Лекции №5-6-7 определенный интеграл. Формула ньютона лейбница

 

                    

Рис.9                                   Рис. 10                                           Рис.11 

 

Так как заданная фигура (рис. 10, а) равновелика полученной (рис. 10, б), 

то площадь  S  вычисляется по формуле 







b

a

dx

x

f

x

f

S

))

(

)

(

(

2

1

.                                             (10) 

В  частности,  для  криволинейной  трапеции,  изображенной  на  рис.  2, 

получаем 











b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

S

)

(

)

0

)

(

(

, 

а для криволинейной трапеции, изображенной на рис. 11, получаем 













b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

S

)

(

)

(

0

(

. 

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 

2

,

1

,

5

,











x

x

x

y

x

y

. 

Решение. Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рис.  12. 

Воспользовавшись формулой (10), получим 

























2

1

2

1

2

1

2

1

2

5

)

5

(

)

)

5

((

xdx

dx

dx

x

dx

x

x

S

 

2

)

1

4

(

)

1

2

(

5

2

2

5

2

1

2

2

1

















x

x

. 

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 

2

4

,

2

2











x

x

y

x

y

. 

Решение. Построив прямую 

2



 x

y

 

и параболу 

2

4

2







x

x

y

, получим 

фигуру, площадь которой требуется найти (рис. 13). Эта площадь выражается 

формулой (10), где 

2

)

(

1



 x

x

f

, 

2

4

)

(

2

2







x

x

x

f

 

а пределы 

интегрирования 

a

 

и b  равны абсциссам точек пересечения параболы и прямой. 

 

 

19 

 

           

Рис. 12                                   Рис.13                                 Рис. 14 

 

Для  отыскания  абсцисс  этих  точек  решим  уравнение 

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



. 

Имеем 

2

4

2

2









x

x

x

, 

т.е. 

0

4

5

2





 x

x

,  откуда 

1

1



x

,

 

4

2



x

.  Итак, 

1



a

,

 

4



b

. Значит, 























4

1

2

4

1

2

)

4

5

(

))

2

4

(

)

2

((

dx

x

x

dx

x

x

x

S

 

5

,

4

)

1

4

(

4

)

1

64

(

3

1

)

1

16

(

2

5

4

3

2

5

4

1

4

1

3

4

1

2





























x

x

x

. 

Пример  6.  Вычислить  площадь  фигуры,  ограниченной  графиками 

функций 

x

y



,  

2



 x

y

. 

Решение. Фигура, площадь которой требуется найти, изображена на рис. 

14.  Эту  фигуру  можно  представить  в  виде  объединения  криволинейных 

трапеций,  если  провести  прямую 

2



x

. 

Тогда  площадь  S   интересующей  нас 

фигуры  равны 

2

1

S

S



,  где 

1

S

 

и 

2

S

- 

площади  криволинейных  трапеций, 

отмеченных  на  рис.  14,  соответственно  горизонтальной  и  вертикальной 

штриховкой. Имеем 



















2

1

2

1

2

1

1

)

2

(

))

2

(

(

dx

x

x

dx

x

x

S

 

6

7

2

8

)

1

2

(

2

)

1

4

(

2

1

)

1

2

2

(

3

2

2

2

2

/

3

2

1

2

1

2

2

1

2

3























x

x

x

. 



















2

1

2

1

4

2

2

)

2

(

))

2

(

(

dx

x

x

dx

x

x

S

 

3

2

4

10

)

2

4

(

2

)

4

16

(

2

1

)

2

2

8

(

3

2

2

2

2

/

3

4

2

4

2

2

4

2

2

3























x

x

x

. 

 

 

 

20 

6

13

3

2

4

10

6

7

2

8

2

1











 S

S

.

 

8.2. 

 

Вычисление длин дуг

 

В школьном курсе математики рассматривался вопрос о вычислении длин 

отрезков  прямой,  длины  окружности,  а  также  различных  ее  частей.  В  прило-

жениях математики возникает потребность в вычислении длин дуг произволь-

ных  кривых.  Однако,  чтобы  вычислить  длину  произвольной  кривой,  нужно 

быть уверенным в том, что рассматриваемая кривая имеет конечную длину. В 

средней  школе  длиной  окружности  называют  предел  последовательности 

периметров  вписанных  в  окружность  правильных  многоугольников  (при  не-

ограниченном удвоении числа сторон). Однако это определение неприменимо к 

произвольным кривым. Дадим общее определение понятия длины кривой.

 

Определение 3. Пусть дана -дуга плоской кривой  AB. Разобьем ее на 

n

 

частей  точками 

1

2

1

,...,

,



n

M

M

M

 

и,  соединив  каждые  две  соседние  точки 

отрезком  прямой,  получим  ломаную,  вписанную  в  дугу  AB.  Рассмотрим 

всевозможные  вписанные  ломаные  и  обозначим  множество  их  периметров 

через  M.  Если множество  M  ограничено сверху, то дуга  AB 

называется 

спрямляемой  (имеющей  длину),  а  верхняя  грань  множества  M  -  длиной 

дуги  AB. 

 

Ясно,  что  любая  ломаная  спрямляема  и  к  ее  длине  применимо  опреде-

ление 3. Ясно, также, что равные дуги имеют равные длины. Несколько слож-

нее устанавливается аддитивность длины (соответствующую теорему мы при-

водим без доказательства). 

