Курсовая работа по методике преподавания математики студента 2-го курса специальности "Математика" Гребенюк Ирины Вячеславовны

2.1. Уровни развития геометрического мышления.

Первый уровень (исходный) – уровень характеризуется тем, что геометрическая фигура рассматривается как целое, при ее восприятии ученики не выделяют точнее не замечают ее элементов, они не замечают, например, то, что квадрат и прямоугольник имеют некоторые сходства. Фигуры различаются по своему внешнему виду. Дети легко узнают фигуры по их виду и хорошо запоминают их названия, но не видят общих признаков в этих фигурах (не видят в квадрате, ромбе параллелограмм и т.д.). Для ученика на этом уровне фигура индивидуальна.
Второй уровень. Учащиеся умеют устанавливать связи между самими фигурами и их элементами. Могут выделить свойства фигур экспериментальным путем, использовать эти свойства для узнавания фигур, но эти свойства не могут быть выведены логическим путем, следовательно, логически не упорядочены в сознании учащихся. На этом уровне геометрические фигуры выступают носителями своих свойств распознаются учениками по их свойствам, но эти свойства еще не связанны друг с другом. Например, учащиеся быстро замечают, что у прямоугольника и параллелограмма противоположные стороны равны, но при этом не могут прийти к выводу, что прямоугольник есть параллелограмм.
Третий уровень. Учащиеся уже умеют устанавливать связи между свойствами фигур и самими фигурами. Происходит логическое упорядочивание свойств. Уясняется возможность следования одного свойства из другого. Логические связи между свойствами устанавливаются с помощью определений. Ученик, понимает порядок логического следования, еще не может самостоятельно изменять или находить этот порядок и делает это за учителем или с помощью учебника. На этом уровне квадрат уже считается прямоугольником и параллелограммом.
Четвертый уровень. Характерен тем, что ученики осознают значение дедукции в целом как способа построения всей геометрической теории. Легко видят различные возможности развития теории исходя из различных посылок и могу использовать дедуктивные построения не только в области изучения свойств одной какой-либо фигуры.
Пятый уровень. В области геометрии соответствует современному эталону строгости. На этом уровне достигается отвлечение от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений, связывающих эти объекты. Учащийся мыслящий на этом уровне, развивает теорию всякой конкретной интерпретации.
Учащиеся 5-6 классов соответствуют второму и третьему уровню геометрического мышления, и переходу от второго уровня к третьему.
Переход от одного уровня к другому, не является биологическим процессом, а протекает под влиянием обучения, следовательно, зависит от его содержания и методов обучения.
К сожалению, обучение в 1-4 классах продолжает оставаться «длительной полосой геометрического бездействия» [5]. Этим можно объяснить тот факт, что среди учащихся, пришедших в пятый класс, есть такие, геометрическое развитие которых задержалось на своей первой ступени. Они воспринимают фигуру как единое целое, не видя элементов и частей фигуры, не осознают связывающих их отношений, а также отношений между фигурами, не умеют сравнивать между собой даже близкие фигуры в геометрической фигуре, они видят лишь ее форму.
Французский психолог А.Валлон описывает таких детей так: «Ребенок не умеет разлагать целое на части и снова объединять части в целое. Он смешивает части и целое». Восприятие вещей ими или ситуации остается глобальным, без различия деталей.
Следовательно, психологические особенности младшего подросткового возраста недостаточно учитывается при построении математического образования. Это выражается, прежде всего, в том, что геометрические объекты и изучение их свойств играют несущественную роль в математическом образовании учеников 5-6 классов.
Достижение развивающего эффекта в процессе обучения геометрии 10-12 лет связанно с такой их психологической особенностью как существование наглядно – действенного, образного и логического мышления, и наличием в геометрии потенциальных возможностей для задействования и развития в процессе ее изучения этих типов мышления. Таким, образом, учащийся может принять тот путь решения поставленной перед ним задачи, который соответствует уровню его развития. Достижение результата положительно сказывается на мотивации деятельности, что в свою очередь создает условие для дальнейшего развития.
Изучение геометрических объектов в возрасте 10-12 лет целесообразно путем наглядно – эмпирического познания, которое осуществляется в процессе самостоятельной интеллектуально – практической деятельности учащихся через наблюдение и предметно – практическое преобразование геометрического объекта, через его описание с использование геометрической терминологии, через осмысление произведенных действий.
С точки зрения путей реализации наглядно – эмпирического метода изучение геометрических объектов важным является следующие моменты:

• 
  Графическая деятельность и конструирование продолжают оставаться приоритетными видами деятельности учащихся 5-6 классов;
  
