M. M. Mirsaidov, P. J. Matkarimov, A. M. Godovannikov materiallar

Har xil kuchlar bilan yuklangan to‘g‘ri chiziqli konsol balkalar. 

Har xil tashqi kuchlar bilan oddiy yuklangan konsol balka kesimlarida 

hosil bo‘ladigan ichki kuchlarning epyuralarini qurishni ko‘ramiz. 

1-misol. 

Bir nuqtaga qo‘yilgan kuch ta’sirida, konsol balkada 

(2.13-rasm) hosil bo‘ladigan 

M, Q

 epyuralari  qurilsin. 

 

 

2.13-rasm. Bir nuqtaga qo‘yilgan kuch ta’siridagi konsol balka uchun 

eguvchi moment (M) va ko‘ndalang kuch (Q) epyuralarini qurish. 

 

Tayanch reaksiyalarini topamiz: 

∑

Z = R

1

g

 = 0,             R

1

g

 = 0; 

∑

Y = R

1

v

 + P = 0,       R

1

v

 = -P; 

∑

M

0 

=-M + Pl = 0,        M = -Pl. 

Javobdagi 

M

 moment va 

R

1

v

 kuchlari oldidagi (–) ishora, ularni 

haqiqiy yo‘nalishlari rasmda ko‘rsatilgan yo‘nalishga qarama-qarshi 

ekanligini bildiradi. Ularning yo‘nalishlarini o‘zgartirganimizdan keyin 

l

⋅

=

=

P

M

Р

R

,

v

1

 bo‘ladi. 

Sterjen 

1 

ta

 

 uchastkadan iborat. Bu balkadagi ichki kuchlarni 

aniqlash uchun uchastkani (z

1

 masofada) kesib ikki qismga ajratamiz. 

Uning o‘ng qismi muvozanatidan   

Q  epyurasi 

l

M  epyurasi 

l

P

z

1

 

P 

z 

g

R

1

  

M

o

 

y 

    

0 

P 

v

R

1

---

 

48

)

 

z

 

0

 (

   

 

P

- 

=

 

Q

         

       

Pz

 

=

 

М

         

1

1

1

l

≤

≤

⎭

⎬

⎫

  bo‘ladi. 

Bu holda

 

z

1

 = 0 da,   M = 0,     Q=-P; 

z

1

 = 

l

 da,   M = Pl,    Q=-P

 bo‘ladi. 

Olingan    qiymatlar   bilan  

M

  va  

Q

    larning        epyuralarini   

qursak, u 2.13-rasmdagi ko‘rinishga ega bo‘ladi. 

2-misol. 

 Tekis taqsimlangan yoyilgan kuch 

q

 ta’sirida, konsol 

balkada (2.14-rasm)  hosil bo‘ladigan ichki kuchlarning epyurasi  

qurilsin.  

 

 

2.14-rasm. Tekis taqsimlangan yoyilgan kuch (q) ta’sirida konsol 

balkada eguvchi moment (M) va ko‘ndalang kuch (Q) epyuralarini 

qurish. 

 

Tayanch reaksiyalarini topamiz. 

∑

Z = R

1

g

 = 0,              

 R

1

g

 = 0;

 

∑

Y =  R

1

v 

– ql = 0,               R

1

v

 = ql; 

∑

M

0

 =  M

0 

– ql

2

l

 = 0,          M

0 

= 

2

2

ql

. 

Sterjen bir uchastkadan iborat. Shu uchastkani z

1

– masofada ikki 

qismga ajratib, o‘ng qismi muvozanatini tekshirsak u holda: 

(

)

l

≤

≤

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

=

−

=

1

1

2

1

1

0

,

2

z

qz

Q

qz

M

     

---

 

49

  z

1

 = 0 

da

,      

Μ

 = 0,    Q = 0; 

z

1

 = 

l

 

da,

      

Μ

 = - 

2

2

ql

;    Q =  ql. 

 

Q

 kuchning epyurasida nollik nuqtaning yo‘qligi 

M

 epyurasida 

ekstremal nuqtalar mavjud emasligini ko‘rsatadi. 

M

 ning epyurasini 

qurish uchun kamida yana bitta nuqtada  uning qiymatini topish kerak. 

