Lagranj usuli va uni iqtisodiy mazmundagi muammolarni hal qilishda qo'llash

Lagranj usuli va uni iqtisodiy mazmundagi muammolarni hal qilishda qo'llash
Ko'pgina hodisalar, shu jumladan iqtisodiy hodisalar ko'plab omillarga bog'liq. Bunday bog'liqliklarni o'rganish matematik apparatni takomillashtirishni talab qildi, ya'ni bir nechta o'zgaruvchan funktsiya tushunchasini kiritishni talab qildi, bu orqali biz bir-biridan mustaqil x va y o'zgaruvchilar bilan tenglamani nazarda tutamiz.
Texnik taraqqiyotning rivojlanishi bilan iqtisodiyot ishlab chiqarish resurslarini qanday qilib eng foydali taqsimlash masalasi bilan duch keldi. Foydani ko'paytirish yoki zararni minimallashtirish har doim ham faqat hisob-kitobga kamaytirilishi mumkin emas, chunki ko'pincha etishmayotgan ma'lumotlarni topish kerak bo'ladi. Ushbu muammoning echimini qidirib, 18-asrning eng buyuk frantsuz matematikasi Jozef Lui Lagranj resurslarning optimal taqsimlanishini hisoblash usulini ishlab chiqdi, keyinchalik Lagranj ko'paytuvchilari usuli deb nomlandi.
Ushbu usul juda sodda va optimallashtirish muammolarini hal qilish uchun qulaydir. Uning kamchiliklari qo'shimcha o'zgaruvchilarni kiritishdir, bu esa qo'shimcha tenglamalar yordamida o'z navbatida yo'q qilinishi kerak.
Shuni ta'kidlash kerakki, agar muammoni echishda Lagranj usuli ishlatilsa, u holda ekstremum butun ta'rif domenida emas, balki ma'lum bir shartni qondiradigan to'plamda izlanadi.
z = f (x, y) funktsiya, x va y argumentlari cheklash tenglamasi deb nomlangan

g (x, y) = C shartni qondiradigan argumentlar bo'lsin, keyin (x₀, y₀) nuqta shartli maksimal deyiladi (minimal) nuqta, agar ushbu nuqtaning mahallasi mavjud bo'lsa, unda g (x, y) = C shartini qondiradigan ushbu mahalladagi barcha (x, y) nuqtalar uchun tengsizlik

f (x₀, y₀) ≥ f (x, y) f (x₀, y₀) ≤ f (x, y)
Ikki o'zgaruvchili funksiyaning shartli ekstremumini topishning eng oddiy usuli bu muammoni bitta o'zgaruvchiga teng funktsiya ekstremumini topishga kamaytirishdir. Shunday qilib, y ni x: y = ϕ (x) bilan ifodalagan holda va hosil bo'lgan ifodani ikkita o'zgaruvchining funktsiyasiga almashtirib, biz z = f (x, y) = f (x, ϕ (x)) ni olamiz, ya'ni , bitta o'zgaruvchining funktsiyasi. Ammo bu usul faqat g (x, y) = C cheklash tenglamasi chiziqli bo'lganda va o'zgaruvchilardan biriga nisbatan osonlikcha echilishi mumkin bo'lganda mos keladi. Biroq, yanada murakkab holatlarda, buni amalga oshirish mumkin emas.
Umumiy holatda shartli ekstremumni topish uchun Lagranj multiplikatori usuli qo'llaniladi.
Lagrange funktsiyasi uchta o'zgaruvchidan iborat funktsiya
L (x, y, λ) = f (x, y) + λ [g (x, y) – C] bu erda λ Lagranj ko'paytuvchilari.
Shunday qilib, g (x, y) = C sharti bilan z = f (x, y) funksiyaning shartli ekstremumini topish uchun tizimga yechim topish talab qilinadi

Keling, masalaning echimini Lagranj ko'paytuvchilari usuli bilan ko'rib chiqamiz.

Ikki korxonani rivojlantirish uchun 2 million ajratildi. Agar birinchi korxonaga x₁ million berilsa, u holda ushbu korxonadan olingan foyda 2√x₁ millionga teng bo'ladi, agar x₂ million ikkinchisiga berilsa, u holda undan olingan foyda 3√x₂ millionga teng bo'ladi. Jamg'arma foydasi maksimal darajaga ko'tarilishi uchun mablag'larni korxonalar o'rtasida qanday taqsimlash kerakligini aniqlang. Keling, ushbu muammoni Lagranj ko'paytuvchilari usuli bilan hal qilaylik.
Vazifa x₁ + x₂ = 2 cheklovi ostida f = 2√x₁ +3√x₂ funktsiyasining global maksimal nuqtasini topishdir.
Mumkin bo'lgan maksimal nuqtani Lagranj ko'paytuvchilari usuli bilan topish.
Lagrange funktsiyasi:
L (x₁, x₂, λ) = 2√x₁ +3√x₂ + λ (x₁ + x₂ -2)
Mumkin bo'lgan ekstremaning nuqtalarini topish uchun biz tizimni tuzamiz:
L'_x1 = 1/√x₁ + λ = 0
L'_x2 = 3/2√x₂+ λ = 0