Лабораторная работа №1 Структурный и кинематический анализ рычажного механизма



Download 0,6 Mb.
Sana12.06.2022
Hajmi0,6 Mb.
#657701
TuriЛабораторная работа
Bog'liq
Лабораторная работа1 исправленная 2003 бла


Лабораторная работа №1
Структурный и кинематический анализ рычажного механизма
1. Структурный анализ механизма
В лабораторной работе будем исследовать механизм, структурная схема которого представлен на рисунке 1.

Рис. 1. Структурная схема механизма

  1. Кривошип

  2. Ползун

  3. Кулиса

Число степеней свободы этого механизма W=1 , т.е. механизм имеет одно входное звено.
Обобщенной координатой данного механизма является угол поворота кривошипа 1, который будем отсчитывать с нуля по лимбу, установленному на кривошипе.
1. Кинематический анализ
Будем исследовать цикл работы механизма , соответствующий одному обороту кривошипа. При этом исследуем характер движения ползуна 2 относительно кулисы 3, полагая, что входной кривошип вращается с постоянной угловой скоростью ω1 = 100 рад/с.
Кинематический анализ производится экспериментально-теоретически. Функцию положения F(φ1) выходного ползуна в зависимости от угла поворота кривошипа 1 получаем экспериментально.
Полагая, что кривошип вращается равномерно с угловой скоростью, следовательно φ1 = ω1t, получим функцию положения от времени F(t), её аппроксимируем и дифференцированием аппроксимирующей функции определяем зависимости скорости V(t) и ускорения a(t) ползуна.
Для того чтобы при дифференцировании функции S получить функции скорости и ускорения, перейдём от функции S(φ1) к функции S(t). Для этого вычислим шаг таблицы по времени Δt. Поскольку при равномерном вращении кривошипа φ1 = ω1 t и Δ φ1 = ω1 Δt, то
Δφ = Δφ° π / 180 =10 * 3,14/180 = 0,174
Тогда шаг по времени Δt = Δ φрад/ ω= 0,174/100 =0, 00174с.
Функцию положения исследуемого звена получим экспериментально. Результаты эксперимента представлены в табл. 1.
Таблица 1

i

φ

1

Si

0

0

58,5

51,5

1

10

64

57

2

20

69,5

62,5

3

30

74

67

4

40

78,5

71,5

5

50

81,5

74,5

6

60

84

77

7

70

86

79

8

80

87

80

9

90

87

80

10

100

87

80

11

110

85

78

12

120

83

76

13

130

79,5

72,5

14

140

76

69

15

150

71

64

16

160

66

59

17

170

60,5

53,5

18

180

54

47

19

190

48

41

20

200

41

34

21

210

33,5

26,5

22

220

27

20

23

230

20,5

13,5

24

240

14,5

7,5

25

250

10

3

26

260

7,5

0,5

27

270

7

0

27

280

8,5

1,5

29

290

12,5

5,5

30

300

18

11

31

310

24

17

32

320

31

24

33

330

38

31

34

340

45

38

35

350

52

45

36

360

58,5

51,5

График исходной функции представлен на рис. 2.



Рис. 2
Задача аппроксимации (приближения) состоит в нахождении аналитического выражения, график которого в том или ином смысле проходил бы близко к заданным значениям. В данном случае требуется минимизировать среднее квадратическое отклонение исходных от аппроксимированных значений.
В результате аппроксимации, в частности, мы получаем возможность восстанавливать значения функции внутри интервалов исходной таблицы функции. При этом используем различные методы аппроксимации и сравним их.

  1. С помощью рядов Фурье

  2. С помощью полиномов, коэффициенты которых определены методом наименьших квадратов

  3. С помощью интерполяционных сплайнов

  4. С помощью сглаживающих сплайнов.

1.1. Аппроксимация функции с помощью ряда Фурье
Разложение функции в ряд Фурье означает её приближённую замену тригонометрическим полиномом вида

где T = 2π/ω1 = 2π/10 = 0,6283 свремя полного оборота кривошипа,
- амплитуда сигнала на j-ой частоте.
Частота сигнала для j-й гармоники θj =2πj/T.
Поскольку в данном случае функция F(t) задана таблицей значений в конечном числе точек m, то максимальное число членов ряда nmax = m/2.
Формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье при табличном задании функции:
,
где Fi - значения функции F(ti), i = 0, 1, 2, … m-1.
На первом этапе F(t) разложим в ряд с максимально возможным числом членов: n = 18 = n max = m/2 = 18 (рис. 3). В этом случае значения ряда Фурье в узлах практически совпадают с данными эксперимента.
Результаты дифференцирования ряда по времени представлены на рис. 4. На графике скорости и особенно ускорения явно видны паразитные осцилляции, вызванные погрешностями замера значений. Возникает необходимость сглаживания этих зависимостей.


