Лоренс Питер 4-мавзу. Чекланган ресурсларни самарали тақсимлаш масаласини ечишда иккиланганлик назарияси

4.3. Иккиланган баҳолар хусусиятлари ва уларнинг иқтисодий таҳлилда қўлланилиши.

Иқтисодий-математик таҳлилнинг энг самарали воситаларидан бири оптимал режанинг иккиланган баҳоларидир. Бундай хилдаги таҳлил иккиланган баҳоларни хусусиятларига асосланади. Юқорида иккиланган баҳоларни умумий математик хусусиятлари ҳар қандай иқтисодий жараённи оптималлаштириш масаласи учун келтирилган. Аммо бу иккиланган баҳоларни иқтисодий талқини турли масалалар учун турлича бўлиши мумкин. Оптимал режадаги (дастурдаги) иккиланган баҳоларни аниқ иқтисодий хусусиятлари қуйидагилардан иборат:

Биринчи хусусияти. Ишлаб чиқаришда ишлатилаётган ресурснинг тақчиллигини ифодаловчи ўлчов – баҳо сифатида.
Иккинчи хусусияти. Чегаравий шартни масаланинг мақсад мезони, яъни функционалга таъсир кўрсатувчи ўлчов – баҳо сифатида.
Учинчи хусусияти. Баъзи бир ишлаб чиқариш вариантларининг самарасини аниқлашда баҳолаш воситаси.
Тўртинчи хусусияти. Ишлаб чиқариш харажатлари ва натижаларининг йиғиндисини баланслаштиришни баҳолаш воситаси.
Оптимал режадаги (дастурдаги) иккиланган баҳоларнинг ушбу санаб ўтилган хусусиятларини кетма-кет равишда, батафсил ифодалаймиз.
Биринчи хусусияти. Ишлаб чиқаришда ресурс тақчиллигини ифодаловчи баҳо – ўлчов сифатида. Иккиланган баҳолар чекланган ишлаб чиқариш омилларини масаланинг мақсад функциясида берилаётган талабларга нисбатан тақчиллик даражасини ифодалайди. Миқдор жиҳатидан тақчиллик даражаси ишлаб чиқариш омилларининг самарасини чекли баҳоларда мақсад функциясига қўшган ҳиссаси нуқтаи назаридан ифодалайди. Ишлаб чиқаришни чегараламаган, лимитланмаган барча омилларнинг иккиланган баҳолари нолга тенг бўлади, яъни иккиланган масалани иккинчи теоремасидан келиб чиқадики:
Агар бўлса, унда

бўлади.
Агар бўлса, унда

бўлади.
Оптимал режада (дастурда) тўлиқ фойдаланилган ресурс тақчил ресурс деб ҳисобланади. ва унинг иккиланган баҳоси мусбат бўлади. Тўлиқ фойдаланилмаган ресурслар тақчил бўлмаган ресурслар деб аталади. Улар учун ва уларнинг иккиланган баҳоси нолга тенг бўлади.
Тақчил ресурснинг иккиланган баҳоси қанчалик катта бўлса, бу ресурсни тақчиллиги шунчалик юқори ҳисобланади.
Ишбилармон чизиқли дастурлаш масаласини иккиланган баҳоларини бу хусусиятларидан амалда фойдаланиб, ишлаб чиқариш фирмаларининг иш фаолиятини яхшилашдаги «тор жойларни», яъни қайси ресурс ишлаб чиқаришни чегаралаб, «ушлаб» турганини аниқлайди ва бу ресурсдан қўшимча топиш имкониятларини излайди.
Иккинчи хусусияти. Чегаравий шартни масаланинг мақсад мезони, яъни функционалга таъсир кўрсатувчи ўлчов – баҳо сифатида. Ишлаб чиқариш билан боғлиқ бўлган у ёки бу ресурснинг иккиланган баҳосини миқдори агар шу ресурснинг ҳажмини бир бирликка ортганида мақсад функциянинг максимал қиймати қанчага ортишини кўрсатади. (Иккиланган баҳолар тўғрисидаги теоремага асосан ). Шу билан бирга ишлаб чиқаришда тўлиқ фойдаланилмаган ресурслар иккиланган баҳосини нолга тенглигини ҳам тушунтириш мумкин, яъни бундай ресурсларнинг захирасини кўпайтириш ишлаб чиқаришнинг оптимал режасига таъсир кўрсатмайди, бу эса олинадиган фойда миқдорини ҳам ўзгартирмайди.
Аммо шуни ҳам эсда тутиш керакки, иккиланган баҳолар ишлаб чиқариш ресурслари ҳажмини ҳар қандай ўзгаришидаги самарани баҳолашга эмас, балки маълум бир кичик ҳажмдаги ўзгаришларига тўғри келади. Ресурслар ҳажми кескин ўзгарганида, иккиланган баҳоларнинг ўзи ҳам бошқача бўлиши мумкин.
Иккинчи хусусиятнинг моҳияти шундаки, унинг ёрдамида фирмадаги «тор жойлар» ни аниқлаш ва уларни олдини олиш йўналишларини белгилаб беради, энг катта иқтисодий самарани таъминлайди ва умумий оптималлик нуқтаи назаридан ишлаб чиқарилаётган маҳсулотлар таркибини мақсадга мувофиқ равишда ўзгартиришни таъминлайди. Аммо оптимал режани иккиланган баҳоларини бундай хусусиятларида уларни чекли характерга эга эканлиги жиддий ўрин эгаллайди. Чегаравий шартларни функционалга таъсирини аниқ ўлчови бўлиб, чегаравий шартларни кичик миқдорга ортишларидаги баҳолар ҳисобланади. Маълумки, иккиланган баҳолар ўз қийматларини ўзгартирмайдилар, агар оптимал режа базисига кирган векторлар тўплами ўзгармаса, яъни бунда бу векторларни интенсивлиги (номаълумлар қиймати) режада ўзгаришлари мумкин. Буни қуйидаги матрица кўринишидаги моделда кўриб чиқиш мумкин.

,
,
бу ерда – номаълумлар вектори;
– мақсад функциядаги номаълумлар олдидаги коэффициентлар вектори;
– берилган масалани чегаравий шартларидаги озод ҳадлар вектори;

- чегаравий шартлар тизимидаги харажатлар матрицаси коэффициентлари.
Масалани каноник кўринишга келтириш учун унга – қўшимча номаълумлар киритилади. Унда масалани кўриниши қуйидаги ҳолга келади:

,
,
бу ерда номаълум ўзгарувчилар вектори энди ўлчамли бўлади. Натижада матрицанинг ўлчами ҳам ўзгаради ва га тенг бўлади.
Энди оптимал режа маълум бўлсин. Номаълум ўзгарувчилар вектори ни иккита векторларга ажратамиз: ва . Биринчисига оптимал ечим базисига кирган номаълумларни, яъни оптимал режада нол қиймат қабул қилмаганларини киритамиз. Мос равишда матрицани ҳам иккита матрицага ажратамиз: ва ўлчамли. Буларни биринчиси матрицани шундай устунларини шакллантирадики, улар оптимал режада нол бўлмаган номаълумларга тўғри келади. Уни қуйидагича ёзиш мумкин, . Иккинчи матрица бўлгани учун . Ҳосил бўлган тенгликни иккала томонини матрицага тескари бўлган матрицага кўпайтириб,

B ни ҳосил қиламиз. Бирлик матрица эканлигидан келиб чиқади. Бу ерда – бирлик матрица.
Энди деб белгилаб, кўринишда ифодалаш мумкин. Бу ерда матрица ресурсларни ишлаб чиқариш миқдори га таъсирини ифодалайди. Агар ажратилган ресурсларга озгина қўшимча берилса, яъни вектор га ортса, ишлаб чиқариш миқдори ҳам маълум бир қийматга ортади:
.
Энди эканлигини ҳисобга олсак, юқоридаги ифодани қуйидагича ёзиш мумкин:
.
Бу муносабат берилган масаладаги чегаравий шартлар ўзгарганида ишлаб чиқаришдаги таркибий ўзгаришлар миқдорини аниқлайди. Иккиланганликнинг иккинчи теоремасидан нисбатан кўриниб турибдики, иккиланган баҳолар (иккиланган масаланинг номаълумлари) тўғри масалани оптимал режаси билан жуда яқин боғлангандир. Берилган масалани ҳар қандай ўзгариши, уни оптимал режасига таъсир ўтказиши билан худди шундай иккиланган баҳолар тизимини ҳам ўзгартириши мумкин. Шунинг учун иккиланган баҳолардан фойдаланиб, иқтисодий таҳлил ўтказиш учун уларни барқарорлик интервалларини аниқлаш лозим.
Иккиланган баҳоларни иккинчи хусусияти шуни билдирадики, миқдорнинг қийматини ўзгариши мақсад функцияни ортиши ёки камайишига олиб келади. Бундай ўзгаришлар қиймати билан аниқланади ва ўрнатилиши мумкин, қачонки қиймат ўзгарганида, оптимал режага мос келувчи иккиланган масалани ўзгарувчилари қийматлари ўзгармай қолганда. Шунинг учун чизиқли тизим тенгламалари ва тенгсизликларининг ҳар бир озод ҳадлари ўзгариш интервалларида аниқлаш зарур , ушбу ҳолда иккиланган масаланинг оптимал режаси ўзгармасин. Бу эса вектор компонентлари орасида манфий қийматлар учрамаган ҳолда юз беради. Шуни ҳам эсда тутиш керакки, матрица элементлари матрицага тескари бўлиб, – базис вектор компонентларидан ташкил топади, чунки масалани оптимал режасини аниқлайди ва биринчи базисни ташкил этувчи векторлар устунидан олинади.
Буларнинг натижасида алоҳида ҳар бир чегаравий шартни ўзгаришида иккиланган баҳоларни пастки ва юқори барқарорлик чегарасининг баҳоси аниқланади. Чегарани камайиши (пастки чегара) шундай билан аниқланади, улар учун мос келувчи бўлади:
бўлганида.
Чегаранинг ортиши (юқори чегара) шундай билан аниқланадики, улар учун бўлади:
бўлганида.
Қандайдир -чегаравий шартни бўшаши шунга олиб келадики, маълум бир вақтдан бошлаб базис режанинг таркибини (векторлар тўпламини) ўзгартириш мумкин бўлиб қолади, аммо бу баҳо қийматини тартибсиз равишда камайишига олиб келади. Бу -ресурс тақчил бўлмай қолиши ва унинг иккиланган баҳоси нолга айланиб қолмагунча давом этиб боради.
Учинчи хусусияти. Баъзи бир ишлаб чиқариш вариантларининг самарали эканлигини аниқлашда баҳолаш воситаси. Бу хусусият иккиланганликни иккинчи теоремасидан келиб чиқади:
Агар бўлса, унда

