Лар асосий тушунчалар

11. Параболик тенглама учун чекли айирмали схемаЛАР


Асосий тушунчалар: шаблон, дисперцион шарт,ПТ учун ошкор, ошкормас,Кранк- Николсон схемалари, шартли турғунлик, абсалют турғунлик, прогонка усули, қатлам.
Асосий формулалар:
1. ПДТ учун бошланғич-чегара масала: , -аниқ ечим,
, .
2.ПДТ учун чекли айирмали схемалар:
1)Ошкор ЧАС ( )
.
2)Ошкормас ЧАС

3) Кранк-Николсоннинг юқори тартибли аппроксимацияли схемаси

Алгоритмлар:

3.Аппрокцимацияни текшириш:
,
,
.
4.Турғунликни текшириш:а)ошкор схеманинг турғунлик шарти ;
б) ошкормас схема шартсиз (абсолют) турғун .
5. ПДТ учун Галёркин усули. 6.Назарий саволлар ва машклар.7. Адабиёт.


1. ПДТ учун бошланғич чегара масала.
соҳада диффузия тенгламасининг бошланғич ва чегара шартлар
, (1)
, (2) бу ерда ,
га бўйсунадиган аниқ ечимини топиш талаб этилади. Фараз қиламизки, (1)-(2) масала ечими ягона ва мавжуд, ва яна ечим D соҳада узлуксиз ҳосилаларга эга.
2. ЧАС яратиш. Ечимни ЧАС усули билан тақрибий топамиз. Бунинг учун D соҳада тўғри чизиқлар
ёрдамида тўр ҳосил қиламиз .
Асосий белгилаш қуйидагидан иборат: .
Тўрнинг нуқталарида (1), (2) тенгламаларни ёзамиз:
( 3)
(4)
Қисқалик учун ҳосиланинг чекли айирмали аппроксимациясиини киритамиз:
. (5)
оператор ихтиёрий тўр функцияга ҳам шу каби таъсир эътади:
. (6)
(3) тенгликларга кирувчи ҳосилаларни қуйидагича алмаштириш мумкин:
, (7)
, (8)
(9)
Ҳосилани чекли айирмалар билан аппроксимация килишда ишлатиладиган тўрнинг нуқталар тўпламига шаблон дейилади. Энди (3) ларга ҳосилаларнинг ( 7)-(9) қийматларини қўямиз. Бошлангич чегара шартларда ҳосила йук, улар аниқ аппроксимация қилинади. (3) га аввал ( 8), кейин (9) ни қўйиб икки хил тенгликлар ҳосил қиламиз:
. (10)
. (11)
Чексиз кичик микдоларни ташлаб юбориб ва деб икки хил чекли айирмали схема ҳосил қиламиз:
. (12)
. (13)
(12) схеманинг шаблони тескари (Т): . (13) схеманики эса (Т): . (12) ошкор схема дейилади, (13) соф ошкормас схема дейилади. Уларни қўшиб, иккига бўлиб Кранк-Николсон схемасини оламиз (ётиқ H):
(14)
Энди схемаларни бошлангич-чегара шартлар билан бирга ёзамиз:

Ошкор ЧАС
Соф ошкормас ЧАС
Кранк Николсон схемаси
БЧ шартлар

3. Аппроксимацияни текшириш. Бошлангич-чегара шартлар аниқ аппроксимация қилингани туфайли фақат дифференциал тенгламанинг аппроксимациясинингина текшириш колади. Ўнг томон ҳам аниқ аппроксимация қилинаяпти, шунинг учун ва аниқ ечим жадвали ни киритиб

( 10), (11) дан қуйидагини топамиз:


Иккала схема ҳам дифференциал тенгламани билан аппроксимация қилаяпти.
Кранк-Никольсон схемаси аниқлиги га тенг.
Демак, .