Лекции №5-6-7 определенный интеграл. Формула ньютона лейбница

3°. 

Если 

0

)

(



x

f

 

на отрезке 

]

,

[

b

a

, 

то 





b

a

dx

x

f

0

)

(

.                                                       (5) 

Доказательство.  В  самом  деле,  если 

0

)

(



x

f

,  то 

0



T

s

,  а  тогда  тем 

более 





b

a

dx

x

f

0

)

(

. 

Неравенство  (5)  допускает  простое  геометрическое  истолкование: 

площадь  криволинейной  трапеции,  ограниченной  сверху  графиком 

функции,  принимающей  только  неотрицательные  значения,  есть 

неотрицательное число. 

4°. 

Если на отрезке 

]

,

[

b

a

 

выполняется неравенство 

)

(

)

(

x

g

x

f



, то 







b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

f

)

(

)

(

.                                                  (6) 

Доказательство.  В  самом  деле, 

0

)

(

)

(





x

f

x

g

,  а  тогда  согласно 

свойству  3°  имеем 







b

a

dx

x

f

x

g

0

))

(

)

(

(

)

, т.е. 









b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

g

0

)

(

)

(

, откуда и 

следует неравенство (6). 

Геометрический  смысл  неравенства  (6)  рекомендуем  выяснить 

самостоятельно. 

7. 4.  

Интегрирование по частям в определенном интеграле 

Для  определенного  интеграла  формула  интегрирования  по  частям 

принимает следующий вид: 









b

a

b

a

b

a

vdu

uv

udv

.                                                   (7) 

 

 

14 

В  самом  деле,  если 







1

)

(

C

x

F

udv

, 







2

)

(

C

x

vdu



 

то  применяя 

формулу  интегрирования  по  частям  для  неопределенного  интеграла  имеем 









vdu

uv

udv

, 

т. е. 

C

x

x

v

x

u

x

F







)

(

)

(

)

(

)

(



. 

Поэтому 

C

b

b

v

b

u

b

F







)

(

)

(

)

(

)

(



 

и 

C

a

a

v

a

u

a

F







)

(

)

(

)

(

)

(



. Значит, 

))

(

)

(

(

))

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

)

(

a

b

a

v

a

u

b

v

b

u

a

F

b

F















, 

а это и есть формула (7). 

Пример 2. Вычислить  



2

1

dx

xe

x

. 

Решение.  Положим 

dx

e

dv

x

u

x



 ,

. 

Тогда 

x

e

v

dx

du





,

. 

Используя 

формулу (7), получим 

2

2

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

)

(

2

1

2

e

e

e

e

e

e

e

e

dx

e

xe

dx

xe

x

x

x

x





























. 

7. 5.  

Замена переменной в определенном интеграле 

Пусть 

)

( x

F

 

является первообразной для 

)

( x

f

 

на отрезке 

]

,

[

b

a

 

и пусть 

)

(t

x





 - 

дифференцируемая функция, отображающая отрезок 

]

,

[





 

в отрезок 

]

,

[

b

a

, 

причем 

a





 )

(

, 

b





 )

(

. 

В п. 4 § 30 мы установили, что 

C

t

F

dt

t

t

f













))

(

(

)

(

))

(

(

. 

Значит, 







































b

a

dx

x

f

a

F

b

F

F

F

t

F

dt

t

t

f

)

(

)

(

)

(

))

(

(

))

(

(

))

(

(

)

(

))

(

(

. 

Итак, мы приходим к следующему утверждению. 

Теорема  10.  Пусть  функция 

)

( x

f

y



 

имеет  первообразную  на  отрезке 

]

,

[

b

a

,  а  функция 

)

(t

x





определена  на  отрезке 

]

,

[





 

и  дифференцируема 

внутри этого отрезка, причем 

a





 )

(

, 

b





 )

(

 

и 

]

,

[

])

,

([

b

a









. Тогда 















dt

t

t

f

dx

x

f

b

a

)

(

))

(

(

)

(

.                                            (8) 

На  этом  утверждении  и  основан  метод  замены  переменной  под  знаком 

определенного интеграла. Заметим, что на практике формула (8) используется 

как «слева направо», так и «справа налево». 

Условие 

]

,

[

])

,

([

b

a









 

заведомо выполняется, если функция 

)

(t

x





 

монотонна на отрезке 

]

,

[





. 

Это имеет место, если ее производная сохраняет 

знак на 

]

,

[





. 

Пример 3. Вычислить  





a

dx

x

a

0

2

2

. 

Решение. 

Воспользуемся 

тригонометрической 

подстановкой 

 

 

15 

t

a

t

x

sin

)

(







, 

2

0





 t

.  Найдем  пределы  интегрирования     и     для  новой 

переменной t . 

Функция 

t

a

t

sin

)

(





 

на отрезке 











2

,

0

определена и дифференцируема 

внутри  него,  причем 

0

)

0

(





, 

a













 



2

 

и 

]

,

0

[

2

,

0

a



























. 

Значит,  можно 

применить формулу (8). Имеем 























2

0

2

0

2

2

0

2

2

cos

cos

cos

cos

tdt

a

t

a

tdt

a

t

a

dx

x

a

a

 







































2

0

2

2

0

2

2

0

2

2

0

2

2

0

2

2

0

2

2

2

2

sin

2

2

2

cos

2

2

2

2

cos

1

cos

t

a

t

a

tdt

a

dt

a

dt

t

a

tdt

a

 

4

)

0

sin

(sin

4

0

2

2

2

2

2

a

a

a





















 





. 

Пример 4. Вычислить  







5

,

1

5

,

0

2

5

4

4

x

x

dx

. 

Решение. Так  как 

4

)

1

2

(

5

4

4

2

2











x

x

x

. Положим 

1

2



 x

u

; 

тогда 

dx

du

2



. 

Если 

5

,

0



x

,  то 

0

1

5

,

0

2

1

2











 x

u

;  если 

5

,

1



x

, 

то 

2

1

5

,

1

2

1

2











 x

u

=2-1,5 

— 1 — 2. Таким образом, 0 и 2 - новые пределы 

интегрирования.  Функция 

1

2



 x

u

 

на  отрезке 

]

5

,

1

,

5

,

0

[

 

определена, 

дифференцируема  и  монотонно  возрастает;  значит,  можно  воспользоваться 

формулой (8) (но если в предыдущем примере мы использовали  эту формулу 

«слева направо», то теперь будем идти «справа налево»). Получаем 























2

0

2

5

,

1

5

,

0

2

5

,

1

5

,

0

2

4

2

1

4

)

1

2

(

2

5

4

4

u

du

x

dx

x

x

dx

 

16

0

4

4

1

)

0

1

(

4

1

2

2

1

2

1

2

0















 

























arctg

arctg

u

arctg

. 

 

8.   

Геометрические приложения определенного интеграла 

8.1. 

Вычисление площадей плоских фигур 

В п.1 используя интуитивное представление о площади плоской фигуры и 

ограничившись нестрогим рассуждением, мы установили связь между опреде-

ленным интегралом и площадью криволинейной трапеции. Здесь мы придадим 

указанному рассуждению необходимую строгость. 

В  курсе  геометрии  рассматривались  площади  треугольников, 

параллелограммов, трапеций и вообще произвольных многоугольников. Теперь 

 

 

16 

введем  понятие  площади  для  любой  плоской  фигуры  F ,  ограниченной 

непрерывным  замкнутым  контуром.  Хотя  площадь  -  понятие  геометрическое, 

оно  изучается  в  курсе  математического  анализа,  так  как  и  определение,  и 

вычисление площади  проводится средствами математического анализа. То же 

самое относится и к таким понятиям, как длина дуги, объем тела (об этом речь 

пойдет в следующих пунктах). 

Определение  2.  Пусть  F -  плоская  фигура,  ограниченная  непрерывным 

замкнутым 

контуром. 

Рассмотрим 

всевозможные 

многоугольники, 

содержащиеся  внутри  F   (множество  их  площадей  обозначим  M,  а  также 

всевозможные  многоугольники,  содержащие  F   внутри  себя  (множество  их 

площадей  обозначим  N ).  Числовое  множество  M  расположено  левее 

числового  множества  N   и,  значит,  имеется  хотя  бы  одно  разделяющее  их 

число, Если это разделяющее число единственно, то оно называется 

площадью 

фигуры  F , а сама фигура  F  - квадрируемой. 

Ясно, что любой многоугольник - квадрируемая фигура (тогда множества 

M  

и  N   имеют общий элемент  -  площадь самого многоугольника)  и к  его 

площади  применимо  определение  2.  Для  квадрируемых  фигур  справедливы 

такие свойства площади, верные для многоугольников, как равенство площадей 

равных  фигур  и  свойство  аддитивности  («площадь  суммы  равна  сумме 

площадей»). 

