Линейная алгебра

Часть I написана на материале, который предоставили доцент В. В. Угаров
и аспирант А. И. Афанасова, – ими разработаны методика оценивания каче-ства АПП (В. В. Угаров, c. 39–43) и программа вычисления качественных ха-рактеристик совокупности АПП на основе метрик Холстеда (А. И. Афанасова,
c. 43–46). Эти методика и инструменты используются в Ульяновске, начиная с
1999 года, когда основным изучаемым языком программирования был Pascal и
среда Delphi. Теперь, когда студенты изучают и практически используют языки
С++, С# и MATLAB, инструменты этой методики (программы–анализаторы
качества АПП) обновляются. В них осреднённая оценка качества АПП выво-дится с применением статистических методов по большому количеству АПП,
сохраняемых в базе данных.
Доцент В. В. Воронина включила в часть I методические рекомендации по
использованию языка программирования высокого уровня С# при выполне-нии проектных заданий студентами. Ею собраны базовые сведения по С# и
написаны полезные фрагменты кодов (В. В. Воронина, с. 52–83).
Часть II, содержащую три проекта, написали профессор И. В. Семушин (тео-ретический материал, c. 87–114, 135–151, 166–198), доцент Ю. В. Цыганова
(методические рекомендации по выполнению проектов, c. 114–134, 151–165,
199–220) и студент И. Н. Куличенко, – ему принадлежит раздел 6, c. 221–314.
Раздел 6 предназначен для демонстрации всего рабочего процесса разработки
любого из вариантов не только первых трёх проектов, но и других шести, по-мещённых в следующие части данного пособия. Результат разработки одного
из вариантов проекта № 1 доступен на долговременном ресурсе Google.
Заключение
Распределение числа вариантов заданий на проектирование
Часть №
Проект
№
Число
вариантов
задания
Указатель:
раздел ??
c. ??
Всего
вариантов
II
1 26 разд. 3.8, c. 112
94
2 40 разд. 4.8, c. 151
3 28 разд. 5.16, c. 198
III
4 40 разд. 7.7, c. 333
71
5 16 разд. 8.5, c. 347
6 15 разд. 9.12, c. 366
IV
7 48 разд. 10.4, c. 386
92
8 28 разд. 11.5, c. 394
9 16 разд. 12.9, c. 414
II + III + IV Суммарное число вариантов 257
Части III и IV пособия разработал профессор И. В. Семушин (c. 317–414).
Этот материал может быть полезен для углублённого изучения методов и алго-ритмов Вычислительной линейной алгебры, включая начальные аспекты тех-нологии разреженных матриц и метода обыкновенных наименьших квадратов.
Последнее особенно востребовано для современной реализации решений задач
регрессионного анализа, например, в эконометрике, где до сих пор распростра-нено одновременное решение нормальных уравнений. Дальнейший материал по
этим важным вопросам может быть найден в книгах [6], [9] и [11].
Фронтально-состязательный подход и ПОО, которые мы реализуем в этом
образовательном процессе, нуждаются в большом разнообразии индивидуаль-ных вариантов проекта по одной и той же изучаемой теме. Эта проблема «раз-множения» вариантов в данном пособии решена. В результате в данном учеб-ном пособии мы имеем по всем девяти тематическим проектам 257 различ-ных вариантов индивидуальных заданий на проектирование алгоритмов вычис-лительной линейной алгебры (см. таблицу выше) с реализацией проектов на
языке программирования высокого уровня C#. Это существенно отличается по
количеству проектов, по систематизации методики проектирования и по совре-менности языка от тех учебных проектов, которые описаны в книге [12].
