Lekciya 15. Differenciallıq teńlemelerdi juwıq sheshiw usılları

Lekciya 15.

Differenciallıq teńlemelerdi juwıq sheshiw usılları

Sanlı differenciallaw formulaların jasaw ushın anıq emes koefficientler usılınan da paydalanıwǵa boladı. Bul usılda, funkciyasınıń noqatlarındaǵı -tártipli tuwındısınıń ańlatpası, mánisleri arqalı tómendegishe kórsetiledi:
(5.1)
Bundaǵı koefficientleri bolǵanda bolıw shártinen, yaǵnıy (1) formulanıń -dárejeli algebralıq kópaǵzalı ushın dál formula bolıw shártinen saylap alınadı. Bunnan (1) degi koefficientlerin anıqlaw ushın mına sızıqlı algebralıq teńlemeleriniń sistemasına kelemiz:
(5.2)
Bul sistemadan koefficientlerin anıqlap, olardıń tabılǵan mánislerin (1) formulaǵa aparıp qoyıp, izlenip atırǵan sanlı differenciallaw formulasına iye bolamız. Bul usıldıń qollanılıwın anıq mısal menen túsindiremiz.
Mısalı. Bir-birinen teńdey qashıqlıqta jaylasqan tórt túyin berilgen jaǵdayda ( ) tuwındısı ushın ańlatpa tabıń.
Sheshiliwi. Bul jaǵdayda (1) formula bılay jazıladı:
(5.3)
Sonıń ushın mına kópaǵzalılardan paydalanamız:
(5.4)
Bul kópaǵzalılardıń tuwındıların tabamız:
(5.5)
Bunnan soń (4) hám (5) ni izbe-iz (3) teńliginiń shep hám oń jaqlarına aparıp qoyamız. Sonda (2) sistema tómendegishe jazıladı:

Bul sistemanı sheship, koefficientlerdiń mına mánislerin tabamız:
.
Koefficientlerdiń tabılǵan mánislerin (3) ge aparıp qoyıp, tuwındınıń mına ańlatpasına iye bolamız:

Bul ańlatpa tuwındısınıń Lagranjdıń interpolyaciyalıq formulasınan paydalanıp tabılǵan ańlatpası menen sáykes keledi (qaldıq aǵzasın esapqa almaǵanda,

Sanlı differenciallaw formulalarınıń dálligin arttı­rıwdıń Runge usılı

Tuwındılardı shekli ayırmalar menen juwıqlastırıwlardan kórinip turǵanınday (3-§ ke qarań), olardıń dálligi paydala­nılatuǵın túyinlerdiń sanına tuwra proporcionalь boladı. Biraqta, túyinlerdiń sanınıń ósiwi menen bul formulalar ádewir quramalı boladı hám esaplawlardıń kólemi artadı. Son­day-aq, alınatuǵın nátiyjelerdiń dálligin bahalaw máselesi de qıyınlasadı. Sonıń menen birge, juwıqlastırıwshı shekli ayırmalar qatnaslarında paydalanılatuǵın túyinlerdiń sanı aldın ala belgili bolǵanda, sheshimniń dálligin arttırıwdıń ápiwayı hám qolaylı usılı bar. Bul Runge usılı boladı. Onıń mánisi qısqasha tómendegilerden ibarat.
Meyli, - juwıqlastırılıwı kerek bolǵan tuwındı, - bul tuwındınıń adımı qa teń bolǵan teń ólshemli torda shekli ayırmalar menen juwıqlastırılıwı, al - juwıqlastı­rıwdıń qáteligi (qaldıq aǵzası) bolsın. Sonda bul qáteliktiń bas aǵzasın túrinde, yaǵnıy

kórinisinde jazıwǵa boladı. Sonlıqtan tuwındını juwıqlastırıwdıń ańlatpası, ulıwma jaǵdayda, tómendegishe jazıladı:
(6.1)
Endi bul teńlikti sol noqatında basqa h₁=kh adımı ushın jazamız:
(6.2)
(1) hám (2) teńlikleriniń oń jaqların bir-birine teńep, tuwındını juwıqlastırıwdıń qáteliginiń bas aǵzasınıń ańlatpasına iye bolamız:

Bul tabılǵan ańlatpanı (1) ge aparıp qoysaq, Rungeniń mına formulası kelip shıǵadı:
(6.3)
Bul formula tuwındınıń hám adımları menen esa­planılǵan hám dálliginiń tártibi ǵa teń bolǵan hám mánisleri boyınsha, onıń dálliginiń tártibi ge teń bolǵan, dálirek mánisin anıqlawǵa múmkinshilik beredi.