Лабораторная работа№1 Решение системы линейных уравнений методом квадратных корней

Лабораторная работа№1
Решение системы линейных уравнений методом квадратных корней
Цель и содержание: моделирования объектов, описываемых системами алгебраических уравнений, приобретение навыков построения таких моделей в системе компьютерной математики MATLAB.
Организационная форма занятий: решение проблемных задач, разбор конкретных ситуаций
Вопросы для обсуждения на лабораторном занятии:построение моделей объектов, описываемых системами алгебраических уравнений.

Теоретическое обоснование

Изучите теоретический материал по данной теме, используя сведения, приведенные ниже, и литературу [5, 22]
Приближенное решение широкого круга вычислительных задач сводится к решению систем линейных уравнений. Теория решения систем линейных уравнений хорошо разработана,имеется большое число разнообразных программных средств для решения самых различных систем уравнений, в том числе плохо обусловленных, блочных, с разреженными матрицами и т.д.
Методы решения линейных систем уравнений обычно делят на две большие группы. К первой группе относятсяточные методы, которые позволяют для любых систем найти точные значения неизвестных после конечного числа точно выполняемых арифметических операций.
Ко второй группе относят приближенные методы, которые являются итерационными, так как решения в них получают в результате процесса приближений. Точные методы применяются для задач небольших размерностей (~10²), а для задач большой размерности используют итерационные методы.
Особое место среди них занимают вероятностные методы, которые полезны лишь в случаях очень высокой размерности систем.
Моделирование объектов, описываемых системами линейных уравнений, можно осуществлять путем сведения системы линейных уравнений к эквивалентной системе дифференциальных уравнений [2].
Пусть исследуемый объект описывается системой уравнений:


(2.1)


или в матричном виде: Ах=b, где А–квадратная матрица размером п п,bи х – векторы размером п (п – размерность системы).
Заменим данную систему алгебраических уравнений эквивалентной системой дифференциальных уравнений:


(2.2)


Дляэквивалентностисистемыравнений2.1 и 2.2 необходимо, чтобы решениесистемыдифференциальных уравнений 2.2 было затухающим, т.е. как только все производные затухнут , будет получено решение системы уравнений 2.1: { }.
Достаточнымусловием,обеспечивающим затухающее
решение,являетсяположительнаяопределенностьматрицы
коэффициентовлинейнойсистемыуравнений. Этовозможно,в частности, при условии, когда

Пример 2.1. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений:
(2.3)
Точное решение системы уравнений найти с помощью инструментов Excel и Mathcad. Свести систему линейных уравнений к эквивалентной системе дифференциальных уравнений и найти решение в MATLAB, с помощью пакета Simulink.