Buning uchun 

z

1

 ni ihtiyoriy qiymati, ya’ni z = 0,5

l

 uchun M ning 

qiymatini hisoblaymiz, u holda 

8

2

l

q

М

=

 bo‘ladi. Topilgan qiymatlar 

asosida qurilgan 

M

 va 

Q

 ning epyurasi 2.14-rasmda ko‘rsatilgan. 

3-misol

. Bir nuqtaga qo‘yilgan moment  ta’sirida, konsol balkada 

(2.15-rasm) hosil bo‘ladigan ichki kuchlarning epyuralari  qurilsin. 

Tayanch reaksiyalarini topamiz. 

 

∑

Z = R

1

g

 = 0,         R

1

g

 = 0; 

∑

Y = R

1

v

 = 0,         R

1

v

 = 0; 

∑Μ

0

 = 

Μ

0

 – 

Μ

 = 0,      

Μ

0

 =  M. 

 

Balka bir  uchastkadan iborat. 

M 

va 

Q

 epyuralarini qurish uchun 

bu uchastkani 

z

1

 

 masofada kesib, o‘ng qismini qaraymiz. U holda 

M

 

ning epyurasi o‘zgarmas, ya’ni

 

Μ

 = – M

0

 

bo‘lib, 

Q

 ning epyurasi esa 

nolga teng bo‘ladi. Bu epyuralar 2.15-rasmda ko‘rsatilgan. 

 

 

 

2.15-rasm. Bir nuqtaga qo‘yilgan kuch ta’sirida konsol balkada ichki 

kuchlarning epyurasini qurish. 

 

---

 

50

Demak, konsol balkalar uchun tayanch reaksiyalarini 

aniqlamasdan  ham ichki kuchlarning epyuralarini qurish mumkin ekan, 

chunki uchastkadan kesim o‘tkazilganda balkaning tayanch qismi 

tashlab yuborilishi mumkin. 

Ikkita tayanchda turuvchi to‘g‘ri chiziqli murakkab balkalar

. 

Tabiiyki, amaliy masalalarni yechishda balkaga ta’sir qilayotgan tashqi 

kuchlar turli xil ko‘rinishda bo‘lib, konstruksiyalar ham turli xil konsol 

va  ikkita  tayanchlarda  turuvchi  balkalardan  tashkil  topgan   bo‘lishi   

mumkin (2.16-rasm). 

 

 

2.16-rasm. Balka turlari. 

 

Shunday sistemalar (2.16-rasm) uchun ichki kuchlar epyuralarini 

qurishga qator misollarni ko‘rib chiqamiz. 

1 - misol.

  Har xil  kuchlar bilan yuklangan balka (2.17-rasm) 

uchun ichki kuchlar epyuralari qurilsin. 

q=2 tk/m, P=6 tk, a=6m, b=2m. 

Tayanch reaksiyalarini topamiz:   

0

1

=

=

∑

g

R

Z

; 

(

)

(

)

.

t

4

6

2

6

2

6

2

2

,

0

2

;

14

6

2

6

6

2

6

2

2

,

0

)

(

2

2

2

v

1

v

1

2

2

2

2

2

1

k

a

Pb

a

q

R

Pb

a

a

q

a

R

M

tk

a

b

a

P

a

q

R

b

a

P

a

R

a

a

q

M

=

⋅

−

=

−

⋅

=

=

−

⋅

+

⋅

⋅

−

=

=

+

+

=

+

+

⋅

=

=

+

−

⋅

+

⋅

⋅

−

=

∑

∑

 

Tayanch reaksiyalarining to‘g‘ri topilganligini tekshiramiz: 

∑

=

−

+

⋅

−

=

−

+

⋅

−

=

0

6

14

6

2

4

2

v

1

P

R

a

q

R

Y

 

0 = 0. 

Demak, to‘g‘ri topilgan. 

M 

va 

Q

 epyuralarini quramiz. Bu balka 2 uchastkadan iborat:  

I - uchastkada (0 

≤

 z

1

 

≤

  

a

):  

---

 

51

(

)

a

z

qz

R

Q

qz

z

R

M

≤

≤

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−

=

−

=

1

1

v

1

1

2

1

1

v

1

1

0

;

;

2

 

bo‘lib, 

bundan  z

1

 = 0 da,       

Μ

1

 = 0,                 Q

1

 =

v

1

R

 =

 

4 tk

; 

    z

1

 = 6m da,    

Μ

1

 = - 12 tk·m,      Q

1

 = - 8 tk. 

