Kvant nazariyasida holatlar prinsipi. Shredinger tenglamasi

6. Shredinger tenglamasining tadbiqlari. Mikrozarrachaning erkin harakati.

Agar zarracha erkin, unga hech qanday tashqi kuchlar ta`sir etmayotgan bo`lsa, uning potensial energiyasi nol (U=0) bo`lib, to`liq energiyasi uning kinetik energiyasidangina iborat bo`ladi. Masalani soddalashtirish uchun zarracha koordinatning x o`qiga parallel holda harakatlanmoqda deb olamiz. Uni y, z, t koordinatalaridan olingan xususiy hosilalari nol bo`lib, Laplas operatorida bitta had qoladi:

=

Bu holda Shredinger tenglamasi soddalashib, quyidagi ko`rinishni oladi:

(6.1)

(6.1) ko`rinishdagi differensial tenglamaning xususiy yechimi yassi to`lqin tenglama ko`rinishda bo`ladi:

(x,t)=Asin(t-кх) (6.2)

Bunga ishonch hosil qilish uchun (6.2) ifodani va ni (6.1) ga qo`yib ko`ramiz.

-к² A sin(t - кх) + sin(t - кх) = 0

bundan (6.3)

ekanini topamiz. bo`lgani uchun

(6.4)

kelib chiqadi. Ko`rinib turibdiki, hosil qilingan bu ifoda de-Broyl formulasining o`zginasi. Bu Shredinger tenglamasidan de-Broyl formulasi kelib chiqishini bildirmaydi. Aslida buning teskarisi. Shredinger o`zida de-Broyl to`lqinini mujassamlashtirgan tenglamani izlab topgan.

(6.4) ni boshqacha ko`rinishda ham yozish mumkin

(6.5)

(6.5) dan ko`rinadiki, erkin zarrachaning energiyasi har qanday qiymatni olishi mumkin ekan. Ya`ni , uning energiya spektri uzuluksizdir. Bu to`lqin soni k ni va zarrachaning impulsi P<sub>x</sub> ni uzluksiz holda o`zgarishidan kelib chiqadi.

Shunday qilib, erkin zarracha kvant mexanikasida yassi monoxromatik de-Broyl to`lqini (6.5) bilan ifodalanadi. Bunday zarrachani fazoning har qanday nuqtasida topilish ehtimolligi bir xil bo`lib amplitudaning kvadratiga teng:

²= ^. ^*=А²

Shredinger tenglamasi erkin zarrachaning energiyasiga hech qanday chegara qo`ymaydi. Ya`ni , uning energiyasi kvantlanmaydi, u har qanday qiymatni olishi mumkin.