• 
  На развитие пространственного мышления благотворное влияние способно оказать включение в содержание обучения пространственных тел, способов их моделирования и графического изображения;
  
• 
  Развитие восприятия ребенка идет по пути усвоения систем сенсорных эталонов, в этой связи в процессе изучения геометрии целесообразно формировать геометрические образы. Представляющие для него наибольшую значимость;
  
• 
  Развитие умений мыслить образами происходит через формирование динамичности представлений, умения представлять объекты в различных пространственных положениях, изменять точку наблюдения;
  
• 
  Изменения отношения младших подростков к учебной деятельности, снижения интереса к изучению на фоне появления новых интересов и потребностей необходимо учитывать при организации процесса изучения геометрии; разумное сочетание репродуктивных и творческих заданий инструкций и исследований, коллективного и самостоятельного поиска должны стать принципом организации учебного процесса [2].
  

Все выше сказанное должно основываться на элементы геометрии, рассмотренные и изученные учениками в 1-4 классах.

3.Элементы геометрии в начальной школе.

Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры:

• 
  Точку
  
• 
  Прямую
  
• 
  Кривую
  
• 
  Ломанную
  
• 
  Отрезок
  
• 
  Угол
  
• 
  Многоугольник
  
• 
  Квадрат
  
• 
  Прямоугольник и т.д.
  

Для этого необходимо и достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующем термином. Например, рисунок №2 – это отрезок, рисунок №3 – это квадрат, рисунок №4 это – круги и т.д.

Р исунок 2. Рисунок 3. Рисунок 4.

Так же можно поступить с геометрическими телами, показав их модели и назвать их.
Такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ, поэтому если изменить из размер или расположение этих фигур, которые были предложены в образце, учащиеся могут допустить ошибки.
Так, например, в фигурах, изображенных на рисунке 5 ученик может не узнать квадраты, в фигурах на рисунке 6 – прямоугольник. Но фигуры на рисунке 7 он может назвать прямоугольниками.
Р исунок 5. Рисунок 6. Рисунок 7.
Поэтому восприятие геометрических фигур как целостного образа – лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка. В дальнейшем необходимо сосредоточить его внимание на выделении этих элементов, из которых состоят геометрические фигуры, и на их существенных признаках. Для этой цели геометрические фигуры изучают в определенной последовательности, выполняя с моделями различные практические действия.
Рассмотрим возможный вариант такого изучения.
Элементарная геометрическая фигура – точка. Любую геометрическую фигуру можно рассматривать как множество точек. Через точку можно провести различные линии. Опираясь на свой жизненный опыт, ребенок самостоятельно справляется с задачей проведения линии через точку и даже сам может их назвать соответствующими терминами: «кривая», «прямая» линии.
При этом прямые линии целесообразно не только изображать на листе бумаги, но и сгибая его так, чтобы линия сгиба проходила через данную точку.
Так же следует действовать и при проведении прямой линии через две точки. Дети могут самостоятельно справиться с решением этой задачи, перегибая лист бумаги так, чтобы линия сгиба проходила через данные точки. Это позволит им практически убедиться в том, что через две точки можно провести только одну прямую.
Для проведения прямых линий необходимо пользоваться линейкой. Дети смогут убедиться в этом практически. Если расположить на доске две точки на большом расстоянии друг от друга и предложить детям провести через эти точки прямую линию, то вряд ли кто – либо из них сможет это сделать, не воспользовавшись линейкой.
Важно что бы в процессе выполнения различных упражнений дети научились выполнять и различать такие понятия как: точка пересечения двух линий, линия проходит через точку, линия соединяет две точки, точка принадлежит линии. Все эти понятия очень важны для последующего изучения элементов геометрии и геометрии в целом.
Для достижения этой цели учащимся можно предложить такого рода задания:

1. 
   Проведите прямые линии через точку К и через точку В так, чтобы они пересекались в точке О.(рис.8)
   

К О Рисунок 8.
В

2. 
   Проведите прямую чрез точку К так, что бы точка О лежала на прямой, а точка В – вне прямой. (рис.9)
   

В Рисунок 9.
К О

3. 
   Проведите разные кривые линии через данные точки.
   
4. 
   Проведите прямую линию так, чтобы она пересекала кривую (рис.10):
   

1. 
   в одной точке; Рисунок 10.
   
2. 
   в двух точках;
   
3. 
   в трех точках.
   

5. 
   Проведи кривую линию так, чтобы пересекала данную прямую(рис.11):
   

1. 
   в одной точке; Рисунок 11.
   
