Logarifmik tenglamalarni yechish Reja: Logarifmik tenglamalarni yechish usullari

Logarifmik tenglamalarni yechish

Reja:

1. 
   Logarifmik tenglamalarni yechish usullari
   
2. 
   Logarifm ko‘rsatkichli tenglama
   

Eng sodda log_ax = b logarifmik tenglamani qarab chiqaylik. Bizga ma’lumki logarifmik funksiya (0;∞) oraliqda a>1 bo’lganda o’sadi, 0< a < 1 bo’lganda kamayadi. Bundan ildiz haqidagi tepremaga ko’ra har qanday b uchun berilgan tenglama yagona ildizga egaligi kelib chiqadi.

Son logarifmining ta’rifiga ko’ra a^b yana ildizdir.

log_ax = b x>0

log_ax = log_aa^b

x = a^b

1. 
   log₂(x² + 4 x + 3) = 3
   

log₂x² + 4 x + 3 = log₂2³

x² + 4x + 3 = 8

x² + 4x - 5 = 0

x₁ = -5

x₂ = 1 javob: (-5;1)

2. 
   log₅ (2x +3)= log₅(x+1)
   

2x+3 >0 x + 1 >0

x >-_{ } x > -1 D (f) ; (-1;0)

2x + 3 = x + 1

x = -2 -2 soni yechim bo’la olmaydi. Berilgan tenglama yechimiga ega emas.

3. log_x(x² –2x + 2) = 1 bu tenglamada x>0, x≠1 bo’ladi.

log_x(x² – 2x + 2) = log_xx

x² – 3x +2 = 0

x = 1 x = 2 bu tenglamada 1 yechim emas, 2 esa berilgan tenglamani yechimi bo’ladi.

Ta‘rif. Noma‘lum logarifm belgisi ostida ishtirok etadigan tenglamalar logarifmik tenglama deyiladi.

Masalan, lg x = 3, log₃ (x²-12x+35)- log₃ (x-6)=3, log_x (x-1)+ log_x-1 x² =2

Logarifmik tenglamalarni yechishning bir umumiy usuli mavjud emas. Har bir logarifmik tenglamani yechish alohida alohida fikr va mulohaza yuritishni talab qiladi. Logarifmik tenglamalar ham ko‘rsatkichli tenglamalar kabi faqat haqiqiy sonlar to‘plamida qaraladi. Noma‘lumning topilgan qiymatlari tenglamaning sharti bo‘yicha albatta tekshirib ko‘riladi.

Ushbu log_a f (x) = log_a g (x) (a>0, a ≠ 1) (1) tenglamani qaraymiz. Bu tenglamani yechish quyidagi teoremaga asoslanadi.

Teorema: (1) tenglamani yechish _{ } aralash sistemani yechish bilan teng kuchli.

Misol. _{ } tenglamani yeching. Teoremaga ko‘ra _{ }aralash sistemani olamiz. Tenglamaning aniqlanish sohasini topaylik. Buning uchun aralash sistemaning keyingi ikkita yengsizliklaridan tashkil topgan tengsizliklar sistemasini yechamiz:

_{ }

Endi aralash sistema tarkibidagi tenglamani yechamiz: _{ }

Bu tenglama x₁=2 va x₂ = 3 ildizlarga ega. Ikkala topilgan ildiz ham tenglamaning aniqlanish sohasiga tegishli.

Agar noma‘lum daraja ko‘rsatkichida logarifm belgisi ostida ishtirok etsa, u holda bunday tenglamalar logarifm-ko‘rsatkichli tenglamalar deyiladi. Logarifm- ko‘rsatkichli tenglamalar ko‘pchilik hollarda uning ikkala qismini logarifmlab, logarifmik tenglamalarga keltitib yechiladi.

Misol. _{ } tenglamani yeching.

Tenglamaning aniqlanish sohasi, ya‘ni x noma‘lum berish mumkin bo‘lgan qiymatlar x>0 tengsizlikni qanoatlantirishi kerak. Berilgan tenglamaning ikkala qismini 2 asosga ko‘ra logarifmlaymiz: (3 log₂ x- ^log2₂x-3) log₂ x = - log₂x,

log₂ x(3 log₂x – log₂²x -2) = 0

bu tenglama quyidagi ikkita tenglamaga tarqaladi:

1. log₂x = 0 → x₁ = 2⁰ → x₁ =1

2. _{ }

Topilgan barcha ildizlar tenglamaning aniqlanish sohasiga tegishli va ular tenglamani qanoatlantiradi.

Misol. _{ } tenglamani yechamiz.

Tenglamaning aniqlanish sohasiga x ning x+1>0 tengsizlikni va 5-4 lg(x+1) ≠0,

1+4 lg (x+1) ≠0 shartlarni qanoatlantiruvchi qiymatlar kiradi.

Agar lg(x+1)= t desak, berilgan tenglama t ga nisbatan _{ } ko‘rinishni oladi. Bu teglamani yechib, uning ildizlarini topamiz: _{ }

Endi quyidagi sodda tenglamalarni yachamiz.:

lg (x+1)= 1 lg (x+1) = _{ }

x+1= 10 x+1=10_{ }

x₁ =9 x₂= -1+10_{ }

Bu topilgan ildizlarning ikkalasi ham tenflama aniqlanish sohasiga oid shartlarning barchasini qanoatlantiradi.