Рис.3

Рис.4
Анализ амплитудного спектра исследуемой функции (рис. 5) показывает, что существенным, кроме А0/2, являются лишь слагаемые ряда, соответствующие 1-й, 2-й и 3-й частотам, поэтому проведём разложение в ряд и аппроксимацию функции с учётом только этих частот.



i Част.,1/c Част., гц Ci Фазы i
0 0.000e+00 0.000e+00 4.494e+01
1 1.003e+03 1.596e+02 3.899e+01 0.0535
2 2.006e+03 3.193e+02 4.583e+00 -1.4710
3 3.009e+03 4.789e+02 1.149e+00 0.0628
4 4.012e+03 6.386e+02 2.878e-01 -1.1380
5 5.015e+03 7.982e+02 6.001e-02 -0.0027
6 6.018e+03 9.579e+02 7.349e-02 -1.2373
7 7.021e+03 1.117e+03 5.919e-02 -0.4158
8 8.025e+03 1.277e+03 3.956e-02 -1.5264
9 9.028e+03 1.437e+03 5.556e-02 0.0000
10 1.003e+04 1.596e+03 4.139e-02 0.0807
11 1.103e+04 1.756e+03 1.133e-01 1.2851
12 1.204e+04 1.916e+03 7.349e-02 1.2373
13 1.304e+04 2.075e+03 3.362e-02 -0.3619
14 1.404e+04 2.235e+03 1.019e-01 0.6740
15 1.505e+04 2.395e+03 7.260e-02 1.4617
16 1.605e+04 2.554e+03 3.578e-02 -0.9120
17 1.705e+04 2.714e+03 7.172e-02 -0.2641
18 1.806e+04 2.874e+03 1.111e-01 1.5708
Рис.5



Рис.6

Рис.7
На рис. 6 и 7 представлены результаты аппроксимации при учете первых 3-х членов ряда. Их анализ показывает, что функция аппроксимирована удовлетворительно, она сохраняет периодичность, графики 1-й и 2-й производных не зашумлены.
1.2. Аппроксимация функции с помощью полиномов, коэффициенты которых определены методом наименьших квадратов.
Суть метода состоит в том, что в случае необходимости сглаживания функции, её заменяют на другую, более гладкую, график которой проходил как бы проходил «между» точками исходной функции и был более гладким.
По методу МНК функцию строят в виде суммы простых аналитических функций , выбор которых является отдельной задачей. В данном случае используется система степенных функций 1,t,t2,t3,…Так что нужная гладкая функция получается в виде полинома: a0+a1t+a2t2+a3t3…+antn , где n- задаваемое пользователем число членов полинома.
Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов аi таких, чтобы график полинома проходил между точками исходной функции, минимизируя среднее квадратическое отклонение.
Опытным путём выберем число полиномов МНК=6(во всех остальных график функции зашумлён).
Проведём аппроксимацию:

Рис.8
Рис.9
Рис.9

При n=6 функция аппроксимирована удовлетворительно, за исключением экстремумов (рис.8). Графики 1-й и 2-й производных не зашумлены, однако не соблюдена периодичность на краях производных.

Выбираем число членов полиномов МНК=6, в данном случае можно сказать, что функция аппроксимирована удовлетворительно, за исключением экстремумов ( здесь график аппроксимирующей функции проходит неточно).

1.3.Аппроксимация функции с помощью интерполяционных и сглаживающих сплайнов.

Одним из наиболее мощных средств аппроксимации функции является кубический интерполяционный сплайн. Кубический интерполяционный сплайн- это совокупность полиномов третьей степени вида


Sit=Fi+bi(t-ti)+ci(t-ti)2+di(t-ti)3, где Fi –значения аппроксимируемой функции в узлах, ti –значения аргумента функции в узлах, bi ci di –коэффициенты сплайна для i-го участка, i-номер участка, n- число точек в таблице аппроксимируемой функции, начиная с нуля.
Построение интерполяционного сплайна состоит в нахождении коэффициентов bi ci di . Тогда для каждого для i-го участка можно найти значение сплайна Si(t ) для любого t (в промежутке от ti до ti+1 ), которое и будет приближённым значением функции Fi(t).

Рис.10


Рис.11
Как видно из рисунка 11 интерполяционный сплайн не аппроксимирует 1-ую и 2-ую производные. В целом аппроксимация исходной функции выполнена удовлетворительно.
График интерполяционного сплайна проходит в точности по точкам исходной функции. Однако часто возникает необходимость сглаживания функции. В этом случае нужно заменить её на другую, более гладкую, значения которой отклонялись бы от исходной не более чем ,на заданную величину.

1.5.Аппроксимация функции сглаживающим сплайном.
Сглаживающий сплайн строится так, чтобы его график проходил между точками исходной функции, минимизируя значения изгиба.
Выберем константу коридора 2,проведём аппроксимацию:

Рис.12

Рис.13
Задача сглаживания выполнена удовлетворительно (рис.12).
1-ая производная сглажена удовлетворительно, а 2-ая производная зашумлена.
Выводы по работе:
Данную функцию удобнее всего аппроксимировать методом Фурье. Ряд Фурье хорошо аппроксимирует гладкие функции, а функция, отражающая характер движения ползуна 2 относительно кулисы 3 является гладкой.
Если необходимо, чтобы значения ряда в узлах совпадали со значениями аппроксимируемой функции, то следует производить разложение с максимально возможным числом членов ряда.
Ряд Фурье позволяет сглаживать функции, если они, как в нашем случае, искажены погрешностями эксперимента. Для такой сглаживающей аппроксимации следует при разложении учитывать лишь первые основные частоты, определённые по амплитудному спектру( в данном случае n=3).
Download 0,6 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish