Лабораторная работа №1 Структурный и кинематический анализ рычажного механизма

Лабораторная работа №1
Структурный и кинематический анализ рычажного механизма
1. Структурный анализ механизма
В лабораторной работе будем исследовать механизм, структурная схема которого представлен на рисунке 1.

Рис. 1. Структурная схема механизма

1. 
   Кривошип
   
2. 
   Ползун
   
3. 
   Кулиса
   

Число степеней свободы этого механизма W=1 , т.е. механизм имеет одно входное звено.
Обобщенной координатой данного механизма является угол поворота кривошипа 1, который будем отсчитывать с нуля по лимбу, установленному на кривошипе.
1. Кинематический анализ
Будем исследовать цикл работы механизма , соответствующий одному обороту кривошипа. При этом исследуем характер движения ползуна 2 относительно кулисы 3, полагая, что входной кривошип вращается с постоянной угловой скоростью ω₁ = 100 рад/с.
Кинематический анализ производится экспериментально-теоретически. Функцию положения F(φ₁) выходного ползуна в зависимости от угла поворота кривошипа 1 получаем экспериментально.
Полагая, что кривошип вращается равномерно с угловой скоростью, следовательно φ₁ = ω₁t, получим функцию положения от времени F(t), её аппроксимируем и дифференцированием аппроксимирующей функции определяем зависимости скорости V(t) и ускорения a(t) ползуна.
Для того чтобы при дифференцировании функции S получить функции скорости и ускорения, перейдём от функции S(φ₁) к функции S(t). Для этого вычислим шаг таблицы по времени Δt. Поскольку при равномерном вращении кривошипа φ₁ = ω₁ t и Δ φ₁ = ω₁ Δt, то
Δφ = Δφ° π / 180 =10 * 3,14/180 = 0,174
Тогда шаг по времени Δt = Δ φрад/ ω= 0,174/100 =0, 00174с.
Функцию положения исследуемого звена получим экспериментально. Результаты эксперимента представлены в табл. 1.
Таблица 1

i	φ	1	Si
0	0	58,5	51,5
1	10	64	57
2	20	69,5	62,5
3	30	74	67
4	40	78,5	71,5
5	50	81,5	74,5
6	60	84	77
7	70	86	79
8	80	87	80
9	90	87	80
10	100	87	80
11	110	85	78
12	120	83	76
13	130	79,5	72,5
14	140	76	69
15	150	71	64
16	160	66	59
17	170	60,5	53,5
18	180	54	47
19	190	48	41
20	200	41	34
21	210	33,5	26,5
22	220	27	20
23	230	20,5	13,5
24	240	14,5	7,5
25	250	10	3
26	260	7,5	0,5
27	270	7	0
27	280	8,5	1,5
29	290	12,5	5,5
30	300	18	11
31	310	24	17
32	320	31	24
33	330	38	31
34	340	45	38
35	350	52	45
36	360	58,5	51,5

График исходной функции представлен на рис. 2.

Рис. 2
Задача аппроксимации (приближения) состоит в нахождении аналитического выражения, график которого в том или ином смысле проходил бы близко к заданным значениям. В данном случае требуется минимизировать среднее квадратическое отклонение исходных от аппроксимированных значений.
В результате аппроксимации, в частности, мы получаем возможность восстанавливать значения функции внутри интервалов исходной таблицы функции. При этом используем различные методы аппроксимации и сравним их.

1. 
   С помощью рядов Фурье
   
2. 
   С помощью полиномов, коэффициенты которых определены методом наименьших квадратов
   
3. 
   С помощью интерполяционных сплайнов
   
4. 
   С помощью сглаживающих сплайнов.
   

1.1. Аппроксимация функции с помощью ряда Фурье
Разложение функции в ряд Фурье означает её приближённую замену тригонометрическим полиномом вида

где T = 2π/ω₁ = 2π/10 = 0,6283 с – время полного оборота кривошипа,
- амплитуда сигнала на j-ой частоте.
Частота сигнала для j-й гармоники θ_j =2πj/T.
Поскольку в данном случае функция F(t) задана таблицей значений в конечном числе точек m, то максимальное число членов ряда n_max = m/2.
Формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье при табличном задании функции:
,
где Fi - значения функции F(t_i), i = 0, 1, 2, … m-1.
На первом этапе F(t) разложим в ряд с максимально возможным числом членов: n = 18 = n _max = m/2 = 18 (рис. 3). В этом случае значения ряда Фурье в узлах практически совпадают с данными эксперимента.
Результаты дифференцирования ряда по времени представлены на рис. 4. На графике скорости и особенно ускорения явно видны паразитные осцилляции, вызванные погрешностями замера значений. Возникает необходимость сглаживания этих зависимостей.


