|
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi. Bir o‘zgaruvchili y=f(x) funksiyalar uchun limit tushunchasi kiritilgach, uning yordamida funksiyaning uzluksizlik ta’rifi berilgan edi. Bu tushunchani ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham kiritish mumkin.
8-TA’RIF: M0(x0,y0) nuqta z=f(x,y) funksiyaning D{f} aniqlanish sohasidagi biror nuqta bo‘lib, o‘zgaruvchi М(х,у) nuqta funksiyaning aniqlanish sohasida qolgan holda M0 (x0,y0) nuqtaga ixtiyoriy usulda intilganda (M→M0 bo‘lganda)
(2)
tеnglik o‘rinli bo‘lsa, z=f (x, y) funksiya M0 (x0,y0) nuqtada uzluksiz deyiladi. Bu holda M0(x0,y0) funksiyaning uzluksizlik nuqtasi deyiladi. Biror D sohaning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lgan funksiya shu sohada uzluksiz deyiladi.
Masalan, f(x,y)=2x2+3xy–5y2 funksiya tekislikdagi barcha nuqtalarda aniqlangan va ularning har birida uzluksizdir. Demak, bu funksiya butun tekislikda uzluksiz. Xuddi shunday,
funksiya D{f}={(x,y): (x/3)2+(y/2)2≤1}aniqlanish sohasida, ya’ni yarim o‘qlari a=3, b=2 bo‘lgan ellips va uning ichida uzluksiz bo‘ladi.
Geometrik nuqtayi nazardan biror D sohada uzluksiz z=f (x, y) funksiya XOY koordinata tekisligidagi proyeksiyasi shu sohadan iborat bo‘lgan yaxlit bir sirtni ifodalaydi. Shu sababdan tekislik, sfera, uzluksiz chiziqni OX o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan aylanma sirt kabilarni ifodalovchi ikki o‘zgaruvchili funksiyalar uzluksiz bo‘ladi.
Endi z=f(x,y) funksiyaning M0(x0,y0) nuqtada uzluksizligini boshqa bir ta’rifini keltiramiz. Agar М(х,у) o‘zgaruvchi nuqta bo‘lsa, unda ∆x=x–x0 va ∆y=y–y0 ayirmalar mos ravishda x va y argumentlarning o‘zgarishlarini ifodalaydi hamda argument orttirmalari deyiladi. Bu holda x=x0+∆x, y=y0+∆y deb yozish mumkin. Bunda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi
∆z= ∆f=f(x,y)– f(x0,y0)= f(x0+∆x,y0+∆y) – f(x0,y0) (3)
ayirma orqali aniqlanadi va u funksiyaning to‘la orttirmasi deb ataladi. Orttirmalar tilida (2) tenglikdagi x→x0 , y→y0 munosabatlardan ∆x→0 , ∆y→0 ekanligi kelib chiqadi. Shu sababli (2) tenglikni
(4)
ko‘rinishda ifodalash mumkin. Bu z=f(x,y) funksiya uzluksizligini orttirmalar tilidagi ifodasidir. Undan uzluksiz funksiyada x va y argumentlar qanchalik kichik o‘zgarishga ega bo‘lsa, funksiya ham shunchalik kichik o‘zgarishga ega bo‘lishi kelib chiqadi. Amaliy masalalarda z=f(x,y) funksiya uzluksizligini (4) tenglik bilan aniqlash osonroq bo‘ladi.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi ta’rifini ifodalovchi (2) tenglikdan va limit xossalarini ifodalovchi 2-teoremadan bevosita quyidagi teorema kelib chiqadi.
3-TEOREMA: Agar f(x,y) va g(x,y) funksiyalar M0(x0,y0) nuqtada uzluksiz bo‘lsa, unda shu nuqtada C f(x,y) (C-const.), f(x,y)±g(x,y), f(x,y)·g(x,y) va g(x,y)≠0 qo‘shimcha shartda f(x,y)/g(x,y) funksiyalar ham uzluksiz bo‘ladi.
Bu teoremadan foydalanib murakkabroq ko‘rinishdagi funksiya uzluksizligini tekshirish masalasini soddaroq ko‘rinishdagi funksiyalarning uzluksizligini tekshirish masalasiga keltirish mumkin. Masalan,
funksiyada f(x,y) va g(x,y) tekislikdagi barcha nuqtalarda uzluksiz, g(x,y)≠0 (hatto g(x,y)≥1) ekanligidan uni butun tekislikda uzluksizligi teoremadan kelib chiqadi.
Yuqoridagi 8-ta’rifda ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyaning ikkala x va y argumentlari bo‘yicha uzluksizligi qaralgan edi. Bu yerda funksiyaning alohida har bir argumenti bo‘yicha uzluksizligini qarash mumkin. Buning uchun dastlab funksiyaning xususiy orttirmasi tushunchasini kiritamiz.
9-TA’RIF: Berilgan z=f(x,y) funksiya uchun argumentlarning ∆x va ∆y orttirmalarida
(5)
ayirmalar mos ravishda funksiyaning x va y argumentlari bo‘yicha M0(x0,y0) nuqtadagi xususiy orttimalari deb ataladi.
(3) tenglik bilan aniqlangan ∆f orttirma funksiyaning ikkala x va y argumentlari bo‘yicha o‘zgarishini ifodalaydi va shu sababli to‘la orttirma deyiladi. (5) tenglik bilan aniqlangan ∆x f yoki ∆y f orttirmalar esa funksiyaning faqat x (bunda y o‘zgarmas) yoki y argumenti bo‘yicha (bunda x o‘zgarmas) o‘zgarishini ifodalaydi va shu sababli xususiy orttirma deyiladi.
Masalan, f(x,y)=x2+3xy–4y funksiya uchun ixtiyoriy M(x,y) nuqtada to‘la va xususiy orttirmalarni topamiz:
,
,
.
10-TA’RIF: Berilgan z=f(x,y) funksiya uchun M0(x0,y0) nuqtada
(6)
tengliklar bajarilsa, unda bu funksiya M0(x0,y0) nuqtada x yoki y argumenti bo‘yicha uzluksiz deyiladi .
Masalan, yuqorida ko‘rilgan f(x,y)=x2+3xy–4y funksiya uchun ixtiyoriy M(x,y) nuqtada (6) shartlar bajariladi. Demak, bu funksiya butun tekislikda x va y argumentlari bo‘yicha uzluksizdir.
Agar z=f(x,y) funksiya M0(x0,y0) nuqtada ikkala argumentlari bo‘yicha uzluksiz bo‘lsa, unda bu nuqtada har bir argumenti bo‘yicha ham uzluksiz bo‘ladi, chunki (4) tenglikdan (6) tengliklar xususiy hol sifatida kelib chiqadi. Ammo teskari tasdiq o‘rinli bo‘lishi shart emas. Masalan,
(7)
funksiyani O(0,0) nuqtada uzluksizlikka tekshiramiz. Bunda
,
.
Demak, bu funksiya O(0,0) nuqtada x va y argumentlari bo‘yicha uzluksiz . Ammo y=kx (k≠0)) deb olsak, unda
.
Demak, bu funksiya O(0,0) nuqtada ikkala x va y argumentlari bo‘yicha uzluksiz emas.
11-TA’RIF: Agar biror M0(x0,y0) nuqtada (2) tеnglik bajarilmasa, bu nuqtada berilgan z=f(x,y) funksiya uzlukli, M0(x0,y0) esa funksiyaning uzilish nuqtasi deyiladi.
Masalan, oldin ko‘rib o‘tilgan (7) funksiya O(0,0) nuqtada uzlukli,
funksiya esa to‘g‘ri chiziqda yotgan barcha nuqtalarda uzlukli , chunki bu nuqtalar funksiyaning aniqlanish sohasiga kirmaydi va ularda (2) tеnglik bajarilmaydi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