Теорема 11. Для того чтобы фигура  F  была квадрируема, необходимо и 

достаточно, чтобы для любого 

0





 

существовали два многоугольника  P  и Q : 

Q

F

P





 

такие, что разность их площадей меньше  : 







)

(

)

(

P

S

Q

S

. 

Доказательство.  Эта  теорема  вытекает  из  критерия  единственности 

разделяющего числа. 

Теорема  12.  Криволинейная  трапеция,  ограниченная  прямыми 

a

x



, 

b

x



  (

b

a

 ), 

0



y

 

и  графиком  непрерывной  и  неотрицательной  на  отрезке 

]

,

[

b

a

 

функции 

)

( x

f

y



 

квадрируема  и  ее  площадь  S   вычисляется  по 

формуле 





b

a

dx

x

f

S

)

(

.                                                    (9) 

Доказательство.  Так  как  функция 

)

( x

f

y



 

непрерывна  на  отрезке 

]

,

[

b

a

, 

то она интегрируема на этом отрезке. Тогда по теореме 1  для  любого 

0





 

существует такое разбиение T отрезка 

]

,

[

b

a

, что 







T

T

s

S

.  

Суммы Дарбу 

T

S

 

и 

T

s

 

геометрически представляют собой площади двух 

ступенчатых  фигур:  фигуры  P ,  вписанной  в  трапецию  F ,  и  фигуры  Q , 

описанной  около  трапеции  F   (см.  рис.  4  и  5).  Следовательно, 

Q

F

P





 

и 

поскольку 

T

S

Q

S



)

(

,

 

a 

T

s

P

S



)

(

, 

имеем 







)

(

)

(

P

S

Q

S

. 

Таким образом, для 

фигуры  F  выполняются условия теоремы 1 и, значит, эта фигура квадрируема. 

Для  любого  разбиения  T отрезка 

]

,

[

b

a

 

справедливо  неравенство 

T

T

S

S

s





, 

где  S   -  площадь  квадрируемой  фигуры  F ,  т.е.  S -  число, 

 

 

17 

разделяющее  множества  нижних  и  верхних  сумм  Дарбу.  Но  таким  числом 

является 



b

a

dx

x

f

)

(

; 

поэтому  в  силу  единственности  разделяющегося  числа 

получим 





b

a

dx

x

f

S

)

(

. 

 

С  помощью  интеграла  можно  находить  площади  не  только 

криволинейной трапеции, ограниченной прямыми 

a

x



, 

b

x



 (

b

a

 ), 

0



y

 

и 

графиком  непрерывной и неотрицательной на 

]

,

[

b

a

 

функции 

)

( x

f

y



, 

но и 

плоских фигур более сложного вида. 

Рассмотрим фигуру, ограниченную прямыми 

a

x



, 

b

x



 (

b

a

 ), 

0



y

 

и 

графиками  функций 

)

(

1

x

f

y



, 

)

(

2

x

f

y



 

непрерывных  на  отрезке 

]

,

[

b

a

 

и 

таких,  что  для  всех  x   из  этого  отрезка  выполняется  неравенство 

)

(

)

(

0

1

2

x

f

x

f





 

(на рис. 9 эта фигура закрашена). Площадь  S  такой фигуры 

можно вычислить следующим образом: 























b

a

b

a

b

a

aABb

b

B

A

a

dx

x

f

x

f

dx

x

f

dx

x

f

S

S

S

))

(

)

(

(

)

(

)

(

2

1

2

1

. 

Рассмотрим  теперь  фигуру  такого  же  вида,  как  на  рис.  9,  но  не  будем 

требовать, чтобы функции 

)

(

1

x

f

 

и 

)

(

2

x

f

 

были неотрицательными (рис. 10, а). 

Пусть 

m

  - 

наименьшее значение функции 

)

(

2

x

f

y



 

на отрезке 

]

,

[

b

a

. 

Тогда 

функции 

m

x

f

x

h





)

(

)

(

1

1

, 

m

x

f

x

h





)

(

)

(

2

2

 

непрерывны и неотрицательны 

на отрезке 

]

,

[

b

a

 

и площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми 

a

x



, 

b

x



 

и графиками функций 

)

(

1

x

h

y



, 

)

(

2

x

h

y



 

(рис. 10, б), вычисля-

ется, как было показано выше, по формуле 







b

a

dx

x

h

x

h

S

))

(

)

(

(

2

1

, 

т.е. 





















b

a

b

a

dx

x

f

x

f

dx

m

x

f

m

x

f

S

))

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

2

1

2

1

 

 

 

18