Рис.3

Рис.4
Анализ амплитудного спектра исследуемой функции (рис. 5) показывает, что существенным, кроме А₀/2, являются лишь слагаемые ряда, соответствующие 1-й, 2-й и 3-й частотам, поэтому проведём разложение в ряд и аппроксимацию функции с учётом только этих частот.

i Част.,1/c Част., гц Ci Фазы i
0 0.000e+00 0.000e+00 4.494e+01
1 1.003e+03 1.596e+02 3.899e+01 0.0535
2 2.006e+03 3.193e+02 4.583e+00 -1.4710
3 3.009e+03 4.789e+02 1.149e+00 0.0628
4 4.012e+03 6.386e+02 2.878e-01 -1.1380
5 5.015e+03 7.982e+02 6.001e-02 -0.0027
6 6.018e+03 9.579e+02 7.349e-02 -1.2373
7 7.021e+03 1.117e+03 5.919e-02 -0.4158
8 8.025e+03 1.277e+03 3.956e-02 -1.5264
9 9.028e+03 1.437e+03 5.556e-02 0.0000
10 1.003e+04 1.596e+03 4.139e-02 0.0807
11 1.103e+04 1.756e+03 1.133e-01 1.2851
12 1.204e+04 1.916e+03 7.349e-02 1.2373
13 1.304e+04 2.075e+03 3.362e-02 -0.3619
14 1.404e+04 2.235e+03 1.019e-01 0.6740
15 1.505e+04 2.395e+03 7.260e-02 1.4617
16 1.605e+04 2.554e+03 3.578e-02 -0.9120
17 1.705e+04 2.714e+03 7.172e-02 -0.2641
18 1.806e+04 2.874e+03 1.111e-01 1.5708
Рис.5



Рис.6

Рис.7
На рис. 6 и 7 представлены результаты аппроксимации при учете первых 3-х членов ряда. Их анализ показывает, что функция аппроксимирована удовлетворительно, она сохраняет периодичность, графики 1-й и 2-й производных не зашумлены.
1.2. Аппроксимация функции с помощью полиномов, коэффициенты которых определены методом наименьших квадратов.
Суть метода состоит в том, что в случае необходимости сглаживания функции, её заменяют на другую, более гладкую, график которой проходил как бы проходил «между» точками исходной функции и был более гладким.
По методу МНК функцию строят в виде суммы простых аналитических функций , выбор которых является отдельной задачей. В данном случае используется система степенных функций 1,t,t²,t³,…Так что нужная гладкая функция получается в виде полинома: a0+a₁t+a₂t²+a₃t³…+a_ntⁿ , где n- задаваемое пользователем число членов полинома.
Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов а_i таких, чтобы график полинома проходил между точками исходной функции, минимизируя среднее квадратическое отклонение.
Опытным путём выберем число полиномов МНК=6(во всех остальных график функции зашумлён).
Проведём аппроксимацию:

Рис.8
Рис.9
Рис.9

При n=6 функция аппроксимирована удовлетворительно, за исключением экстремумов (рис.8). Графики 1-й и 2-й производных не зашумлены, однако не соблюдена периодичность на краях производных.

Выбираем число членов полиномов МНК=6, в данном случае можно сказать, что функция аппроксимирована удовлетворительно, за исключением экстремумов ( здесь график аппроксимирующей функции проходит неточно).

1.3.Аппроксимация функции с помощью интерполяционных и сглаживающих сплайнов.

Одним из наиболее мощных средств аппроксимации функции является кубический интерполяционный сплайн. Кубический интерполяционный сплайн- это совокупность полиномов третьей степени вида

S_it=F_i+b_i(t-t_i)+c_i(t-t_i)²+d_i(t-t_i)³, где F_i –значения аппроксимируемой функции в узлах, t_i –значения аргумента функции в узлах, b_i c_i d_i –коэффициенты сплайна для i-го участка, i-номер участка, n- число точек в таблице аппроксимируемой функции, начиная с нуля.
Построение интерполяционного сплайна состоит в нахождении коэффициентов b_i c_i d_{i .} Тогда для каждого для i-го участка можно найти значение сплайна S_i(t ) для любого t (в промежутке от t_i до t_i+1 ), которое и будет приближённым значением функции F_i(t).

Рис.10

Рис.11
Как видно из рисунка 11 интерполяционный сплайн не аппроксимирует 1-ую и 2-ую производные. В целом аппроксимация исходной функции выполнена удовлетворительно.
График интерполяционного сплайна проходит в точности по точкам исходной функции. Однако часто возникает необходимость сглаживания функции. В этом случае нужно заменить её на другую, более гладкую, значения которой отклонялись бы от исходной не более чем ,на заданную величину.

1.5.Аппроксимация функции сглаживающим сплайном.
Сглаживающий сплайн строится так, чтобы его график проходил между точками исходной функции, минимизируя значения изгиба.
Выберем константу коридора 2,проведём аппроксимацию:

Рис.12

Рис.13
Задача сглаживания выполнена удовлетворительно (рис.12).
1-ая производная сглажена удовлетворительно, а 2-ая производная зашумлена.
Выводы по работе:
Данную функцию удобнее всего аппроксимировать методом Фурье. Ряд Фурье хорошо аппроксимирует гладкие функции, а функция, отражающая характер движения ползуна 2 относительно кулисы 3 является гладкой.
Если необходимо, чтобы значения ряда в узлах совпадали со значениями аппроксимируемой функции, то следует производить разложение с максимально возможным числом членов ряда.
Ряд Фурье позволяет сглаживать функции, если они, как в нашем случае, искажены погрешностями эксперимента. Для такой сглаживающей аппроксимации следует при разложении учитывать лишь первые основные частоты, определённые по амплитудному спектру( в данном случае n=3).