Теорема 13. Пусть дуга  AB разбита на две части точкой  C . Если  дуги 

AC  

и 

CB

 

спрямляемы, то и дуга  AB спрямляема, причем 











CB

AC

AB

. 

Определение 4.  Пусть  кривая  AB  представляет  собой  график  функции 

)

( x

f

y



, 

непрерывной на отрезке 

]

,

[

b

a

. 

Если 

)

( x

f 

непрерывна на 

]

,

[

b

a

, 

то 

AB  

называют 

гладкой кривой. 

Теорема 14. Гладкая кривая спрямляема. 

Доказательство опускаем. 

Теорема 15. Длина  l  дуги гладкой кривой, служащей графиком функции 

)

( x

f

y



 

на отрезке 

]

,

[

b

a

, вычисляется по формуле 

dx

x

f

l

b

a









2

))

(

(

1

.                                               (11) 

Следствие.  Пусть  кривая  задана  параметрически  уравнениями 

)

(t

x

x



,  

)

(t

y

y



, 







 t

 

и пусть  функции 

)

(t

x

, 

)

(t

y

 

непрерывны  на   

]

,

[





 

имеют 

непрерывные  производные  в 

)

,

(





), 

причем 

)

(t

x

 

сохраняет  в 

)

,

(





 

постоянный знак. Тогда длина этой кривой вычисляется по формуле 

 

 

21 

dt

x

y

t

x

l















2

2

))

(

(

))

(

(

.                                        (12) 

 

8.3. 

 

 

Вычисление объемов тел 

С помощью определенного интеграла можно вычислить объемов тел. А 

именно: 

а) вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений; 

б) вычисления объема тела вращения. 

«Вычисление объемов тел» являются темой реферата, а п. а) и б) планом 

реферата. 

В  конце  отметим,  что  определенный  интеграл  имеет  и  другие 

приложения. Эти приложения читатель найдет в литературе и самостоятельно 

изучит. 

 

 

 

Ключевые слова и словосочетания 

Криволинейная  трапеция,  разбиение  отрезка,  нижняя  и  верхняя 

суммой Дарбу,  интегрируемая функция, определенный интеграл, классы 

интегрируемых функций, формула Ньютона – Лейбница, интегрирование 

по частям и замена переменной в определенном интеграле. 

 

 

 

Вопросы для самопроверки 

1. Какую фигуру на плоскости называют криволинейной трапецией? Как 

найти  площадь  такой  фигуры?    Что  означает      разбиение  T отрезка 

]

,

[

b

a

? 

Очевидно, что для любого разбиения  T  выполняется неравенство 

T

T

S

S

s





,

 

где  S

  -

 

искомая площадь криволинейной трапеции. Как можно определить эту 

площадь? 

2.  Как  на  практике  делят  отрезок 

]

,

[

b

a

?  При  этом  какую  запись 

используют вместо 

T

s

 

и 

T

S

 

соответственно? Как можно определить искомую 

площадь  в  этом  случае?    Найти    площадь    криволинейной    трапеции,  

ограниченной     параболой 

2

x

y



 

и прямыми 

0



x

, 

1



x

, 

0



y

.  

3.  Найти  массу  материальной  плоской  пластины  -  стержня  как  число, 

разделяющее множества 

}

{

T

s

 

и 

}

{

T

S

 

для

 

всевозможных разбиений  T  отрезка 

]

,

[

b

a

. 

4.  Что    называется  нижней  суммой  Дарбу?

 

Что    называется  верхней 

суммой Дарбу?  Какими свойствами обладают эти суммы? 

  

5.  Когда  функция,  ограниченная  на  отрезке 

]

,

[

b

a

, 

называется 

интегрируемой

 

на  этом  отрезке?  Что  называется  определенным  интегралом

 

 

 

22 

заданной  функции по отрезку   

]

,

[

b

a

 

и как его обозначают? 

6.  Обычно  интеграл 



b

a

dx

x

f

)

(

 

определяют  для  случая,  когда 

b

a



.  Как

 

 

определяют интеграл 



b

a

dx

x

f

)

(

 

когда 

b

a

 ? 

7. Интегрируемые ли любые функции? Если «нет», то приведите пример, 

неинтегрируемой функции.  

8. Что является необходимым и  достаточным условием интегрируемости  

функции? Сформулируйте теорему. 

9. 

Приведите  теоремы,  которые  выделяют  некоторые  классы 

интегрируемых функций. 

10.  Что  означает  аддитивное  свойство  определенного  интеграла? 

Сформулируйте теорему.  

11.  Что  означает  свойство  аддитивности  площади  плоской  фигуры, 

свойство аддитивности массы стержня. 

12. Сформулируйте теорему о среднем для определенного интеграла. Что 

называется средним значением функции на отрезке 

]

,

[

b

a

? В чем заключается 

геометрический смысл этой теоремы?  

13.  Сформулируйте  теорему  о  существования  первообразной  для 

непрерывной функции. 

14. Показать, что интеграл с переменным верхним пределом является од-

ной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. 

15.  Выведите  основную  формулу  интегрального  исчисления  -  формулу 

Ньютона – Лейбница. 

16.Приведите свойства определенного интеграла. 

17.  Какой  вид  принимает  формула  интегрирования  по  частям  для 

определенного интеграла? 

18.  Приведите  утверждения,  на  котором  основан  метод  замены 

переменной под знаком определенного интеграла. 

19.  Перечисляйте  и  разъясните  геометрические  приложения 

определенного интеграла.