Лоренс Питер 4-мавзу. Чекланган ресурсларни самарали тақсимлаш масаласини ечишда иккиланганлик назарияси

Иқтисодиёт – бу чекланган ресурслар ёрдамида жамиятнинг чексиз эҳтиёжларини қондириш санъатидир.
Лоренс Питер


4-МАВЗУ. ЧЕКЛАНГАН РЕСУРСЛАРНИ САМАРАЛИ ТАҚСИМЛАШ МАСАЛАСИНИ ЕЧИШДА ИККИЛАНГАНЛИК НАЗАРИЯСИ

1. 
   Чизиқли дастурлаш усулининг берилган ва иккиланган масалаларининг иқтисодий талқини.
   
2. 
   Иқтисодий масалаларни қўйилишида иккиланганлик шартлари.
   
3. 
   Иккиланган баҳолар хусусиятлари ва уларнинг иқтисодий таҳлилда қўлланилиши.
   

Таянч иборалар: чекланган ресурслар, берилган масала, иккиланган масала, иккиланган масалани тузиш шартлари, иккиланган баҳолар.


4.1. Чизиқли дастурлашнинг берилган ва иккиланган масалаларининг иқтисодий талқини.

Чизиқли дастурлашда иккиланган масаланинг асосий теоремаси бўлган берилган ва иккиланган масаланинг ихтиёрий ечими мавжуд бўлса, улар учун оптимал ечим ҳам мавжудлиги ва

(1)
эканлиги исбот этилган.
Қўшма симметрик масалаларнинг оптимал режалари фақат мақсад функциялари қийматларининг тенглиги билангина боғлиқ бўлмай, уларда ушбу муҳим муносабатлар ҳам мавжуддир:
1) фақат оптимал режада тўлиқ иштирок этган ресурсларнинг иккиланган баҳоси мавжуд, қолганлариники нолга тенгдир;
2) агар маҳсулот оптимал режага киритилган бўлса, унинг баҳоси бир бирлик маҳсулотни ишлаб чиқариш учун сарфланадиган ресурслар билан баҳоланади, акс ҳолда шу маҳсулотни ишлаб чиқариш корхона учун фойда келтирмайди.
Чизиқли дастурлаш усулининг берилган ва иккиланган масалалари бир-бирига боғлиқ бўлмаган ҳолда симплекс усули орқали ечилиши мумкин.
Юқоридагилардан кўриниб турибдики, чизиқли дастурлаш усулининг берилган масаласига мос равишда иккиланган масалани тузиш ва аксинча, иккиланган масала берилган бўлса, унга қўшма бўлган тўғри масалани келтириб чиқариш мумкин экан.
Масала. ва ўзгарувчиларнинг шундай қийматлари аниқлансинки, унда

бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилсин:



.
Бу масалага қўшма бўлган иккиланган масала қуйидагича бўлади:
ва ўзгарувчиларнинг шундай қийматлари аниқлансинки, унда

бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилсин:


.
Берилган дастлабки ва тузилган иккиланган масалаларнинг тенгсизликлари учун ушбу муносабатлар ўринли эканлигини кўриш мумкин:
1) ва ;
2) ва ;
3) ва ;
4) ва ;
5) ва .
Жуфт симметрик қўшма масалалар учун айрим иқтисодий мулоҳазаларни кўриб чиқамиз. Симметрик қўшма масалаларни иқтисодиётнинг турли хил соҳалари ва тармоқларида қўллаш мумкин. Масалан, ишлаб чиқариш корхоналарида хом ашёдан фойдаланиш масаласи берилган бўлсин. Бу масалада икки хил турдаги хом ашё заҳиралари бўйича уч хил ассортиментдаги маҳсулот ишлаб чиқариш режасини шундай ташкил этиш керакки, натижада ишлаб чиқарилган маҳсулотларнинг сотилишидан келадиган фойда энг катта бўлсин (мақсад функцияси максимумга интилсин). Келтирилган ушбу масаланинг математик кўриниши қуйидагича бўлади (1-схема).

