Лекции №5-6-7 определенный интеграл. Формула ньютона лейбница


§  23  п.  1.  4)  указанное  значение  достигается  функцией  в  некоторой  точке  с



Download 454,73 Kb.
Pdf ko'rish
bet2/4
Sana10.04.2020
Hajmi454,73 Kb.
#43628
TuriЛекции
1   2   3   4
Bog'liq
матем 5-6-7 лекц

§  23 

п.  1.  4)  указанное  значение  достигается  функцией  в  некоторой  точке  с 

отрезка 

]

,



[

b

a



 

 

10 







b

a

c

f

dx

x

f

a

b

)

(



)

(

1



откуда находим, что 

)

)(

(



)

(

a



b

c

f

dx

x

f

b

a



Геометрический  смысл  этой  теоремы  состоит  в  том,  что 



площадь 

криволинейной  трапеции  равна  площади  прямоугольника,  имеющего  то 

же  основание,  что  и  трапеция,  причем  высота  прямоугольника  равна 

ординате 

)

(c



f

 

в некоторой точке , лежащей между 

a

 

и  (рис. 8). 

 

7.  

Формула Ньютона - Лейбница 

В  этом  пункте  мы  докажем  основную  формулу  интегрального 

исчисления,  устанавливающую  связь  между  понятиями  определенного 

интеграла и первообразной. 



7. 1. 

Существование первообразной у непрерывной функции 

Если функция 

)

x



f

 

интегрируема на отрезке 



]

,

[



b

a

, то она интегрируема 

по  любой  части  этого  отрезка  и  потому  при  любом 

]

,



[

b

a

x

 



существует 

интеграл 



x

a

dx

x

f

)

(



Чтобы  не  смешивать  обозначения  верхнего  предела  и 

переменной интегрирования, будем записывать этот интеграл в виде  



x



a

dt

t

f

)

(



.    

Рассмотрим  функцию 



x



a

dt

t

f

x

)

(



)

(



Докажем  справедливость  следующей 

теоремы. 

Теорема  8.  Если  функция 

)

x



f

 

непрерывна  на  отрезке 



]

,

[



b

a

то 



функция 



x

a

dt

t

f

x

)

(



)

(



 

дифференцируема в любой внутренней точке   этого отрезка, причем  

)

(

)



(

x

f

x



Иными словами, 



интеграл с переменным верхним пределом является 

одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. 

Доказательство. Найдем производную функцию 



x

a

dt

t

f

x

)

(



)

(



Выберем  x

  

столь малым, чтобы точка 



x

x



лежала внутри отрезка 

]

,



[

b

a

;  


тогда 





x



x

a

dt

t

f

x

x



)

(



)

(



 

 

11 



Далее, 











x



x

x

x

a

x

x

x

x

a

dt

t

f

dt

t

f

dt

t

f

dt

t

f

x

x

x







)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

)



(

  

(здесь было использовано аддитивное свойство интеграла). 



Теперь к полученному интегралу применим теорему о среднем значении 

(см.  теорему  7): 



x

c

f

dt

t

f

x

x

x





)

(



)

(





где 


]

,

[



x

x

x

c



(или 


]

,

[



x

x

x

c



если 



0



x

). 


Итак, 

x

c

f





)

(



а 

)



(c

f

x





Так  как  функция 



)

x



f

 

непрерывна  и 



x

c

 



при 

0



x

,  то 



)

(

)



(

lim


x

f

c

f

x

c



Поэтому 


)

(

)



(

lim


lim

)

(



0

x

f

c

f

x

x

x

c

x











 

Следствие.  Из  доказанного  утверждения  вытекает,  что  если  функция 

)

x



f

 

непрерывна  на  отрезке 



]

,

[



b

a

то  она  имеет  на  этом  отрезке 



первообразную, а именно функцию  , где 



x

a

dt

t

f

x

)

(



)

(



, и поэтому 

C

dt

t

f

dx

x

f

x

a



)



(

)

(



,       

b

x

a



где  - произвольная постоянная. 

Поэтому  доказанная  теорема 

называется  теоремой  о  существовании 

первообразной для непрерывной функции. 

7.  2. 

Основная  формула  интегрального  исчисления  (формула 

Ньютона - Лейбница) 

Теорема 9. Если функция 

)

x



f

y

  



непрерывна на отрезке 

]

,



[

b

a

, то 


)

(

)



(

)

(



a

F

b

F

dx

x

f

b

a



,                                             (3) 

где 

)

x



F

 - 


первообразная для функции 

)

x



f



Доказательство. Так как функция 

)

x



f

 

непрерывна на отрезке 



]

,

[



b

a

то 



она  интегрируема  на  нем  и,  значит,  существует 



b



a

dx

x

f

)

(



Далее,  в  силу 

непрерывности  функции 

)

x



f

 

на 



]

,

[



b

a

на  этом  отрезке  существует  ее 



первообразная. 

Согласно  теореме  8,  функция 



x



a

dt

t

f

x

)

(



)

(



 

является  одной  из 



 

 

12 



первообразных для функции 

)

x



f

следовательно, для любой   первообразной 



)

x



F

 

имеем 



C

x

F

x



)

(

)



(

.                                                     (4) 



Заметим, что 

0

)



(

)

(





a

a

dt

t

f

a

.   



Из  равенства   (4)   заключаем,   что 

C

a

F

a



)

(

)



(



т. е. 

C

a

F



)

(

0



значит, 


)

(a



F

C



Итак, 


)

(

)



(

)

(



a

F

x

F

x



 



в  частности, 

)

(



)

(

)



(

a

F

b

F

b



.  


Но  





b



a

b

a

dx

x

f

dt

t

f

b

)

(



)

(

)



(



Итак, 

)

(



)

(

)



(

a

F

b

F

dx

x

f

b

a



Равенство  (3) 



называется  формулой  Ньютона  –  Лейбница.  Разность 

)

(



)

(

a



F

b

F

 



записывают в виде 

b

a

x

F

)

(



тогда  


b

a

b

a

x

F

dx

x

f

)

(



)

(



Например, 



3

3

x

 - 

одна из первообразных для функции 



2

x

Поэтому  



3

3

3



3

3

3



3

3

3



2

a

b

a

b

x

dx

x

b

a

b

a















7. 3. 



Свойства определенного интеграла 

Из  формулы  Ньютона  -  Лейбница  легко  выводятся  основные  свойства 

определенного интеграла. Во всех этих свойствах предполагается, что функции 

непрерывны на рассматриваемых промежутках. 



Интеграл  от  суммы  двух  функций 

)

(

1



x

f

 

и 



)

(

2



x

f

 

по  отрезку 



]

,

[



b

a

 

равен сумме интегралов от этих функций по тому же отрезку: 







b

a

b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

x

f

)

(



)

(

))



(

)

(



(

2

1



2

1



Доказательство.  Из  свойств  неопределенного  интеграла  вытекает,  что 

если 


)

(

1



x

F

первообразная для 



)

(

1



x

f

,  a 


)

(

2



x

F

  - 


первообразная для 

)

(



2

x

f

то 



первообразной для 

)

(



)

(

2



1

x

f

x

f

 



служит функция 

)

(



)

(

2



1

x

F

x

F



Поэтому 





))



(

)

(



(

))

(



)

(

(



))

(

)



(

(

2



1

2

1



2

1

a



F

a

F

b

F

b

F

dx

x

f

x

f

b

a

 









b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

a

F

b

F

a

F

b

F

.

)



(

)

(



))

(

)



(

(

))



(

)

(



(

2

1



2

2

1



1

 

Аналогично доказывается следующее свойство. 



Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: 



 

 

13 







b



a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

)

(



)

(



Пример 1. Вычислить  



1



2

3

)



4

3

2



(

dx

x

x



Решение. Имеем  

 



















1

2



1

2

1



2

3

1



2

1

2



1

2

3



1

2

3



4

3

3



)

4

(



3

2

)



4

3

2



(

dx

xdx

dx

x

dx

dx

x

dx

x

dx

x

x

 









1

2

1



2

2

1



2

4

4



2

3

4



2

x

x

x

 

.



24

)

2



(

1

(



4

)

)



2

(

1



(

2

3



)

)

2



(

1

(



2

1

2



2

4

4













 



 


Download 454,73 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish