Kvadrat tenglamalar oddiy tushuntirishlar. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari Bibliografik tavsif

1-misol 2x 2 + 4x + 7 = 0 tenglamani yeching.
Yechim. Bu erda a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Chunki D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.


Isbot. Agar D = 0 bo'lsa, (1) tenglama shaklni oladi
tenglamaning yagona ildizidir.
Izoh 1. Esingizdami, x \u003d - y \u003d ax 2 + ux + c funktsiyasining grafigi bo'lib xizmat qiladigan parabola tepasining abssissasi? Nima uchun bu
qiymati ax 2 + x + c - 0 kvadrat tenglamaning yagona ildizi bo'lib chiqdi? "Tobut" oddiygina ochiladi: agar D 0 bo'lsa, biz ilgari belgilaganimizdek,
Xuddi shu funktsiyaning grafigi  nuqtada tepasi boʻlgan paraboladir (masalan, 98-rasmga qarang). Demak, parabolaning tepasining abssissasi va D = 0 uchun kvadrat tenglamaning yagona ildizi bir xil sondir.

2-misol 4x 2 - 20x + 25 = 0 tenglamani yeching.
Yechim. Bu erda a \u003d 4, b \u003d -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.
D = 0 bo'lganligi sababli, 2-teorema bo'yicha bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega. Bu ildiz formula bo'yicha topiladi

Javob: 2.5.
Izoh 2. E'tibor bering, 4x2 - 20x +25 mukammal kvadrat: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2.
Agar biz buni darhol payqasak, biz tenglamani shunday yechamiz: (2x - 5) 2 \u003d 0, ya'ni 2x - 5 \u003d 0, shundan biz x \u003d 2,5 ni olamiz. Umuman olganda, agar D = 0 bo'lsa, u holda
ax 2 + bx + c = - biz buni avvalroq 1-Izohda qayd etgan edik.
Agar D > 0 bo'lsa, ax 2 + bx + c \u003d 0 kvadrat tenglama formulalar bo'yicha topilgan ikkita ildizga ega.


Isbot. ax 2 + b x + c = 0 kvadrat tenglamani (1) ko'rinishda qayta yozamiz.

Keling, qo'ying 
Taxminlarga ko'ra, D > 0, bu tenglamaning o'ng tomoni musbat son ekanligini anglatadi. Keyin (2) tenglamadan biz buni olamiz


Demak, berilgan kvadrat tenglamaning ikkita ildizi bor:
Izoh 3. Matematikada kamdan-kam hollarda kiritilgan atama, majoziy ma'noda, kundalik ma'noga ega emas. Keling, yangisini olaylik
tushunchasi diskriminantdir. "Diskriminatsiya" so'zini eslang. Bu nimani anglatadi? Bu ba'zilarning xo'rlanishini va boshqalarni yuksaltirishni anglatadi, ya'ni. turli xil munosabat
har xil pudyaga nie. Ikkala so'z (ham diskriminant, ham diskriminatsiya) lotincha diskriminantlardan - "ajratish" so'zidan kelib chiqqan. Diskriminant kvadrat tenglamalarni ildizlar soniga qarab ajratadi.
3-misol 3x 2 + 8x - 11 = 0 tenglamani yeching.
Yechim. Bu erda a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
D > 0 bo'lganligi sababli, 3-teorema bo'yicha bu kvadrat tenglama ikkita ildizga ega. Bu ildizlar formulalar bo'yicha topiladi (3)


Aslida, biz quyidagi qoidani ishlab chiqdik: