Лекции По предмету: Физика II вахабов А. Приняла: Очилова О. Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы

ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАЦЫОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ИМЕНИ МУХАММАДА АЛ-ХОРАЗМИЙ

Группа: PHY202
1-смостоятельная работа по лекции
По предмету: Физика II


Выполнил: Вахабов А.
Приняла: Очилова О.

Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

β и ω0 имеют прежний смысл

Если F(t) – периодическая функция времени, то после приложения этой силы возникает переходный режим вынужденных колебаний, при которых осциллятор одновременно участвует в двух колебаниях:

S(t) = x1(t) + x2(t)

x1(t) соответствует свободным затухающим колебаниям

где 

x2(t) соответствует незатухающим периодическим колебаниям с частотой, равной частоте вынуждающей силы F(t).

Амплитудное значение x1(t), равное A0e-βt, быстро уменьшается после начала вынужденных колебаний: и за время  амплитуда x1(t) уменьшается в 100 раз. Следовательно, через некоторое время τ после начала колебаний (τ ~ τ0) свободные колебания практически прекращаются:

x(t) ≈ x2(t)

Наступает состояние установления вынужденных колебаний, происходящих с частотой возмущающей силы. Если учесть, что при малых затуханиях Q ≈  то время установления τ можно оценить по формуле 

τ ~  ~ 10

т.е. чем больше добротность осциллятора, тем больше время его установления τ.

Пусть

F(t) = F0 Cos Ωt,

где F0 – амплитуда вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания будут также гармоническими с той же частотой Ω, т.е.

x(t) = A Cos(Ωt + φ0)

Подставив это в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, можно получить:

При Ω = 0 получим φ0(0) = 0

и А(0) = А0 =  статическое смещение из положения равновесия под действием постоянной силы F0.

При Ω → ∞ получим A(Ω) → 0 и tg φ0 → 0, а φ0 → - Ω.

Частоту установившихся вынужденных колебаний Ωр, при которой амплитуда А достигает наибольшего значения (резонансную частоту вынужденных колебаний), можно найти из условия минимума знаменателя в выражении для А.

где ω – частота свободных затухающих колебаний

где δ = βТ = 2πβ/ω – логарифмический декремент затухания.

Резюме

дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

- математический маятник

- пружинный маятник

- физический маятник

- затухающие колебания

период затухающих колебаний.

время релаксации (амплитуда колебаний уменьшается в e раз)

δ =  логарифмический декремент затухания.

- амплитуда при резонансе

Резонанс

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной системы.

Резонанс возникает из-за того, что при  внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время имеет одинаковое направление со скоростью колеблющегося тела и совершает положительную работу: энергия колеблющегося тела увеличивается, и амплитуда его колебаний становится большой. Если же внешняя сила действует «не в такт», то эта силы попеременно совершает то отрицательную, то положительную работу и вследствие этого энергия системы меняется незначительно.

На рис.1 показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Видно, что эта амплитуда достигает максимума при определенном значении частоты, т.е. при  , где  собственная частота колебательной системы. Кривые 1 и 2 отличаются величиной силы трения. При малом трении (кривая 1) резонансная кривая имеет резкий максимум, при большей силе трения (кривая 2) такого резкого максимума нет.

Резонансные кривые для различных значений силы трения.

С явлением резонанса мы часто встречаемся в повседневной жизни. Если в комнате задрожали стекла при прохождении по улице тяжелого грузовика, это значит, что собственная частота колебаний стекол равна частоте колебаний машины. Если морские волны попадают в резонанс с периодом корабля, то качка становится особенно сильной.

Явление резонанса необходимо учитывать при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены. Однако резонанс также может быть полезен. Явление резонанса используется при настройке радиоприемника на определенную частоту радиовещания, а также во многих других случаях.