 

 

 

2.17-rasm. Turli kuchlar bilan yuklangan balka uchun ichki kuch 

epyuralarini qurish. 

 

Uchastka boshidan z

1

 = 2m masofada 

Q

 nolga teng bo‘lib, M = 

4tk·m qiymatga ega bo‘ladi.

 

I I - uchastkada  (0 

≤

 z

2

 

≤

  

b ): 

⎭

⎬

⎫

=

−

=

P

Q

Pz

M

2

2

2

(0 

≤

 z

2

 

≤

  

b )   bo‘lib,  

bunda    z

2

 = 0 da,         

Μ

2

 = 0,               Q

2

 = P = 6 tk;  

              z

2 

= 2m  da,      M

2

 = -12 tk·m,      Q

2 

= P = 6 tk   qiymatga  ega 

bo‘ladi. 

Demak, epyurada ichki kuchlar momenti 

M

 ning eng katta qiymati  

balkaning o‘ng tayanch kesim yuzasiga to‘g‘ri kelib, uning qiymati 12 

8 

y 

6 

+ 

g

1

R

1 

2

b 

R

2

 

z

1

 

z

2

 

P

q 

z

2

 

z

1

 

q 

4

4 

12 

2  m

M  epyurasi 

v

1

R

P 

z 

Q  epyurasi

а

-

v

1

R

---

 

52

tk·m

 

ga teng bo‘ladi. 

Q

 ning epyurasidagi sakrashlar miqdori qo‘yilgan 

kuchlar va tayanch reaksiyalarining qiymatlariga teng ekan. 

2-misol

. Quyidagi balka (2.18-rasm) uchun ichki kuchlarning 

epyurasi qurilsin. 

q=2tk/m,   M=12tk·m,   a=2m,   b=4m,   c=4m 

   

 

 

2.18-rasm. Turli kuchlar bilan yuklangan balka uchun ichki kuch 

epyuralarini qurish. 

 

Tayanch reaksiyalarini aniqlaymiz. 

( )

( )

tk.

3

4

4

12

2

2

4

4

2

2

2

,

0

2

;

1

4

4

12

2

2

2

2

,

0

2

;

0

v

1

v

1

2

2

2

2

2

1

1

=

+

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

⋅

=

+

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

⋅

=

=

−

+

⋅

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

⋅

⋅

=

=

+

+

⋅

−

=

+

+

−

=

=

+

⋅

+

−

⋅

⋅

=

=

=

∑

∑

∑

c

b

M

a

c

b

a

q

R

M

c

b

R

a

c

b

a

q

M

tk

c

b

M

a

q

R

c

b

R

M

a

a

q

M

R

Z

g

 

 Tayanch 

reaksiyalarining 

to‘g‘ri topilganligini tekshiramiz: 

∑

Y = -q 

⋅

 

a 

+ 

v

1

R

 

+ R

2

 = -2 · 2 + 3 + 1 = 0, 

0 = 0,    

 

- 

z

1

 

q 

b

 

c

R

2

 

q 

z

3

 

z

2

 

z

1

 

z

2

 

R

2

 

z

3

 

M 

M

R

2

 

c 

M

 

epyurasi 

4 

8 

4 

Q

 

epyurasi 

1

y 

z 

1 

2 

4 

а

 

---

 

53

Demak, to‘g‘ri topilgan. 

Bu balka 3 ta uchastkadan iborat. Shuni e’tiborga olib, 

M, Q

 

larning qiymatlarini aniqlaymiz: 

I – uchastkada (0 

≤

 z

1 

≤

 

a

): 

(

)

.

0

;

2

1

1

1

2

1

1

a

z

qz

Q

qz

M

≤

≤

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

−

=

−

=

 

Bundan    z

1 

= 0 da,         M

1

 = 0,                  Q

1

 = 0; 

               z

1 

= 1 m da,      M

1

 = -1tk·m,           Q

1

 = -2tk; 

               z

1

 = 2 m da,     M

1

 = - 4 tk·m,          Q

1

 = - 4 tk 

bo‘ladi. 

II – uchastkada (0 

≤

 z

2 

≤

 s): 

(

)

.

0

;

2

2

2

2

2

2

c

z

R

Q

Z

R

M

≤

≤

⎭

⎬

⎫

−

=

=

 

Bundan,     z

2 

= 0 da,         M

2

 = 0,               Q

2

 = -1tk; 

                 z

2

 = 4m da,      M

2

 = 4 tk·m,        Q

2 

= -1 tk  bo‘ladi. 

III – uchastkada (0 

≤

 z

3 

≤

 b): 

(

)

(

)

.

0

,

2

2

3

3

2

3

b

z

R

Q

M

c

z

R

М

≤

≤

⎭

⎬

⎫

−

=

−

+

=

 

 Bundan,  z

3

 = 0da,          M

3

 = -8 tk·m,       Q

3 

=-1 tk; 

               z

3

 = 4m da,       M

3

 = -4 tk·m,       Q

3 

=-1 tk      bo‘ladi. 

Bu  natijalardan  foydalanib  

M,  Q

 larning  epyuralarini  quramiz  

(2.18-rasm). 

 Bir nuqtaga qo‘yilgan tashqi moment 

M

 ta’siridan, shu nuqtada 

moment 

M

 miqdoriga teng sakrash hosil bo‘lganligi epyuradan ko‘rinib 

turibdi. Ichki kuchlar momentining M

3 

= 8 tk·m

 

ga teng eng katta 

qiymati tashqi moment

 

M

 qo‘yilgan nuqtaning chap kesimida hosil 

bo‘lmoqda. 

Ichki kuchlar epyurasini qurishni qo‘zg‘almas sanoq sistemasiga 

nisbatan ham hisoblash mumkin. Bu holda sanoq boshi balkaning chap 

yoki o‘ng tomonida olinadi.  

3-misol. 

Oldingi misoldagi (2.18-rasm) ichki kuchlar epyurasini 

qo‘zg‘almas sanoq sistemasiga nisbatan qurishni ko‘ramiz.  

Bu misolda 

q = 2 tk/m, M = 12 tk·m, a =2 m,  b = 4 m, c = 4 m

 

edi. 

Reaksiya kuchlari 2-misolda topilgan bo‘lib, ular 

tk

R

tk

R

R

v

g

1

,

3

,

0

2

1

1

=

=

=

  chiqqan edi. Hisob ishlarini boshlash 

---

 

54

uchun sanoq boshini balkaning chap chetidan olamiz (2.19 rasm). Sanoq 

sistemasi o‘zgarsa ham balkadagi uchastkalar soni o‘zgarmaydi. 

 

 

2.19-rasm. Turli kuchlar bilan yuklangan balka uchun ichki kuch 

epyuralarini qurish. 

 

Demak, bu holda ham balkani 3 ta uchastkadan iborat deb qarash 

mumkin. Shuni e’tiborga olib, har bir uchastka uchun 

M, Q

 larning 

qiymatlarini aniqlaymiz. 

I – uchastkada (0

≤

z

1

≤

a

): 

 

bundan, 

 

 

II – uchastkada (

a

≤

 z

2 

≤

 (

a

+b)): 

y 

q 

M 

0 

1

2

z 

R

2

 

c

b 

g

1

R

v

1

R

z

1

 

z

2

 

z

3

 

q 

q 

q 

z

3

 

z

2

 

z

1

 

M 

8

4 

M 

epyurasi

 

Q 

epyurasi 

4 

4 

1

а

- 

v

1

R

v

1

R

v

1

R

---

 

55

 

bundan, 

 

III– uchastkada (

a

+b) 

≤

 z

3 

≤

 (

a

+b+c): 

 

bundan, 

 

M, Q

 ning topilgan  qiymatlari  asosida  epyura  quradigan  

bo‘lsak,  u  2.19-rasmdagi ko‘rinishga ega bo‘ladi. 

2.18- va 2.19-rasmlardagi epyuralarni solishtirsak, ular bir xil, 

ammo qo‘zg‘almas koordinatalar sistemasida hisoblash formulalari 

ancha murakkab bo‘lib ketishi mumkin ekan.