Лекция. Матрицы и операции над ними Умножение матрицы на число Сложение,вычитание и умножение матриц Экономические вопросы, касающиеся операций над матрицами

2. Сложение,вычитание и умножение матриц

На множестве матриц определен ряд операций, основными среди которых являются следующие:

1) транспонирование – замена строк матрицы на столбцы, а столбцов на строки (матрица, транспонированная по отношению к заданной матрице А, обозначается А^Т );

2) умножение матрицы на число λ производится поэлементно, то есть

; 
3) сложение матриц, определенное только для матриц одной размерности;

4) умножение двух матриц, определенное только для согласованных матриц.

Суммой (разностью) двух матриц называется такая результирующая матрица, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Две матрицы называются согласованными, если количество столбцов первой из них равно количеству строк другой. Произведением двух согласованных матриц A_m×n=(a_ij) и B_n×p=(b_jk) называется такая результирующая матрица C_m×n=(c_ik) , что,

(1.4) 

где  . Отсюда следует, что элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы С равен сумме попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А на элементы k-го столбца матрицы B. Произведение матриц не коммутативно, то есть A∙B≠B∙A. Исключение составляет, например, произведение квадратных матриц на единичную A∙E=E∙A. 

Пример 1.2. Перемножить матрицы A и B, если:
. 

Решение. Так как матрицы согласованные (количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы B), то воспользуемся формулой (1.4):


Пример 1.3. Суммарная среднегодовая стоимость энергоресурсов, потребляемых молочным цехом за 2015 и 2016 год на производство пяти видов продукции, занесена в таблицу 1.1.
Таблица 1.1

Среднегодовые затраты энергоресурсов (2015-2016 гг.), используемых на производство каждого вида продукции молочного цеха, заданы таблицей 1.2.

Таблица 1.2

Определить общую стоимость энергоресурсов, используемых за 2015 и 2016 годы на производство каждого вида продукции молочного цеха (творога, йогурта, молока, сметаны, сливочного масла), а также суммарные годовые затраты на энергоресурсы.
Решение. Согласно таблице 1.1, матрица стоимости энергоресурсов по заданным годам имеет вид: . Матрица норм среднегодовых затрат на энергоресурсы (таблица 1.2).
В этом случае общая стоимость энергоресурсов за 2015 и 2016 годы, затраченных на изготовление всей продукции молочного цеха, определяется как произведение матриц  , где S^T – транспонированная матрица S:

Получили, что стоимость всех энергоресурсов (руб), используемых молочным цехом на производство каждого вида продукции по указанным годам, представляет собой транспонированную матрицу B^T и образует таблицу 1.3. 

Таблица 1.3



Примечание. С помощью компьютерных технологий умножение матриц осуществляется: в MS Excel посредством функции МУМНОЖ( ), аргументами которой являются массивы ячеек, заполненные элементами перемножаемых матриц; в MathCAD достаточно воспользоваться символом умножения, введенного с клавиатуры или панели инструментов Calculator, а затем посредством меню ВСТАВКА ввести умножаемые матрицы


Вопросы для самопроверки по теме Действия над матрицами
1. Какие действия осуществляются над матрицами?
2. Что называется суммой (разностью) двух матриц?
3. Что называется произведением двух матриц? Как оно вычисляется?
https://sites.google.com/site/vyssaamatem/kupit-sklad/voprosy-dla-samoproverki-po-teme-resenie-sistem-linejnyh-algebraiceskih-uravnenij-metodom-obratnoj-matricy
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/lineinye-operatory-kvadratichnye-formy/2-4-postroenie-onb-v-evklidovom-prostranstve