416
Список иллюстраций
2.1 Создание проекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 Выбор вида проекта (a). Корректный результат (б) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Преобразование типов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Основная форма (a). Размещение текстовых полей: выбор элемента TextBox в
CommonControls (б). Вкладка свойств основной формы (в) . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5 Первый этап создания интерфейса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6 Обработка нажатия на кнопку (a). Настройка параметров таблицы (б) . . . . . . . . . 68
2.7 Работа приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.8 Отображение графика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.9 Отображение гистограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.10 Добавление класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1 Алгоритмы окаймления известной части LL
T
-разложения: строчный (слева); алго-ритм скалярных произведений (справа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Алгоритмы окаймления неизвестной части LL
T
-разложения: алгоритм линейных ком-бинаций (слева); алгоритм скалярных произведений (справа) . . . . . . . . . . . . . . 145
5.1 Алгебраически эквивалентные задачи, решаемые методом наименьших квадратов зна-чений невязки v или среднего квадрата погрешности e: (a) – оптимальное модели-рование неизвестной системы по экспериментальным условиям A и данным z; (b)
– оптимальное оценивание неизвестного вектора по наблюдениям Ax в присутствии
случайных помех v с характеристиками E {v} = 0 и E

vv
T

= I . . . . . . . . . . . . 167
5.2 Геометрия преобразования Хаусхолдера. Задача 1 (прямая): даны векторы u и y,
найти вектор y
r
, отражённый от гиперплоскости U⊥
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.3 Геометрия преобразования Хаусхолдера. Задача 2 (обратная): даны векторы y и
y
r
, найти вектор u, задающий отражающую гиперплоскость U⊥
; здесь y
r = se
1 =
=

s 0 · · · 0

T
. Докажите, что здесь показан вектор
1
2
u, а не u (см. Замечание 5.2) . 173
5.4 Представление возможных случаев применения теоремы 5.1 к матрице A(m, n); (a)
недоопределённая система: k = m − 1 ≤ n; (b) определённая система: k = n − 1,
m = n; (c) переопредёленная система: k = n < m; (d) k < n < m . . . . . . . . . . . 174
5.5 Вверху: Сохранение преобразования T и вычисление вектора y = T z, ∀y ∈ R
m
. Внизу:
Вычисление матрицы A
−1
после сохранения преобразования T . . . . . . . . . . . . . 180
5.6 Геометрия вращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.7 Вычисление матрицы P1,j
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.8 Преобразование Гивенса: (a) столбцово ориентированная схема вычисления матрицы
P A, где P = P
(j )
при j = min (m − 1, n) (нижняя матрица слева); (б) вычисление
координаты r вектора (a, b)
T
, повёрнутого до совмещения с первой осью, а также
косинуса и синуса угла поворота и рабочего признака ζ ; (в) строчно ориентирован-ная схема вычисления матрицы P A (верхняя матрица слева); (г) восстановление
косинуса и синуса угла поворота из признака ζ ; (д) получение вектора y теми пре-образованиями Pj,i
произвольного вектора z ∈ R
m
, которые сохранены в рабочих
признаках ζ
j,i и восстанавливаются из них; (е) вследствие п. (б) векторы 1, 2, 3 и 4
поворачиваются к положительному направлению первой координатной оси, а векторы
5, 6, 7 и 8 – к отрицательному направлению этой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.1 Вывод матрицы после компиляции процедуры факторизации . . . . . . . . . . . . . . 226
6.2 Вывод ошибки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.3 Вывод решения СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Список иллюстраций
6.4 Вывод числа и времени операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.5 Вывод определителя матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.6 Создание dll библиотеки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.7 Вывод случайной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.8 Вывод матрицы первого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.9 Вывод матрицы второго типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.10 Вывод матрицы четвёртого типа. Иной вариант: вместо операции умножения “*” в
седьмой строке листинга 6.35 здесь применена операция деления “/” . Рекомендуем
использовать основной вариант листинга 6.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.11 Вывод матрицы пятого типа. Иной вариант: вместо операции умножения “*” в седьмой
строке листинга 6.37 здесь применена операция деления “/” . Рекомендуем использо-вать основной вариант листинга 6.37. Подобное замечание см. для рис. 6.10 . . . . . 258
6.12 Вывод матрицы шестого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.13 Вывод матрицы седьмого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.14 Вывод матрицы восьмого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.15 Вывод матрицы девятого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.16 Создание обработчика событий (a). Изменение элементов в ListBox (б) . . . . . . . . 268
6.17 Главная форма приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.18 Скриншот главной формы приложения (ввод данных для решения СЛАУ) . . . . . . . 280
6.19 Скриншот главной формы приложения (ввод данных для обращения матрицы) . . . . 280
6.20 Скриншот главной формы приложения (ввод данных для вычисления определителя) . 281
6.21 Внешний вид формы HandInputSLAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.22 Внешний вид формы HandInputINV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.23 Подключение библиотек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.24 Выбор библиотек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.25 Ввод матриц для решения СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.26 Решение СЛАУ и отчёт в таблице для задачи из рис. 6.25 . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.27 Вывод таблиц результатов эксперимента: (a) в режиме «решение СЛАУ» при исполь-зовании матриц Гильберта и (б) в режиме «обратная матрица» при использовании
плохо обусловленных матриц девятого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.28 Вывод графика зависимости числа операций от порядка матрицы: (a) в режиме «Ре-шение СЛАУ» при использовании матриц Гильберта и (б) в режиме «Обратная мат-рица» при использовании плохо обусловленных матриц девятого типа . . . . . . . . . 310
6.29 Вывод графика зависимости времени выполнения от порядка матрицы: (a) в режиме
«Решение СЛАУ» при использовании матриц Гильберта и (б) в режиме «Обратная
матрица» при использовании плохо обусловленных матриц девятого типа . . . . . . . 311
6.30 Вывод графика зависимости погрешности от порядка матрицы: (a) в режиме «Реше-ние СЛАУ» при использовании матриц Гильберта и (б) в режиме «Обратная матри-ца» при использовании плохо обусловленных матриц девятого типа . . . . . . . . . . 312
6.31 Эксперимент с вычислением определителя заданной матрицы: (a) Ввод матрицы и
(б) Результат вычисления определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.1 Строчно ориентированная схема L U -разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7.2 Столбцово ориентированная схема L U -разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7.3 Сложение n чисел методом сдваивания для n = 8 [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
7.4 ij (слева) и ji (справа) формы матрично-векторного умножения [9] . . . . . . . . . . 323
7.5 Операция сложения в компьютере типа «регистр–регистр» [9] . . . . . . . . . . . . . 324
7.6 Столбцово ориентированная схема L U -разложения с отложенными модификациями
(jki-алгоритм, см. с. 328) [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
418
Список иллюстраций
7.7 Способ доступа к данным для kij-формы (слева) и для kji-формы (справа) L U -разложения. Обозначения: L , U – вычисление закончено, обращений больше нет; z
обозначает главный элемент (ГЭ);
– деление на ГЭ (нормировка) [9] . . . . . . . . 329
7.8 Способ доступа к данным для jki-формы и для jik-формы (слева) и для ikj -формы
и для ijk-формы (справа) L U -разложения. Обозначения: L , U – вычисление закон-чено, обращения больше не производятся; z обозначает главный элемент (ГЭ);
обозначает деление на ГЭ (нормировка); ∅ – обращений не было [9] . . . . . . . . . . 329
7.9 Алгоритмы скалярных произведений (слева) и столбцовый для обратной подстановки
(справа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
8.1 Алгоритмы окаймления известной части L U -разложения: столбцовый (слева) и ал-горитм скалярных произведений (справа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.2 Доступ к данным в алгоритмах окаймления известной части разложения. L , U здесь
вычисление закончено, но обращения происходят. A – обращений не было. Вычисля-ются: j -й столбец матрицы U и j -я строка матрицы L . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.3 Доступ к данным в алгоритмах окаймления неизвестной части разложения. L 11
, U11
–
вычисление закончено, обращений больше нет. L31
, U13
здесь вычисление закончено,
но обращения происходят. A33
– обращений не было. Вычисляются: j -й столбец l
3j
матрицы L и j -я строка u
T
j 3
матрицы U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.4 Алгоритмы Донгарры–Айзенштата окаймления неизвестной части
L U -разложения: алгоритм линейных комбинаций (слева) и алгоритм скалярных
произведений (справа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
11.1 Линейная задача наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
12.1 Включение априорных данных в линейную задачу НК . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
12.2 Рекурсия МНК в стандартной ковариационной форме (схема Калмана). Этап 1 –
обновление модели по наблюдениям. Этап 2 – экстраполяция модели между наблю-дениями. Априорная модель даёт предсказание ˆ z для отклика z объекта. Разность ν
имеет смысл обновляющего процесса. Весовая матрица K, умноженная на ν , обеспе-чивает обновление априорной модели по наблюдению z, т. е. переход к апостериорной
модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
419
Список таблиц
1 Влияние неуважительных пропусков на оценку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Арифметические операции – иллюстрация для текста на c. 53 . . . . . . . . . . . . . 84
3.1 Свойства специальных элементарных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Поэтапное перемножение L
−1
4
(L
−1
3
(L
−1
2
L
−1
1
)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3 Поэтапное перемножение U
−1
2
U
−1
3
U
−1
4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.1 Варианты задания на лабораторный проект № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.1 Эффективное обращение верхней треугольной матрицы U := R
−1
. . . . . . . . . . . 179
5.2 Варианты задания на лабораторный проект № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.1 Вычисления по алгоритму jki-формы для примера 7.3. Позиции ГЭ
(без их реального выбора) показаны выделенным шрифтом . . . . . . . . . . . . . . . 330
7.2 Вычисления по алгоритму jik-формы для примера 7.3. Позиции ГЭ
(без их реального выбора) показаны выделенным шрифтом . . . . . . . . . . . . . . . 330
7.3 Вычисления по алгоритму ikj -формы для примера 7.3. Позиции ГЭ
(без их реального выбора) показаны выделенным шрифтом . . . . . . . . . . . . . . . 331
7.4 Вычисления по алгоритму ijk-формы для примера 7.3. Позиции ГЭ
(без их реального выбора) показаны выделенным шрифтом . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.5 Варианты задания на лабораторный проект № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
8.1 Вычисления по алгоритмам на рис. 8.1 для примера 7.3. Позиции элемента-делителя
столбца L показаны выделенным шрифтом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.2 Вычисления по алгоритмам на рис. 8.4 для примера 7.3. Позиции элемента–делителя
столбца L показаны выделенным шрифтом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
8.3 Варианты задания на лабораторный проект № 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.1 Варианты задания на лабораторный проект № 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.1 Варианты задания на лабораторный проект № 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
11.1 Варианты задания на лабораторный проект № 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
Библиографический список
Основная литература
1. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М.:
Наука, 1987.
2. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов: учебное пособие для вузов / В. М. Вержбиц-кий. – М.: Высш. шк, 2002, – 2-e изд., перераб. – М.: Высш. шк, 2005.
3. Воеводин, В. В. Вычислительные основы линейной алгебры / В. В. Воеводин. – М.: Наука,
1977.
4. Воеводин, В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы / В. В. Воеводин. – М.:
Наука, 1966.
5. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – М.: Наука, 1989.
6. Семушин, И. В. Вычислительные методы алгебры и оценивания / И. В. Семушин. – Ульяновск:
УлГТУ, 2011.
Дополнительная литература
7. Годунов, С. К. Решение систем линейных уравнений / С. К. Годунов. – Новосибирск: Наука,
1980.
8. Икрамов, Х. Д. Численное решение линейных задач метода наименьших квадратов / Х. Д.
Икрамов // Математический анализ. Итоги науки и техники, Т. 23. – М.: ВИНИТИ, 1985.
9. Ортега, Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем /
Дж. Ортега. – М.: Мир, 1991.
10. Ортега, Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Дж. Ор-тега, У. Пул. – М.: Наука, 1986.
11. Писсанецки, С. Технология разреженных матриц / С. Писсанецки. – М.: Мир, 1988.
12. Райс, Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение / Дж. Райс. – М.: Мир,
1984.
13. Стренг, Г. Линейная алгебра и ее применения / Г. Стренг. – М.: Мир, 1980.
14. Уидроу, Б. Адаптивная обработка сигналов / Б. Уидроу, С. Стирнз. – М.: Радио и Связь, 1989.
15. Фаддеев, Л. К. Вычислительные методы линейной алгебры / Л. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева.
– М.: Физматгиз, 1963.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
16. Bierman, G. J. Factorization methods for discrete sequential estimation / G. J. Bierman. – New
York, San Francisco, London: Academic Press, 1977.
17. Dorf, R. C. Modern control systems, Fifth Edition / Richard C. Dorf. – Reading, Massachusetts •
Menlo Park, California • New York • Don Mills, Ontario • Wokingham, England • Amsterdam •
Bonn • Sydney • Singapore • Tokyo • Madrid • San Juan : Addison-Wesley Publishing Company,
1990.
18. Duff, I. S. Direct Methods for Sparse Matrices / I. S. Duff, A. M. Erisman, J. K. Reid. — Oxford:
Clarendon Press, 1986.
19. Farebrother, R. W. Linear Least Squares / R. W. Farebrother. — New York and Basel: Marcel Dekker,
Inc., 1988.
20. Fr¨oberg, C. E. Introduction to Numerical Analysis / C. E. Fr¨oberg. — Reading, Massachusetts ·
Menlo Park, California · London · Don Mills, Ontario: Addison-Wesley, 1969.
21. Hackbusch, W. Multi-grid methods and applications / W. Hackbusch. – New York: Springer Verlag,
1985.
22. McCormick, S. F. (Ed.) Multigrid methods / S. F. McCormick. – New York: Marcel Dekker, 1988.
23. Saad, Y. Iterative Solution of Linear Systems in the 20th Century / Y. Saad, H. Van der Vorst //
J. Comput. Appl. Math.. – 2000. – No. 123. – P. 1–33.
24. Saad, Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems / Y. Saad. – 2nd ed. – SIAM, 2003.
25. Shewchuk, J. An Introduction to the Conjugate Gradient Method without the Agonizing Pain /
J. Shewchuk. – Technical Report No. CMU-CS-94-125. – Carnegie Mellon University, 1994.
26. Van der Vorst, H. Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems / H. Van der Vorst. –
Cambridge: Cambridge University Press. – 2003.
27. Verkhovsky, B. Algorithm with Nonlinear Acceleration for a System of Linear Equations /
B. Verkhovsky. – Research Report. – No. 76-WR-1. – Princeton University, 1976.
28. Veroy (now Verkhovsky), B. Convergence and Complexity of Aggregation–Disaggregation Algorithm
/ B. Veroy (now Verkhovsky). – Research Report. – No. CS-87-04. – New Jersey Institute of
Technology, 1987.
