Limiti va uzluksizligi

4-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning berilgan M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasi

f=Ax+By+αx +βy (5)

ko‘rinishda ifodalanib, unda A=A(x,y) va B=B(x,y) argumentlarning x va y orttirmalariga bog‘liq bo‘lmagan sonlar, α va β esa x→0, y→0 holda cheksiz kichik miqdorlar bo‘lsa, unda bu funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi. To‘la orttirmaning x va y orttirmalariga nisbatan bosh, chiziqli qismi Ax+By funksiyaning differensiali deyiladi.

z=f(x,y) funksiyaning differensiali df yoki df(x,y) kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan, (5) tenglikdan

df=Ax+By (6)

formula orqali topiladi.

Misol sifatida f(x,y)=x²+xy+3y funksiyaning differensiallanuvchi ekanligini ta’rif bo‘yicha tekshiramiz. Buning uchun dastlab funksiyaning to‘la orttirmasini topamiz:

f = [( x +x)²+ (x +x)( y + y)+3(y + y)] –[ x²+xy+3y]=

=2xx+(x)²+ xy+ yx+ xy+3y= (2x+y)x+(x+3)y+xx+xy.

Bu tenglikni (5) bilan taqqoslab, A=2x+y, B=x+3, α=x , β=x ekanligini ko‘ramiz. Bunda 4-ta’rifdagi barcha shartlar bajarilmoqda va shu sababli bu funksiya tekislikdagi ixtiyoriy M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali , (6) tenglikka asosan, quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

df=(2x+y)x+(x+3)y.

Ammo funksiyani differensiallanuvchi ekanligini har doim ham uning ta’rifi asosida tekshirish oson bo‘lmaydi. Shu sababli bu savolga umumiy holda javob topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala quyidagi teoremada o‘z yechimini topadi.

2-TEOREMA: Agar z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari M(x,y) nuqta va uning biror atrofida aniqlangan hamda uzluksiz bo‘lsa, unda funksiya bu nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali

(7)

formula bilan aniqlanadi.

Isbot: z=f(x,y) funksiyaning M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

f =f(x+x, y+y)–f(x, y)=[f(x+x, y+y)–f(x, y+y)]+[f(x, y+y)–f(x, y)] .(8)

Bu yerda kvadrat qavs ichidagi ayirmalar bir o‘zgaruvchili funksiyaning orttirmalarini ifodalaydi. I qavsdagi bir o‘zgaruvchili funksiya f(x,y+y) ko‘rinishda bo‘lib, uning argumenti [x, x+x] kesmada o‘zgaradi. Teorema shartiga ko‘ra f(x,y+y) funksiya bu kesmada hosilaga ega. Unda I qavsdagi orttirmaga Lagranj teoremasini (VIII bob, §3) qo‘llash mumkin:

. (9)

Xuddi shunday tarzda

(10)

tеnglikni hosil qilamiz. Teorema shartiga ko‘ra xususiy hosilalar uzluksiz va bo‘lgani uchun

tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklardan, limit xossasiga asosan (VII bob, §3, lemmaga qarang), quyidagi tengliklar kelib chiqadi:

(11)

Bu yerda γ₁ vа γ₂ x→0, y→0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi.

Endi (8) tenglikka dastlab (9)-(10), so‘ngra ular o‘rniga (11) tengliklarni qo‘yib, funksiyaning to‘la orttirmasini ushbu ko‘rinishga keltiramiz:

. (12)

Bu yerdan, (12) natijani (5) tenglik bilan taqqoslab, z=f(x,y) funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali uchun (7) formula o‘rinli ekanligini ko‘ramiz. Teorema to‘la isbotlandi.

Masalan, yuqorida ko‘rib o‘tilgan f(x,y)=x²+xy+3y funksiyaning differensialini endi (7) formula bo‘yicha topamiz:

.

Bu oldin olingan natijani ifodalaydi, ammo unga ancha oson erishildi.

Endi xususiy f(x,y)=x holda funksiya differensialini (7) formula orqali topamiz:

.

Xuddi shunday ravishda f(x,y)=y holda dy=∆y ekanligini ko‘ramiz. Shu sababli funksiya differensiali uchun (7) formulani ushbu ko‘rinishda yozish mumkin:

. (13)

Bu tenglikning o‘ng tomonidagi qo‘shiluvchilar z=f(x,y) funksiyaning mos ravishda x va y bo‘yicha xususiy differensiallari deyiladi va d_x f , d_y f kabi belgilanadi. Bu holda df to‘la differensial deb yuritiladi.

Izoh: Bir o‘zgaruvchili y=f(x) funksiya M(x) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun uning shu nuqtada faqat f ′(x) hosilasi mavjudligi talab qilinib, uning uzluksizligi talab etilmas edi. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun esa uning xususiy hosilalarini mavjudligi differensiallanuvchi bo‘lishi uchun yetarli emas.

Masalan,

funksiya uchun f(x,0)=0 va f(0,y)=0 bo‘lgani uchun O(0,0) nuqtada uning xususiy hosilalari mavjud va . Ammo O(0,0) nuqtada bu funksiya to‘la orttirmasini (5) ko‘rinishda yozib bo‘lmaydi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy ∆x≠0, ∆y≠0 uchun ∆f=f(0+∆x, 0+∆y)–f(0,0)=1–0=1, ya’ni ∆x→0, ∆y→0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdor emas. Demak, O(0,0) nuqtada bu funksiyaning xususiy hosilalari mavjud, ammo differensiallanuvchi emas.