Logarifmik tengsizliklar va tengsizliklar sistemasini yechish usullari

2.2. Logarifmik tengsizliklar sistemasini yechish usullari
Logarifmik tengsizliklar sistemasini yechish usullarini ko’rib chiqamiz:
tengsizliklar sistemasini yeching.
Yechish: Sistemadan mavjudlik shartlari va tengsizliklarni bajarilishi sharti ni hosil qilamiz. Bu tengsizliklarni birgalikda yechib: ni topamiz.
Bu tengsizliklarga umumiy qismi sistemaning yechimi bo`ladi.
Javob:

6-misol. sistemani yeching.

Yechish. Oldingi misolga o`xshab, topamiz:

-3 dan kichik, lekin 0 dan katta sonlar mavjud emas. Sistemaning yechimi bo`sh to`plamdan iborat.

Javob: Ø
Misollar yechish bilan tushuntiramiz.
1-misol. tenglamalar sistemasi yechilsin.
Yechish: Tenglamalarning mavjudlik sohasini topamiz. Ikkinchi tenglama x va y ning barcha qiymatlarida aniqlangan. Birinchi tenglama-dan x>0 va y>0 ni topamiz.
Birinchi tenglamadan ni topib, ikkinchi tengla-maga qo`yamiz: 2y²-3y+1=0. Bundan ni topamiz. Bunga mos x ning qiymatlarini x=3y dan topamiz: .
Javob: .

у
2-misol. sistemani yeching.
Yechish: Tenglamalarning mavjudlik
sohasini aniqlovchi
sistemasini yechib 5-rasm
ni topamiz. Bu soha
2-rasmda shtrixlab ko`rsatilgan.
Sistemani potensirlab quyidagi teng kuchli sistemaga kelamiz:

Bu tenglamalarni qo`shib ni, ayirib esa ni topamiz.
Javob:
3-misol. sistemani yeching.
Yechish: Birinchi tenglama x va y ning barcha qiymatlarida aniq-langan. Ikkinchi tenglamadan x>0, y>0, x≠1, y≠1 shartlarni aniqlaymiz.
Ikkinchi tenglamani quyidagicha o`zgartirib yozamiz:
yoki

hosil bo`lgan kvadrat tenglamadan noma`lum ni topamiz.

Bularni ketma-ket birinchi tenglamaga qo`yib, topamiz:


Javob: (3; 9), (9; 3)
4-misol. sistemani yeching.
Yechish: Birinchi tenglamadan x≠0, y≠0 ni ikkinchi tenglamadan sistemaning mavjudlik sohasi x>0 va y>0 ni topamiz. Tenglamalarni o`zgartirib, topamiz:
Ikkinchi tenglamani 2 ga ko`paytiramiz va tenglamalarni qo`shib, x<sup>2</sup>+2xy+y<sup>2</sup>=196 yoki (x+y)<sup>2</sup>=196 ni hosil qilamiz. Bundan x+y=±14 ni topamiz.
Ikkinchi tenglamaga y=-x-14 va y=-x+14 ni qo`yamiz.
1) x(-x-14)=48. Bundan x²+14x+48=0 ni va x₁=-6, x₂=-8 ni topamiz.
Bu qiymatlar sistemaning mavjudlik sohasiga tegishli bo`lmagani uchun sistemaning yechimi bo`lmaydi.
2) x(-x+14)=48. Bundan x²-14x+48=0 ni va x₁=6 va x₂=8 ni topa-miz. Bu qiymatlarni y=-x+14 ga qo`yib y₁=8 va y₂=6 ni topamiz.

Javob: (6, 8); (8, 6).