29. Verkhovsky, B. Feedback Algorithm for the Single-facility Minisum Problem / B. Verkhovsky,
Yu. Polyakov // Annals of the European Academy of Sciences. – 2003. – P. 127–136.
30. Watkins, D. S. The Matrix Eigenvalue Problem: GR and Krylov Subspace Methods / D. S. Watkins.
– SIAM, 2007.
31. Wesseling, P. An Introduction to Multigrid Methods / P. Wesseling. – Chichester: John Wiley &
Sons, 1992.
422
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Литература по вопросам методики
32. Агентство Стратегических Инициатив РФ (АСИ РФ http://www.asi.ru). А. Современные техно-логии проектно-ориентированного образования http://cdiorussia.ru/app/data/uploads/2013/-12/Gusev ASI.pdf,
Б. Инициатива “Инженерного проектного образования CDIO” http://cdiorussia.ru/app/data/-uploads/2013/12/Presentation CDIO Gusev
Glavnaya.pdf.
33. Апостолова, Н. А. О программометрическом подходе к оценкам программного обеспечения /
Н. А. Апостолова, Б. С. Гольдштейн, Р. А. Зайдман // Программирование. – 1995. – С. 38–44.
34. Джонс, Дж. К. Методы проектирования. Пер. с англ. 2-е изд., доп. / Дж. К. Джонс. – М.: Мир,
1986.
35. Реньи, А. Трилогия о математике / А. Реньи. – М.: Мир, 1980.
36. Семушин, И. В. Модификация поведения студента и преподавателя инженерных дисциплин /
И. В. Семушин, В. В. Угаров // Московское научное обозрение. – 2013. – № 9(37). – С. 3–8.
37. Семушин, И. В. Опыт проектно-ориентированного обучения в университетах Ульяновска /
И. В. Семушин, В. В. Угаров, Ю. В. Цыганова, А. И. Афанасова, И. Н. Куличенко // Перспек-тивные информационные технологии (ПИТ 2014): труды Международной научно-технической
конференции / под ред. С. А. Прохорова. – Самара: Издательство Самарского научного центра
РАН, 2014. – С. 436–438.
38. Семушин, И. В. Практикум по методам оптимизации – Компьютерный курс / И. В. Семушин.
– Ульяновск: УлГТУ, 2003.
39. Семушин, И. В. Практикум по методам оптимизации. Компьютерный курс: учебное пособие
для вузов / И. В. Семушин. – 3-е изд, перераб. и доп. – Ульяновск: УлГТУ, 2005.
40. Семушин, И.В. Методы вычислений с использованием МАТЛАБ: учебно-методическое посо-бие / И. В. Семушин, Ю. В. Цыганова, А. И. Афанасова. – Ульяновск: УлГУ, 2014. – 88 с.
41. Угаров, В. В. Компьютерные модели и пакеты программ в проектно-ориентированном обуче-нии / В. В. Угаров. Диссертация канд. техн. наук. – Ульяновск: УлГУ, 2005.
42. Холстед, М. Х. Начала науки о программах / М. Х. Холстед. Пер. с англ. В. М. Юфы. – М.:
Финансы и статистика, 1981.
43. The CDIO Initiative http://www.cdio.org/. CDIO [Conceive - Design - Implement - Operate] –
Современный подход к инженерному образованию http://cdiorussia.ru/.
44. Dewey, J. The school and society / J. Dewey. – Chicago: University of Chicago, 1900.
45. Dumestre, J. Using computer gaming technologies to make training and education software more
effective / Jeanie Dumestre // Proceedings of SimTecT-97. – 1997. – P. 447–451.
46. Fitzpatrick, J. M. Computer Programming with Matlab / J. Michael Fitzpatrick &
´
Akos L´edeczi. –
Fitzle LLC, 2013.
47. Jonassen, D. H. Computers in the schools: Mindtools for critical thinking / D. H. Jonassen. – College
Park, PA: Penn State Bookstore, 1994.
423
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
48. Kilpatrick, W. H. The project method / W. H. Kilpatrick // Teachers College Record. – 1918. –
No. 19. – P. 319–335.
49. Liu, M. Middle school students as multimedia designers: a project-based learning approach / Min
Liu, Yu-Ping Hsiao // Jl. of Interactive Learning Research. – 2002. – No. 13(4). – P. 311–337.
50. McDermott, K. J., et al. Project-based Teaching in Engineering Programs / Kevin J. McDermott,
Andrew Nafalski and
¨
Ozdemir G¨ol // 37th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, Session
S1D-11, October 10–13, 2007, Milwaukee, WI.
51. Measuring the Mathematics Problem / Report by • The Learning and Teaching Support Network
(Maths, Stats & OR) • The Institute of Mathematics and its Applications • The London
Mathematical Society • The Engineering Council, Published by the Engineering Council: June 2000.