2. 
   В двух точках.
   

Учащиеся могут находить либо узнавать прямые или кривые линии на различных геометрических фигурах, как на плоских – круг, квадрат, многоугольник, так и на объемных – куб, конус, цилиндр, шар. В процессе такой деятельности у них формируется обобщенные образы понятий «прямая», «кривая» линии.

Кривые могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Ученики легко усваивают эти понятия, если они ассоциируются у них с различными жизненными и игровыми ситуациями.
При знакомстве с отрезком выделяют такие его признаки, ориентируясь на которые учащиеся могли бы легко узнавать эту фигуру. Для этого всего следует обратить внимание учеников на то, что отрезок имеет начало и конец и что его следует проводить, используя линейку. Если учеников познакомить с отрезком после введения понятия «длина», то помимо, названных признаков данного понятия, стоит отметить, что у любого отрезка можно измерить длину. Дети могут самостоятельно прийти к выводу, что те прямые линии, которые ими выделены на различны фигурах, по сути дела являются отрезками, так как в них фиксируется начало и конец. Ориентируясь на рассмотренные признаки отрезков, учащиеся должны найти их на различных геометрических фигурах: плоскостных и объемных.
Важным фактором при изучении этой темы в 1-4 классах является то, что внимание учащихся должно быть обращено на условность изображения прямой и отрезка, именно на то, что, изображая отрезок они обязательно фиксируют две точки - начало и конец, при изображении прямой линии эти точки не фиксируются.
Следующая геометрическая фигура, которая рассматривается в курсе математики 1-4 классов – это луч. Учащиеся должны знать, как образовывается луч, как его построит и знать то, что если из данной им точки провести по линейки прямую линию, то они получат геометрическую фигуру, называемую лучом.
Если провести два луча из данной точки, то получим геометрическую фигуру, называемую углом. Угол рассматривается как фигура, которая состоит из двух лучей с общим началом.
На данном этапе дети справляются с построением такой геометрической фигуры. Тем не менее, этим нельзя ограничиваться, так как дальнейшая их деятельность связанна с определением угла как плоскости, ограниченной двумя лучами.
Для формирования у детей представления об угле, в основе которого лежит данное определение нужно воспользоваться моделями угла либо соответствующими рисунками, для того что бы сформировать правильное понятие об угле.
В процессе обучения элементам геометрии в 1-4 классах при изучении темы «Углы», учащиеся знакомятся с видами углов.
При знакомстве с прямым углом дети выполняют практическую работу, в процессе которой получают модель прямого угла. Очень важным является то, что бы дети на уровне их мышления могли правильно сформировать и понять, что такое прямой угол.
Каждому из учеников выдаются листы бумаги разных размеров с неровными краями. В середине листа ставится точка. Дети должны сложить лист так, чтобы линия сгиба прошла через эту точку. Затем они еще раз лист складывают так, чтобы части линии сгиба совместились. Организовывая деятельность учащихся, важно, чтобы учитель демонстрировал им способ действия. В результате получиться модель прямого угла. Для большей наглядности все модели, накладываются друг на друга и дети делают вывод, что все прямые углы раны между собой.
Сознательное выполнение этого действия требует правильных представлений о величине угла, так как в начальных классах учащиеся не знакомятся с единицей измерения углов, то для этой цели можно воспользоваться только наложением и представлениями детей о угле.
Важным моментом тут является и то, что бы дети умели правильно понимать, что все прямые углы равны, и на вопрос учителя: «Какой угол больше?» при демонстрации рисунка на котором изображен прямой угол, но с разной величиной сторон, учащиеся должны хорошо понимать то, что они равны, так как стороны угла — это лучи, которые можно продлить, следовательно, углы станут одинаковыми и при наложении совпадут (имеется ввиду понятие плоского угла).
При знакомстве с острыми и тупыми углами используются модели трех видов. А именно: если на модель прямого угла накладывается модель острого угла так, чтобы одна сторона острого угла пройдет внутри прямого, а в случае наложения тупого угла его сторона пройдет вне данного прямого угла (рис.12).
Рисунок 12.

Прямые, острые и тупые углы, учащиеся выделяют на различных фигурах, пользуясь для этого заранее заготовленными моделями. При этом рассуждения строят по отношению к прямому углу.

