Лекции №5-6-7 определенный интеграл. Формула ньютона лейбница

§  23 

п.  1.  4)  указанное  значение  достигается  функцией  в  некоторой  точке  с 

отрезка 

]

,

[

b

a

: 

 

 

10 









b

a

c

f

dx

x

f

a

b

)

(

)

(

1

, 

откуда находим, что 

)

)(

(

)

(

a

b

c

f

dx

x

f

b

a







. 

Геометрический  смысл  этой  теоремы  состоит  в  том,  что 

площадь 

криволинейной  трапеции  равна  площади  прямоугольника,  имеющего  то 

же  основание,  что  и  трапеция,  причем  высота  прямоугольника  равна 

ординате 

)

(c

f

 

в некоторой точке c , лежащей между 

a

 

и b  (рис. 8). 

 

7.  

Формула Ньютона - Лейбница 

В  этом  пункте  мы  докажем  основную  формулу  интегрального 

исчисления,  устанавливающую  связь  между  понятиями  определенного 

интеграла и первообразной. 

7. 1. 

Существование первообразной у непрерывной функции 

Если функция 

)

( x

f

 

интегрируема на отрезке 

]

,

[

b

a

, то она интегрируема 

по  любой  части  этого  отрезка  и  потому  при  любом 

]

,

[

b

a

x



 

существует 

интеграл 



x

a

dx

x

f

)

(

. 

Чтобы  не  смешивать  обозначения  верхнего  предела  и 

переменной интегрирования, будем записывать этот интеграл в виде  



x

a

dt

t

f

)

(

.    

Рассмотрим  функцию 





x

a

dt

t

f

x

)

(

)

(



. 

Докажем  справедливость  следующей 

теоремы. 

Теорема  8.  Если  функция 

)

( x

f

 

непрерывна  на  отрезке 

]

,

[

b

a

, 

то 

функция 





x

a

dt

t

f

x

)

(

)

(



 

дифференцируема в любой внутренней точке  x  этого отрезка, причем  

)

(

)

(

x

f

x







. 

Иными словами, 

интеграл с переменным верхним пределом является 

одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. 

Доказательство. Найдем производную функцию 





x

a

dt

t

f

x

)

(

)

(



. 

Выберем  x

  

столь малым, чтобы точка 

x

x





лежала внутри отрезка 

]

,

[

b

a

;  

тогда 









x

x

a

dt

t

f

x

x







)

(

)

(

. 

 

 

11 

Далее, 



























x

x

x

x

a

x

x

x

x

a

dt

t

f

dt

t

f

dt

t

f

dt

t

f

x

x

x













)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

  

(здесь было использовано аддитивное свойство интеграла). 

Теперь к полученному интегралу применим теорему о среднем значении 

(см.  теорему  7): 

x

c

f

dt

t

f

x

x

x







)

(

)

(









, 

где 

]

,

[

x

x

x

c







(или 

]

,

[

x

x

x

c







, 

если 

0



x



). 

Итак, 

x

c

f





)

(



, 

а 

)

(c

f

x







. 

Так  как  функция 

)

( x

f

 

непрерывна  и 

x

c



 

при 

0



x



,  то 

)

(

)

(

lim

x

f

c

f

x

c





. 

Поэтому 

)

(

)

(

lim

lim

)

(

0

x

f

c

f

x

x

x

c

x





















. 

 

Следствие.  Из  доказанного  утверждения  вытекает,  что  если  функция 

)

( x

f

 

непрерывна  на  отрезке 

]

,

[

b

a

, 

то  она  имеет  на  этом  отрезке 

первообразную, а именно функцию  , где 





x

a

dt

t

f

x

)

(

)

(



, и поэтому 

C

dt

t

f

dx

x

f

x

a









)

(

)

(

,       

b

x

a





, 

где C  - произвольная постоянная. 

Поэтому  доказанная  теорема 

называется  теоремой  о  существовании 

первообразной для непрерывной функции. 

7.  2. 