52. Semoushin, I. V. The frontal competitive approach to teaching computational mathematics /
Innokenti V. Semushin. Presented for The 9
rmth
International Congress on Mathematics Education
(ICME-9). July 31 – August 6, 2000, Tokyo/Makuhary, Japan.
53. Semoushin, I. V. FCA + PBL = behavior modification in learning operations research / Innokenti
V. Semoushin. MAA Session on Teaching Operations Research in the Undergraduate Classroom.
January 7–10, 2004, Phoenix, Arizona.
54. Semoushin, Innokenti V. Computational and soft skills development through the project based
learning / Innokenti V. Semoushin, Julia V. Tsyganova, and Vladimir V. Ugarov // Lecture Notes
in Computer Science. – 2003. – Vol. 2658, Pt. 2. – P. 1098–1106.
55. Semoushin, I. V. The frontal competitive approach to teaching computational mathematics /
Innokenti V. Semoushin // The 2nd International Conference on the Teaching Mathematics (at
the undergraduate level), 1–6 July 2002, Crete, Greece. – 2002. – , CD-ROM Proceedings. – File
ID265.
56. Semoushin, I. V. Project based learning in computational science and engineering / I. V. Semoushin,
Ju. V. Tsyganova, V.V. Ugarov // Математические методы и информационные технологии в
экономике, социологии и образовании. Сборник научных трудов: В. И. Левин (ред.) Междуна-родная конференция «Математические методы и информационные технологии в экономике,
социологии и образовании». – 2003. Пенза: Пензенский Дом Знаний. – С. 244–245.
57. Tackling the Mathematics Problem / London Mathematical Society, Institute of Mathematics and
its Applications, Royal Statistical Society, October 1995.
58. Thomas, J. W. (2000). A review of research on project-based learning / J. W. Thomas // – Retrieved
December, 10, 2000, from: http://www3.autodesk.com/adsk/index/0„327082-123112,00.-html.
424
Предметный указатель
А
академический программный продукт, АПП
(academic software product) 41
алгоритм
– векторных сумм (vector sums algorithm) 331
– Джозефа скаляризованный (scalarized Joseph
algorithm) 406
– Донггарры–Айзенштата (Dongarra–Eisenstat
algorithm) 342
– Калмана скаляризованный (scalarized Kalman
algorithm) 405
– Калмана стабилизированный (stabilized Kalman
algorithm) 406
– Калмана стандартный (standard Kalman
algorithm) 403
– L
¯
U компактной схемы Краута (Crout compact
schemata, L
¯
U algorithm) 95, 97
–
¯
LU компактной схемы Краута (Crout compact
schemata,
¯
LU algorithm) 97
– Крылова с предобуславливанием (Krylov
algorithm with preconditioning) 366
– метода Жордана (Jordan method algotithm) 97,
99
– обратной подстановки (back substitution
algorithm) 331
– Поттера (Potter algorithm) 407
– прямой подстановки (forward substitution
algorithm) 333
– столбцовый (column algorithm) 331
– фильтра Поттера (Potter filter algorithm) 407
– Хаусхолдера столбцово ориентированный
(column based Hausholder algorithm) 175
– Хаусхолдера строчно ориентированный (row
based Hausholder algorithm) 175
Б
базовая арифметика C# (C# basic arithmetics) 53
бидиагонализация квадратной матрицы (square
matrix bidiagonalization) 188
В
вариационные методы (variation methods) 360
ведущий столбец
– в преобразовании Гивенса (leading column in
Givens transform) 181
– в преобразовании Хаусхолдера (leading column
in Hausholder transform) 173
векторные регистры (vector registers) 323
выбор ведущего (главного) элемента (pivoting) 93
– по активной подматрице (active submatrix based
pivoting) 92
– по столбцу (column based pivoting) 91, 318
– по строке (row based pivoting) 91
– разреженной матрицы оптимальный (optimal
sparse matrix pivoting) 382
Г
Галилей (Galilei) 5, 6
Гаусс (Gauss) 168
Грама–Шмидта (Gram–Schmidt)
– ортогонализация (Gram-Schmidt
orthogonalization) 190, 191
– – модифицированная (modified Gram-Schmidt
orthogonalization) 192
Д
Джебран (Gibran) 5, 6
диагональное преобладание (diagonal prevaling)
136
З
задача
– линейных наименьших квадратов (linear least
squares problem) 168
– QR-разложения матрицы (problem of matrix
QR-decomposition) 192
заполнение локальное (local filling) 381
защита проекта (project defense) 50
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
И
инициатива CDIO (CDIO initiative) 30
исключение
– по столбцам (column based elimination) 92
– по строкам (row based elimination) 93
– гауссово по строкам (Gauss row based elimination
with row based pivoting) 93
– полное (full elimination) 97
итерационный метод (ИМ) (iterative method) 351,
360
– Зейделя (iterative Seidel method) 353
– многошаговый (multi step iterative methods) 354
– нестационарный (non-stationary IM) 352, 355
– неявный (indirect IM) 351
– одношаговый (one-step iterative methods) 354
– – стационарный в терминах погрешности (onestep stationary IM in terms of errors) 356
– стационарный (stationary IM) 352, 355
– явный (direct method) 351
– Якоби (iterative Jacobi method) 353
информационная форма последовательного
МНК (information form of sequential LS
method) 401
итерационная формула (iteration formula) 352
К
квадратичная (квадратическая) форма (quadratic
form) 135
квадратный корень матрицы (matrix square root)
136
каноническая форма одношагового ИМ
(canonical form of one-step iterative
method) 355
ковариация (covariation) 397
компактная схема (compact schemata) 94
– Краута (Crout compact schemata) 94
конвейеризация (conveyerization) 320
коэффициенты корреляции (correlation
coeffitients) 136
критерий
– качества квадратический (quadratic
performance criterion) 168
– остановки (stopping criterion) 352
– Сильвестера (Silvester criterion) 136
Л
Лежандр (Legendre) 168
М
матрица
– идемпотентная (idempotent matrix) 171
– информационная (information matrix) 397
– ковариационная (covariation matrix) 397
– лидирующая (leading matrix) 355
– обратная (inverse matrix) 101
– ортогональная (orthogonal matrix) 166
– перестановок (purturbation matrix) 90
– – элементарная (elementary purturbation matrix)
90
– переходная погрешности (error transition matrix)
357
– плохо обусловленная (ill-conditioned matrix)
107, 359
– положительно определенная (positive definite
matrix) 135
– псевдообратная (pseudo-inverse matrix) 168, 389
– симметрическая (symmetric matrix) 171
– Хаусхолдера (Hausholder matrix) 171
– элементарная (elementary matrix) 97
– – специальная (special elementary matrices) 98
метод
– верхней релаксации (Succesive Over-Relaxation,
SOR method) 355
– Гаусса, полный шаг (full step of Gauss method)
88
– Гаусса, прямой ход (forward move of Gauss
method) 89
– Гаусса, обратный ход (back move of Gauss
method) 90
– делинеаризации (delinearization method) 366
– минимальных невязок (minimum residual
method) 360
– – поправок (minimum correction method) 361
– многосеточный (multi-grid method) 366
– наименьших квадратов (МНК) (least squares
method) 168, 196
– проектов (project method) 29
– простой итерации (simple iteration method) 355
– Ричардсона (Richardson method) 355
– скорейшего спуска (quickest descent method)
363
– сопряженных градиентов (conjugate gradients
method) 363
– Юнга (Young method) 355
методика Холстеда (Halstead method) 43
миноры, главные (main minors) 88
426
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
модификации
– немедленные (immediate modifications) 327
– отложенные (delayed modifications) 328
Н
направляющий вектор (direction vector) 170
невязка (residual) 168, 360
норма вектора (vector norm) 357
– обобщенная (generalized vector norm) 357
норма матрицы типа «бесконечность»
(«infinity» matrix norm) 111
нормализованная погрешность (normalized error)
397
нормализованные экспериментальные данные
(normalized experimental data) 396
нормальная система (normal system) 168, 196, 389
нормальное псевдорешение (normal pseudosolution) 169, 196, 389
нормальные уравнения (normal equations) 168,
196, 389
нормировка (norming) 87
О
обновление
– системы (system update) 88
обратная подстановка (back substitution) 331
обращение верхней треугольной матрицы
(inverting upper triangular matrix) 177
окаймление (bordering) 339
– известной части LU -разложения (bordering the
known part of LU decomposition) 340
– неизвестной части LU -разложения (bordering
the unknown part of LU decomposition)
342
оптимальный итерационный параметр (optimal
iteration parameter) 358
ортогонализация (orthogonalization) 190
отраженный вектор (reflected vector) 170
оценка качества программных продуктов
(software project evaluation technique) 39
П
переопределенная система (overdetermined
system) 196
перестановка неявная (indirect interchanging) 318
погрешность
– методическая (method error) 351
– округления (roundoff error) 352
– трансформированная (transform error) 352
подстановка
– прямая (forward substitution) 89, 317
– обратная (back substitution) 89, 170, 317, 331
поправка ИМ (correction of IM) 361
порядок оценивания проектов (instruction for
project evaluation) 49
предупреждение
– о термине L
¯
U
−1
-«разложение» (L
¯
U
−1
«decomposition» term precaution) 100
– о термине
¯
L
−1
U -«разложение» (
¯
L
−1
U
«decomposition» term precaution) 101
преобразование
– Хаусхолдера (Hausholder transform) 170