I. Берилган масала	II. Иккиланган масала
, , ўзгарувчиларнинг шундай қийматлари топилсинки, унда	ва ўзгарувчиларнинг шундай қийматлари топилсинки, унда
функционал максимум қийматга эга бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилсин:	функционал минимум қийматга эга бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилсин:

1-схема. Берилган ва иккиланган масалаларни тузиш шартлари

Маълумки, умумий ҳолда ифодаланган 1-схемадаги I-масаланинг озод ҳадлари ресурсларни (ишлаб чиқариш омилларини) кўрсатиб, оптимал ишлаб чиқариш режасини аниқлайди. Иккиланган ёки қўшма бўлган II-масала эса ресурсларнинг оптимал баҳосини, яъни бир бирлик баҳосини (нархини) шундай аниқлаш керакки, маҳсулот ишлаб чиқаришга сарфланган ресурслар қиймати энг кам бўлсин. Кўриниб турибдики, ресурсларнинг оптимал баҳоси нисбий маънога эга экан, чунки ресурслар иккала масалада икки хил маънога эгадир.

Масалан, икки хил маҳсулот ишлаб чиқаришнинг оптимал режасини учта ресурслар бўйича топиш талаб этилсин. Бу масаланинг мақсад функцияси

кўринишида бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилсин:

.
Кўриниб турибдики, бу масалага қўшма бўлган масала ресурсларнинг оптимал баҳосини аниқлашдан иборат бўлиб, мақсад функцияси қуйидаги кўринишда бўлади:

ва ушбу шартларни қаноатлантиради:

.
Масалани симплекс усулида ечиб, оптимал ечимни топсак, бўлади. Бундан эса ресурсларнинг оптимал баҳоси ва бўлади. Бу масалада оптимал ечим ягона бўлмасдан, яна ҳам оптимал ечим бўлади, чунки бу ҳолда ҳам бўлиб, берилган барча шартлар бажарилади.
Демак, иккиланган ёки қўшма масалаларда оптимал ечим ягона бўлмасдан, бир нечта бўлиши мумкин экан.
Юқорида кўриб чиқилган чизиқли дастурлаш усулининг берилган ва иккиланган масалаларини чуқурроқ таҳлил этиш мумкин, яъни иқтисодий масалаларни моделлаштиришни асосий босқичлари бўлиб – уни математик таҳлил қилиш ҳисобланади. Ҳар қандай иқтисодий жараённи моделлаштириш, ушбу жараённи маълум бир даражада соддалаштиришлар билан боғлиқ бўлиб, бунда соддалаштиришлар фойдаланилаётган маълумотлар ва олинган натижаларга ўз таъсирини ўтказади. Шунинг учун иқтисодий-математик моделлар ёрдамида аниқланган ечимлардан тўғридан-тўғри фойдаланиш кўзланган натижани бермаслиги ҳам мумкин. Бундан шу келиб чиқадики, математик усуллар ёрдамида масаланинг ечимини аниқлаш жараёнини бир марта ўтказиладиган жараён деб қараш керак эмас.
Иқтисодий масалалар ечимини иқтисодий-математик таҳлил қилиш асосан икки йўналиш бўйича олиб борилади:
- модел бўйича турли хилдаги вариантлар ҳисоб-китоби, вариантларни бир-бири билан солиштириш билан;
- аниқланган ҳар бир ечимни иккиланган баҳолар ёрдамида таҳлил қилиш ёрдамида.
Масалани турли вариантлар бўйича таҳлил қилиш моделни ўзгармаган таркибида амалга ошириш мумкин (номаълумлар таркиби, ишлаб чиқариш усуллари, масаланинг чегаравий шартлари ва оптималлаш мақсад функцияси ўзгармайди), аммо моделдаги кўрсаткичларнинг қийматларини ўзгартириш ёки модел элементларининг ўзини ўзгартириш билан: мақсад мезонини ўзгартириш, ресурсларга янги чегараловчи шартларни қўшиш ёки ишлаб чиқариш усулларини масала шартига киритиш, вариантлар тўпламини кенгайтириш ва ҳ.к.