Основная  формула  интегрального  исчисления  (формула 

Ньютона - Лейбница) 

Теорема 9. Если функция 

)

( x

f

y



  

непрерывна на отрезке 

]

,

[

b

a

, то 

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

dx

x

f

b

a







,                                             (3) 

где 

)

( x

F

 - 

первообразная для функции 

)

( x

f

. 

Доказательство. Так как функция 

)

( x

f

 

непрерывна на отрезке 

]

,

[

b

a

, 

то 

она  интегрируема  на  нем  и,  значит,  существует 



b

a

dx

x

f

)

(

. 

Далее,  в  силу 

непрерывности  функции 

)

( x

f

 

на 

]

,

[

b

a

, 

на  этом  отрезке  существует  ее 

первообразная. 

Согласно  теореме  8,  функция 





x

a

dt

t

f

x

)

(

)

(



 

является  одной  из 

 

 

12 

первообразных для функции 

)

( x

f

; 

следовательно, для любой   первообразной 

)

( x

F

 

имеем 

C

x

F

x





)

(

)

(



.                                                     (4) 

Заметим, что 

0

)

(

)

(







a

a

dt

t

f

a



.   

Из  равенства   (4)   заключаем,   что 

C

a

F

a





)

(

)

(



, 

т. е. 

C

a

F





)

(

0

; 

значит, 

)

(a

F

C





. 

Итак, 

)

(

)

(

)

(

a

F

x

F

x







, 

 

в  частности, 

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

b







.  

Но  









b

a

b

a

dx

x

f

dt

t

f

b

)

(

)

(

)

(



. 

Итак, 

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

dx

x

f

b

a







. 

Равенство  (3) 

называется  формулой  Ньютона  –  Лейбница.  Разность 

)

(

)

(

a

F

b

F



 

записывают в виде 

b

a

x

F

)

(

; 

тогда  

b

a

b

a

x

F

dx

x

f

)

(

)

(





. 

Например, 

3

3

x

 - 

одна из первообразных для функции 

2

x

. 

Поэтому  

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

a

b

a

b

x

dx

x

b

a

b

a

























. 

7. 3. 

Свойства определенного интеграла 

Из  формулы  Ньютона  -  Лейбница  легко  выводятся  основные  свойства 

определенного интеграла. Во всех этих свойствах предполагается, что функции 

непрерывны на рассматриваемых промежутках. 

1°. 

Интеграл  от  суммы  двух  функций 

)

(

1

x

f

 

и 

)

(

2

x

f

 

по  отрезку 

]

,

[

b

a

 

равен сумме интегралов от этих функций по тому же отрезку: 













b

a

b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

x

f

)

(

)

(

))

(

)

(

(

2

1

2

1

. 

Доказательство.  Из  свойств  неопределенного  интеграла  вытекает,  что 

если 

)

(

1

x

F

- 

первообразная для 

)

(

1

x

f

,  a 

)

(

2

x

F

  - 

первообразная для 

)

(

2

x

f

, 

то 

первообразной для 

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



 

служит функция 

)

(

)

(

2

1

x

F

x

F



. 

Поэтому 















))

(

)

(

(

))

(

)

(

(

))

(

)

(

(

2

1

2

1

2

1

a

F

a

F

b

F

b

F

dx

x

f

x

f

b

a

 

















b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

a

F

b

F

a

F

b

F

.

)

(

)

(

))

(

)

(

(

))

(

)

(

(

2

1

2

2

1

1

 

Аналогично доказывается следующее свойство. 

2°. 

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: 

 

 

13 











b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

. 

Пример 1. Вычислить  









1

2

3

)

4

3

2

(

dx

x

x

. 

Решение. Имеем  

 

















































1

2

1

2

1

2

3

1

2

1

2

1

2

3

1

2

3

4

3

3

)

4

(

3

2

)

4

3

2

(

dx

xdx

dx

x

dx

dx

x

dx

x

dx

x

x

 





















1

2

1

2

2

1

2

4

4

2

3

4

2

x

x

x

 

.

24

)

2

(

1

(

4

)

)

2

(

1

(

2

3

)

)

2

(

1

(

2

1

2

2

4

4

