бўлади.
Агар бўлса, унда

бўлади.
Бундай муносабатларга асосан оптимал режадаги қиймати мусбат бўлган номаълумлар учун иккиланган масаладаги мос келувчи боғланган шартлар тенгликка айланади ва нол қиймат қабул қилган номаълумлар оптимал режага кирмаганлар учун иккиланган масалада мос келувчи боғланган шартлар тенгсизликка айланади.
Масалани шартига қараб чегаравий ресурсларни иккиланган масаладаги баҳоси турлича талқин қилинади. Агар берилган масала олинадиган фойдани максималлаштиришга қаратилган бўлса ва чегараланган ресурс - ускуна бўлса, унда иккиланган баҳо ускунани ижара баҳосини ифодалайди. Бу кўрсаткич турдаги ускунани ишлаш вақти фонди чекланганлигини ва ижобий самара берувчи барча йўналишларда ундан фойдаланиш имконияти йўқлигини билдиради. Шунинг учун ускунадан умумий оптимум нуқтаи назаридан энг юқори самарани таъминловчи технологик жараёнларда фойдаланишни масаланинг ечимида аниқланади. Натижада ускуналар етишмаслиги сабабли корхона бир хилдаги технологик жараёнлардан маълум бир фойда олаолмай қолади, бошқа бирларида – самараси пастроқ ресурслардан фойдаланишга мажбур бўлади.
Бунда иккиланган баҳо – -турдаги ускуналарни иш вақти танқислиги сабабли олинмай қолинган фойдани чекли қийматини кўрсатади. Иккиланганликнинг бу хусусиятига қараб, масалани максимум фойда олишини таъминловчи оптимал режасига фақатгина шундай ишлаб чиқариш усуллари (вариантлари) кириши мумкин, қачонки тақчил ресурсларни бошқа усулга жалб қилиш натижасида олинмаган фойда олинадиган фойда ни қопласа. Олинмаган ва олинган фойда айирмаси ишлаб чиқаришнинг характеристикаси бўлиб хизмат қилади:
,
бундан шу келиб чиқадики, агар бўлса, ишлаб чиқариш фойдасиз; агар бўлса, ишлаб чиқариш фойдали.
Иккиланган баҳолар ёрдамида масалани қайтадан ечмасдан, янги технологик жараёнларнинг самарасини, янги маҳсулотларнинг рентабеллилигини аниқлаш мумкин.
Тўртинчи хусусияти. Ишлаб чиқариш харажатлари ва натижаларининг йиғиндисини баланслаштиришни баҳолаш воситаси. Бу хусусият иккиланганликнинг биринчи теоремасидан келиб чиқади ҳамда тўғри ва тескари масалаларни мақсад функцияларини боғлайди . Бу хусусиятдан фойдаланиб, бутун иқтисодий тизимнинг харажатлар ва натижаларини тузиш ва баланслаштириш мумкин. Кенг маънода натижалар деганда, иқтисодий тизимни умумий мақсадига қўшиладиган ҳисса, харажатлар деганда – бу мақсадларга эришишда қўлдан бой берилган имкониятлар тушунилади.
Амалда тузилаётган ҳар бир оптималлаштириш масаласида оптимал нуқтадаги харажатлар ва натижалар сингари муносабатлар турли хилдаги иқтисодий маънога эга бўлади. Ишбилармон учун бу муносабатларни тенг бўлиши барқарор фаолият олиб боришдан дарак беради.
Фирманинг ишлаб чиқарилаётган маҳсулотлардан максимал фойда олиш масаласида берилган ва иккиланган масалалар функционалларини тенглиги шуни билдирадики, фирма максимал фойда олишга эришиши мумкин, фақатгина фойдаланаётган тақчил ресурслардан олаолмай қолган фойдани минималлаштирилган ҳолдагина.
Шу билан бирга чизиқли дастурлаш масалалари ишбилармонлар учун қандай иш фаолияти олиб борилганида иқтисодий самаранинг юқори бўлиш йўлларини кўрсатиб беради.