Лар асосий тушунчалар

4 . Турғунликни текшириш. Cхемаларнинг хусусий ечимларини гармоника
,
кўринишида излаймиз. Бу хусусий ечимни (14) ва (15) га қўйиб қуйидаги дисперсион муносабатларни (характеристик тенгламларни) топамиз ( деб оламиз)
,
.
Аввало, . Юқоридаги тенгликларнии бир хил кўпайтувчилар га қисқартириб
, (15)
, (16)
дисперцион муносабатларни топамиз. Бу муносабатлар гармоника айирмали схеманинг қачон ечими бўлишини билдиради.
эканидан, агар ||>1 бўлса ва турғунлик бўлиши мумкин эмас. бўлса турғунлик бўлиши мумкин. (16) дан доимо ва ошкормас схема доимо турғун экан. Ошкор схемада бўлиши учун бўлиши керак.
Демак, ошкор схема бўлсагина турғун ва ошкормас доимо турғун, яъни ошкор схема шартли турғун, соф ошкормас, Кранк Николсон схемаси абсолют турғун экан.
5. Алгоритмлар. a) Ошкор схемани ечиш масаласини кўрайлик. ни топамиз
(17)
.
Бу ердан кўринадики, чекли айирмали схемада факат икки қатлам нуқталари иштирок этяпти ундан ташкари юқори катлам да факат битта ноъмалум қиймат бор . Демак, ( 17) асосида катламда берилган бошлангич ва чегара шарт қийматларидан фойдаланиб қатламдаги, сўнг кейинги қатламдаги қийматларни ҳам реккурент формулалар (17) ёрдамида топишимиз мумкин.
b) Энди соф ошкормас схемани ечиш масаласини кўрайлик. Ҳар қатламда учта ноъмалум бор: . Уларни топиш учун уч диоганалли система оламиз:
, (18)

Бу ерда ҳам иккита қатлам иштирок этяпти. Юқори катламда уч номаълум, қуйи катламда битта қиймат иштирок этяпти. Шунинг учун ҳам бу схемани соф ошкормас схема дейилади. Ечишни қатламдан бошланади. Бу қатламда (18) га прогонка усули қўлланилади. Биринчи қатламда номаълумлар топилгач, иккинчи қатламдаги номаълумлар яна прогонка усули билан топилади ва ҳоказо.
Соф ошкормас схемани қуйидагича ёзиш мумкин:
, (19)
бу ерда - векторлар ва матрица:
;
;
,
c) Кранк-Николсон схемаси ҳам ошкормас схема бўлади ва қуйидача ёзиш мумкин:
.
Кранка-Николсон схемасини қуйидагича ёзиш мумкин:
(20)
бу ерда - векторлар ва матрица:




Демак, алгоритмик томондан ошкор схема қулай, лекин шартли турғун, соф ошкормас ва Кранк-Николсон схемалари абсолют турғун, ва ҳар бир катламда уч диогоналли алгебраик тенгламалар системасини прогонка усули ечиш керак. Шартли турғунлик тўр қадамларига жиддий шарт қўяди, бу эса кўп ҳисоблашларни бажаришга олиб келади.
(17)-(20) чекли айирмали схемалар компьютерда программа тузилиб ёки математик тизимлар, масалан, Mathcad ёрдамида ечилиши мумкин.