|
3.Законы теплового излучения абсолютно чёрного тела
3.1 Законы Стефана-Больцмана и Вина. Теоретическое обоснование законов излучения абсолютно черного тела имело огромное значение в истории физики – оно привело к понятию квантов энергии.
Для полной характеристики теплового излучения необходимо, как показывает закон Кирхгофа, знать вид функции Кирхгофа f(ω,T) , т.е. необходимо установить вид зависимости испускательной способности абсолютно чёрного тела от его температуры.
· В 1879 г. Стефан на основе обобщения экспериментальных данных получил, что энергетическая светимость R любого тела пропорциональна четвёртой степени температуры.
· В 1884 г. учёный Л. Больцман применил к исследованию “чёрного излучения” термодинамический метод и показал, что закон, открытый Стефаном, применим лишь для абсолютно чёрного тела
.
Это соотношение получило название закона Стефана-Больцмана.
Здесь σ – постоянная Стефана-Больцмана (σ = 5,7 . 10 Вт/м К ).
Закон Стефана-Больцмана даёт зависимость энергетической светимости от температуры.
· Вин (1893г.) воспользовался, кроме термодинамики, электромагнитной теорией и показал, что функция спектрального распределения должна иметь вид
где F- некоторая функция отношения частоты к температуре.
Для функции получается выражение
, (1.3)
где - некоторая функция произведения .
Соотношение (1.3) позволяет установить зависимость между длиной волны , на которую приходится максимум функции , и температурой.
Продифференцируем это выражение по :
(1.4)
Выражение в квадратных скобках представляет собой некоторую функцию .
При длине волны , соответствующей максимуму функции , выражение (1.4) должно обращаться в ноль, и, т.к. , то =0.
Решение этого уравнения приводит к соотношению:
- закона смещения Вина
Здесь - постоянная Вина.
Длина волны, соответствующая максимальному значению испускательной способности rωT абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна его температуре.
Из этого закона видно, что при понижении температуры абсолютно чёрного тела максимум энергии его излучения смещается в область длинных волн.
Поэтому при понижении температуры белое каление переходит в красное, а затем в инфракрасное.
3.2 Исследования Рэлея и Джинса.
Физики Рэлей и Джинс представили абсолютно чёрное излучение в замкнутой полости как систему бесконечно большого числа не взаимодействующих друг с другом гармонических осциллятора (радиационных осцилляторов).
Собственные частоты ω колебаний радиационных осцилляторов равны частотам соответствующих монохроматических компонент чёрного излучения.
Рэлей и Джинс в своих исследованиях
исходили из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы.
считали, что на каждое электромагнитное колебание радиационного осциллятора приходится энергия, равная двум половинкам kТ – одна - на электрическую, другая - на магнитную, и получили следующий вид функции Кирхгофа:
.
Это выражение называется формулой Рэлея-Джинса.
Она хорошо согласуется с экспериментом в области малых частот излучения.
В области же больших частот формула приводит к резкому расхождению с экспериментом, с законами Стефана-Больцмана и Вина.
Из формулы Рэлея-Джинса следует монотонное возрастание функции f(ω,T) с ростом частоты, а на самом деле f(ω,T) имеет максимум и далее убывает (рис.1.4).
Формула Рэлея-Джинса в области больших частот находится в противоречии с законом сохранения энергии (энергия излучения неограниченно растёт с ростом температуры). Этот результат был назван ультрафиолетовой катастрофой.
3.3 Формула Планка.
С классической точки зрения вывод формулы Рэлея и Джинса является безупречным. Поэтому расхождение ее с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической физики.
В 1900 г. Макс Планк:
· предположил, что гипотеза о непрерывном изменении энергии системы, господствовавшая в классической физике, неприменима к радиационным осцилляторам, а следовательно, к молекулам и атомам излучающего тела, обменивающегося энергией с этими осцилляторами.
· энергия осцилляторов может принимать лишь определённые дискретные значения, равные целому числу элементарных порций энергии
– квантов энергии.
Энергия кванта пропорциональна частоте излучения,
Таким образом, излучение и поглощение энергии телом происходит не непрерывно, а дискретно, квантами.
ћ – постоянная Планка:
· ћ = 1,054 · 10 Дж·с,
· имеет размерность «энергия · время » .
· в механике называется действием, поэтому ћ иногда называют квантом действия.
В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии должно подчиняться закону Больцмана.
Вероятность того, что энергия колебания частоты имеет значение , равна
Среднее значение энергии колебаний
Чтобы произвести вычисления, обозначим и будем считать, что х может принимать непрерывный ряд значений. Тогда
(1.5)
Под знаком логарифма в этой формуле стоит сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным . Так как знаменатель меньше единицы, прогрессия убывающая, и
Подставив эту сумму в (5), получаем
При получаем классическое выражение
Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было бы равно
Плотность энергии, приходящаяся на частотный интервал
тогда и
. (1.6)
Это формула Планка: точно согласуется с экспериментом в интервале частот от 0 до и удовлетворяет критерию Вина .
При малых частотах <<1, поэтому можно считать, что , тогда - формула Планка переходит в формулу Рэлея–Джинса. Таким образом, формула Рэлея-Джинса является частным случаем формулы Планка для малых частот.
Интегрируя выражение (1.6)и решая уравнение относительно переменной x = , можно получить закон смещения Вина. Таким образом, формула Планка даёт полное описание равновесного теплового излучения.
Do'stlaringiz bilan baham: |
