Лекция 20. Несобственные интегралы первого и второго рода. Признаки сходимости несобственных интегралов

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция определена на промежутке ^[ Точку называют особой, если функция неограниченна в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке ^{[ ]} заключенном в ^[ Пусть на любом отрезке ^{[ ]} функция интегрируема, т.е. существует определенный интеграл

∫
при любом таком, что Тогда, если существует конечный предел

∫
то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
∫
Если предел от данного интеграла не существует или бесконечен, то интеграл не существует
и расходится.
Если -особая точка, то несобственный интеграл определяется так

∫

∫

Если функция не ограничена в окрестности какой-нибудь внутренней точки ^{[ ]} то
при условии существования обоих интегралов справа по определению

∫ ∫ ∫

Если -особые точки, то если оба интеграла справа существуют, несобственный интеграл определяется как сумма

∫ ∫ ∫

где -любая точка из

3. Признак сходимости несобственных интегралов (признак сравнения)

Если функции и непрерывны на промежутке ^[ и удовлетворяет на нем условию
то из сходимости интеграла
∫

следует сходимость интеграла

а из расходимости интеграла

∫

следует расходимость интеграла

∫

∫

Рассмотрим пример. Исследовать сходимость

∫
Сравним подынтегральную функцию




с функцией ^⁄ на промежутке Очевидно, что

Но интеграл

∫
сходится, так как Следовательно, согласно признаку сравнения сходится и данный интеграл.
Рассмотрим пример. Исследовать сходимость

∫
Сравнивая подынтегральную функцию

√

√

^{с функцией ⁄} √ ^{на промежутке имеем}

Но интеграл



√



√



√

∫
√

расходится, так как сходится.
Следовательно, согласно признаку сравнения и данный интеграл

Контрольные вопросы

1. 
   Дать определение несобственному интегралу с бесконечными пределами.
   

2. 
   Дать определение несобственному интегралу с конечными пределами.
   
3. 
   Какие несобственные интегралы называют сходящимися (расходящимися)?