2
e dx
1 2 2 t 2 e t 2
2
2dt
2
2
2 t 2e t2 dt 2
1 te t2
2
1 e t2 dt
2
2 2 1
2
.2
Demak, DX va o`rtacha kvadratik tarqoqlikni bildirar ekan.
7-rasmda a va larning turli qiymatlarida normal taqsimot grafigining o`zgarishli tasvirlangan:
§. Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyalari.
Bir o`lchovli tasodifiy miqdorlardan tashqari, mumkin bo`lgan qiymatlari 2 ta , 3 ta , …, n ta son bilan aniqlanadigan miqdoirlarni ham o`rganish zarurati tug`iladi. Bunday miqdorlar mos ravishda ikki o`lchovli, uch o`lchovli, … , n o`lchovli deb ataladi.
Faraz qilaylik A, P ehtimollik fazosida aniqlangan
X1 ,
X 2 ,
...,
Xn tasodifiy miqdorlar berigan bo`lsin.
Ta`rif 10. X
X1 ,
X 2 ,
..., Xn
vektorga tasodifiy vektor yoki n-
o`lchovli tasodifiy miqdor deyiladi.
Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdor har bir elementar hodisa ga n ta
X1 ,
X 2 ,
..., Xn
tasodifiy miqdorlarning qabul qiladigan qiymatlarini mos
qo`yadi.
1
FX ,
X 2 ,
..., Xn
X1 ,
X 2 ,
..., Xn
P X1
x1 , X 2
x2 ,
..., Xn xn
n o`lchovli funksiya X
X1 ,
X 2 ,
..., Xn
tasodifiy miqdorning taqsimot
funksiyasi yoki
X1 ,
X 2 ,
..., Xn
tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi
taqsimot funksiyasi dfyiladi.
Qulaylik uchun
1
FX ,
X 2 ,
..., Xn
X1 ,
X 2 ,
..., Xn
taqsimot funksiyani
X 1,
X 2 ,
..., X n
indekslarini tushirib qoldirib,
F x1 ,
x2 ,
...,
xn ko`rinishida yozamiz.
F x1 ,
x2 ,
..., xn
funksiya X
X1 ,
X 2 ,
..., Xn
tasodifiy miqdorning
taqsimot funksiyasi bo`lsin. Ko`p o`lchovli funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz.
F x1 ,
x2 ,
..., xn
taqsimot
1.
chegaralangan.
: 0 F
x1 ,
x2 ,
...,
xn 1,
ya`ni taqsimot funkiya
2. F
x1 ,
x2 ,
..., xn
funksiya har qaysi argumentning bo`yicha
kamayuvchi Agar biror xi bo`lsa, u holda
lim
xi
F x1 ,
x2 ,
..., xn
F x1 ,
...,
1 ,
xi 1 ,
..., xn
F
X1 ,
...,
Xi 1 ,
X ,
I 1
..., Xn
x1 ,
...,
xi 1,
xi 1,
..., xn
4. Agar biror xi bo`lsa, u holda
lim
xi
F x1 ,
x2 ,
..., xn 0.
3- xossa yordamida keltirib chiqarilgan (k1) taqsimot funksiyaga marginal
(xususiy) taqsimot funksiya deyiladi.
X X1 ,
X 2 ,
..., Xn
tasodifiy
miqdorning barcha marginal taqsimot funksiyalari soni
C
C
k
1
n
n
tengdir.
.2 ...
n
C
C
n 1 m
n n
n 0
0 n n
C
2
C
2
ga
n n
Masalan, X
X1 , X 2
n ikki o`lchovlik tasodifiy miqdorning
marginal taqsimot funksiyalari soni quyidagilardir.
k 2 2 2 2
ta bo`lib, ular
F , x2
F2 x2
P X 2
x2 .
Soddalik uchun n=2 bo`lgan holda, ya`ni
X , Y
ikki o`lchovlik
tasodifiy miqdor bo`lgan holni ko`rish bilan cheklanamiz.
X , Y
ikki o`lchovli tasodifiy miqdor taqsimot qonunini
Formula yordamida yoki quyidagi jadval ko`rinishida berish mumkin:
-
|
y1
|
y2
|
|
yn
|
x1
|
p11
|
|
|
|
x2
|
p21
|
|
|
|
…
|
|
|
|
|
xn
|
|
|
|
|
Bu yerda barcha
pij
ehtimolliklar yig`indisi birga teng, chunki
xi , Y y j birgalikda bo`lmagan hodisalar
to`la gruppani tashkil etadi
formula ikki o`lchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni, jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi.
X , Y
ikki o`lchovli diskret tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot
qonuni berilgan bo`lsa, har bir komponentaning alohida (marginal) taqsimot qonunlarini topish mumkin.
Har bir i
xi , Y
1, n
y1 ,
uchun
xi , Y
y2 ,
xi , Y ym
Hodisalar birgalikda bo`lmagani sababli:
x
p P X
i
xi pi1
pi 2
...
pim.
Demak,
x
p P
i
y
j
p P Y y
j
n
pij
i 1
Do'stlaringiz bilan baham: |
