§ 23
п. 1. 4) указанное значение достигается функцией в некоторой точке с
отрезка
]
,
[
b
a
:
10
b
a
c
f
dx
x
f
a
b
)
(
)
(
1
,
откуда находим, что
)
)(
(
)
(
a
b
c
f
dx
x
f
b
a
.
Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что
площадь
криволинейной трапеции равна площади прямоугольника, имеющего то
же основание, что и трапеция, причем высота прямоугольника равна
ординате
)
(c
f
в некоторой точке c , лежащей между
a
и b (рис. 8).
7.
Формула Ньютона - Лейбница
В этом пункте мы докажем основную формулу интегрального
исчисления, устанавливающую связь между понятиями определенного
интеграла и первообразной.
7. 1.
Существование первообразной у непрерывной функции
Если функция
)
( x
f
интегрируема на отрезке
]
,
[
b
a
, то она интегрируема
по любой части этого отрезка и потому при любом
]
,
[
b
a
x
существует
интеграл
x
a
dx
x
f
)
(
.
Чтобы не смешивать обозначения верхнего предела и
переменной интегрирования, будем записывать этот интеграл в виде
x
a
dt
t
f
)
(
.
Рассмотрим функцию
x
a
dt
t
f
x
)
(
)
(
.
Докажем справедливость следующей
теоремы.
Теорема 8. Если функция
)
( x
f
непрерывна на отрезке
]
,
[
b
a
,
то
функция
x
a
dt
t
f
x
)
(
)
(
дифференцируема в любой внутренней точке x этого отрезка, причем
)
(
)
(
x
f
x
.
Иными словами,
интеграл с переменным верхним пределом является
одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции.
Доказательство. Найдем производную функцию
x
a
dt
t
f
x
)
(
)
(
.
Выберем x
столь малым, чтобы точка
x
x
лежала внутри отрезка
]
,
[
b
a
;
тогда
x
x
a
dt
t
f
x
x
)
(
)
(
.
11
Далее,
x
x
x
x
a
x
x
x
x
a
dt
t
f
dt
t
f
dt
t
f
dt
t
f
x
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(здесь было использовано аддитивное свойство интеграла).
Теперь к полученному интегралу применим теорему о среднем значении
(см. теорему 7):
x
c
f
dt
t
f
x
x
x
)
(
)
(
,
где
]
,
[
x
x
x
c
(или
]
,
[
x
x
x
c
,
если
0
x
).
Итак,
x
c
f
)
(
,
а
)
( c
f
x
.
Так как функция
)
( x
f
непрерывна и
x
c
при
0
x
, то
)
(
)
(
lim
x
f
c
f
x
c
.
Поэтому
)
(
)
(
lim
lim
)
(
0
x
f
c
f
x
x
x
c
x
.
Следствие. Из доказанного утверждения вытекает, что если функция
)
( x
f
непрерывна на отрезке
]
,
[
b
a
,
то она имеет на этом отрезке
первообразную, а именно функцию , где
x
a
dt
t
f
x
)
(
)
(
, и поэтому
C
dt
t
f
dx
x
f
x
a
)
(
)
(
,
b
x
a
,
где C - произвольная постоянная.
Поэтому доказанная теорема
называется теоремой о существовании
первообразной для непрерывной функции.
7. 2.
Основная формула интегрального исчисления (формула
Ньютона - Лейбница)
Теорема 9. Если функция
)
( x
f
y
непрерывна на отрезке
]
,
[
b
a
, то
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
, (3)
где
)
( x
F
-
первообразная для функции
)
( x
f
.
Доказательство. Так как функция
)
( x
f
непрерывна на отрезке
]
,
[
b
a
,
то
она интегрируема на нем и, значит, существует
b
a
dx
x
f
)
(
.
Далее, в силу
непрерывности функции
)
( x
f
на
]
,
[
b
a
,
на этом отрезке существует ее
первообразная.
Согласно теореме 8, функция
x
a
dt
t
f
x
)
(
)
(
является одной из
12
первообразных для функции
)
( x
f
;
следовательно, для любой первообразной
)
( x
F
имеем
C
x
F
x
)
(
)
(
. (4)
Заметим, что
0
)
(
)
(
a
a
dt
t
f
a
.
Из равенства (4) заключаем, что
C
a
F
a
)
(
)
(
,
т. е.
C
a
F
)
(
0
;
значит,
)
(a
F
C
.
Итак,
)
(
)
(
)
(
a
F
x
F
x
,
в частности,
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
b
.
Но
b
a
b
a
dx
x
f
dt
t
f
b
)
(
)
(
)
(
.
Итак,
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
.
Равенство (3)
называется формулой Ньютона – Лейбница. Разность
)
(
)
(
a
F
b
F
записывают в виде
b
a
x
F
)
(
;
тогда
b
a
b
a
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
.
Например,
3
3
x
-
одна из первообразных для функции
2
x
.
Поэтому
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
a
b
a
b
x
dx
x
b
a
b
a
.
7. 3.
Свойства определенного интеграла
Из формулы Ньютона - Лейбница легко выводятся основные свойства
определенного интеграла. Во всех этих свойствах предполагается, что функции
непрерывны на рассматриваемых промежутках.
1°.
Интеграл от суммы двух функций
)
(
1
x
f
и
)
(
2
x
f
по отрезку
]
,
[
b
a
равен сумме интегралов от этих функций по тому же отрезку:
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
)
(
)
(
))
(
)
(
(
2
1
2
1
.
Доказательство. Из свойств неопределенного интеграла вытекает, что
если
)
(
1
x
F
-
первообразная для
)
(
1
x
f
, a
)
(
2
x
F
-
первообразная для
)
(
2
x
f
,
то
первообразной для
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
служит функция
)
(
)
(
2
1
x
F
x
F
.
Поэтому
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
2
1
2
1
2
1
a
F
a
F
b
F
b
F
dx
x
f
x
f
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
a
F
b
F
a
F
b
F
.
)
(
)
(
))
(
)
(
(
))
(
)
(
(
2
1
2
2
1
1
Аналогично доказывается следующее свойство.
2°.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
13
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
.
Пример 1. Вычислить
1
2
3
)
4
3
2
(
dx
x
x
.
Решение. Имеем
1
2
1
2
1
2
3
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
4
3
3
)
4
(
3
2
)
4
3
2
(
dx
xdx
dx
x
dx
dx
x
dx
x
dx
x
x
1
2
1
2
2
1
2
4
4
2
3
4
2
x
x
x
.
24
)
2
(
1
(
4
)
)
2
(
1
(
2
3
)
)
2
(
1
(
2
1
2
2
4
4
Do'stlaringiz bilan baham: |