– Гивенса (Givens transform) 179
– – строчно-ориентированное (row based Givens
transform) 183
– – столбцово-ориентированное (column based
Givens transform) 183
проекто-ориентированная методика, преимуще-ства (project based philosophy) 33
проекто-ориентированное обучение (project based
learning) 29, 30, 39
проекция вектора (vector projection) 170
пространство
– Крылова (Krylov space) 365
процедура ортогонализации системы векто-ров (vector system orthogonalization
procedure) 190
Р
разложение
– LU (LU -decomposition) 87
– L
¯
U (L
¯
U -decomposition) 89
– – гауссовым исключением по строкам (Gauss
L
¯
U decomposition with row based
elimination) 94
– – жордановым исключением, L
¯
U
−1
-«разложение» («L
¯
U
−1
decomposition»
A = L
¯
U by Jordan method) 101
– – с выбором главного элемента (L
¯
U
decomposition with pivoting) 92
–
¯
LU (
¯
LU -decomposition) 89, 90
– – с выбором главного элемента (
¯
LU
decomposition with pivoting) 92
– Холесского (Cholesky decomposition) 137
– – нижнее треугольное (lower triangular Cholesky
decomposition) 137
427
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
– – – без квадратных корней (square root free
lower triangular Cholesky decomposition)
138
– – верхнее треугольное (upper triangular Cholesky
decomposition) 138
– – – без квадратных корней (square root free
upper triangular Cholesky decomposition)
139
расширенная система (extended system) 398
расщепление системы (system splitting) 400
решение
– задачи наименьших квадратов (МНК-решение)
(least squares solution) 388
– – одновременное (LS-simutaneous solution) 390
– – последовательное (LS-sequential solution) 400
С
свойство
– идемпотентности (idempotency feature) 91
– несмещенности (unbiasedness property) 397
– ортогональности (orthogonality feature 91
скалярное произведение (scalar product) 331
скалярный параметр (scalar parameter) 351
спектральный радиус матрицы (spectral radius of
matrix) 357
степень параллелизма (parallelization power) 320
– средняя (mean parallelization power) 320
специализированная программа для автома-тического определения качественных
характеристик программных продуктов
(customized application for automatic
academic code review) 45
стратегии выбора ведущего (главного) элемента
(pivoting strategies) 91
сходимость итерационного метода (convergence
of iterative method) 357
Т
таблица множителей (table of multipliers) 99
теорема
– о верхнем треугольном разложении Холесского
(upper triangular Cholesky decomposition)
138
– о нижнем треугольном разложении Холесского
(lower triangular Cholesky decomposition)
137
– о триангуляризации матрицы по методу
Хаусхолдера (matrix triangularization by
Hausholder transform) 172, 173
– о триангуляризации матрицы по методу Ги-венса (matrix triangularization by Givens
transform) 181
требование к реализации (implementation
requirement) 93
триада (triada) 318
триангуляризация матрицы
– метод Хаусхолдера (Hausholder) 172, 173
– метод Гивенса (Givens) 181
тридиагонализация симметрической матрицы
(symmetric matrix tridiagonalization) 187
У
упакованная форма матрицы (packed matrix
forms) 379
уравнение
– ведущее (pivot equation) 87
условие полного столбцового ранга (full column
rank condition) 168
Ф
фильтр
– Калмана (Kalman filter) 403
– – обыкновенный (the conventional Kalman filter)
403
– – стандартный ковариационный (standard
Kalman covariance filter, SCF) 403
– Поттера квадратно-корневой (Potter Square
Root Filter) 407
фронтально-состязательный подход (frontal
competitive approach) 34
Х
хранение матриц одномерное (linear (one
dimension) matrix storing) 146
Э
элиминативная форма обратной матрицы
(eliminative form of inverse matrix) 102
экономия памяти (saving memory) 89
элемент
– ведущий (pivot) 87
– главный (pivot) 90
– допустимый (feasible element) 381
428
Учебное издание
Семушин Иннокентий Васильевич
Цыганова Юлия Владимировна
Воронина Валерия Вадимовна
Угаров Владимир Васильевич
Афанасова Анастасия Игоревна
Куличенко Илья Николаевич
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В ПРОЕКТАХ НА C#
Учебное пособие
Редактор М. В. Теленкова
ЛР № 020640 от 22.10.97
Оригинал-макет изготовлен И. В. Семушиным в системе L
A
T
E
X2ε
Подписано в печать 16.12.2014. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 25,11.
Гарнитура Computer Modern. Тираж 150 экз. Заказ № 6.
Ульяновский государственный технический университет
432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32.
ИПК «Венец» УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32.
2