Имея представления о точке, отрезке и луче, учащиеся могут находить эти геометрические фигуры в треугольниках, четырехугольниках, прямоугольниках и квадратах, выделяя в качестве их элементов вершины (точки), стороны (отрезки) и углы, ориентируясь на эти элементы, дети могут распознавать треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д., называя все эти фигуры многоугольниками [6].
Основываясь на знании отрезков и углов, учащиеся с легкостью понимают тему «Ломанная».
Определенную трудность для младших школьников представляет осознание того, что любой квадрат является прямоугольником. Причина в том, что целостный образ квадрата и прямоугольника уже сложился у большинства детей, а умением выделять существенные признаки фигуры, они еще не овладели. Поэтому очень важно продумать последовательность вопросов, организующих деятельность детей, направленную на выделение существенных признаков прямоугольника и квадрата. Для этой цели учитель должен организовать наглядную практическую работу на доске, в ходе которой учащиеся определяют многоугольники по характерным признакам: наличие сторон, углов и т.д.
В результате выделяются четырехугольники, у которых все стороны равны, то есть квадраты. Отношения между понятиями многоугольник, четырехугольник, прямоугольник, квадрат дети должны понимать и выделять так: квадрат – это прямоугольник – это четырехугольник – это многоугольник.
Ученики 1-4 классов проявляют огромный интерес к изучению геометрического материала, легко запоминают названия геометрических фигур и выделяют их свойства в процессе практических действий с ними. Поэтому перечень геометрических понятий, с которыми они знакомятся, можно значительно расширить включив в программу такие понятия, как окружность, круг, симметрия. Изучение этих тем положительно скажется на развитии пространственного мышления учеников и формировании навыков работы с инструментами таких как, линейка, угольник, циркуль.
Знакомство с темой «симметрия фигуры» ученики начинают с первого класса, где используют практический (предметный)способ действий, который доступен младшему школьнику. Например, ребятам раздаются рисунки, на которых изображенные фигуры разделены осью симметрии. И задача учеников сложить их по прямой линии. После таких действий дети приходят к выводу, что части рисунка симметричны, а прямая линия, по которой они сложили лист – ось симметрии.
Во втором классе продолжается изучение этой темы, но задача учителя теперь состоит в том, чтобы познакомить учащихся с построением симметричных фигур, предварительно подготовив их к выполнению заданий на построение. При построении симметричных фигур, ученики используют циркуль, линейку, угольник.
Большим влиянием на развитие пространственного мышления детей оказывают упражнения на составления новых геометрических фигур: из палочек; на выделение геометрических фигур на чертеже.
Важной задачей образования в начальной школе является формирование предметных и универсальных способов действий, обеспечивающих возможность продолжения образования в основной школе; воспитание умений учиться – способности к самореализации с целью решения учебных задач; индивидуальный прогресс в основных сферах личностного развития – (эмоциональной, познавательной, регулятивной) реализуется в процессе обучения всем предметам.
«Положение геометрии по сравнению с другими в своем роде уникально: ни один предмет первоклассники не готовы воспринимать, как наглядную геометрию. В то же время ни один предмет не начинают изучать в школе с таким запозданием, как геометрию» Шарыгин И.Ф.
Изучение геометрического материала в начальной школе связанно с усвоением определенной системы понятий. Что бы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, необходимо сначала понять, каковы особенности геометрических понятий, как устроены их определения и из чего складываются их объем [7].
Геометрическое мышление в основе своей есть мышление образное, чувственное, физиологически связанное с полушариями головного мозга. Только по мере развития геометрического мышления происходит возрастание логической составляющей и соответственно, роли левого полушария. Для детей с преимущественным развитием правого полушария изучение геометрии в возрасте 8-9 лет исключительно важно в прямом физиологическом смысле.
Это утверждение подтверждают слова древнейшего математика – логика И.Соньера: «Обучая левое полушарие, вы обучаете только левое полушарие. Обучая правое полушарие, вы обучаете весь мозг».
В соответствии с теорией формирования понятий, разработанной Н.Ф.Талызиной, формирование понятий, в том числе и геометрических, можно осуществлять, соблюдая следующие этапы:

• 
  Выделение всевозможных свойств объектов(объекта).
  
• 
  Определение существенных признаков от несущественных. Этап заканчивается введением названия понятия и выделением его существенных признаков.
  

Построение системы преподавания элементов геометрии в начальной школе осуществляется по двум основным способам:

• 
  Подобно систематическому курсу геометрии, т.е. от планиметрии к стереометрии.
  
• 
  Основываясь на принципе фузионизма, т.е. совместном изучении элементов планиметрии и стереометрии.
  

Учитывая психологические особенности развития ребенка предшкольного возраста его жизненный опыт (он рисует, конструирует, лепит и т.д.), который накапливается именно в трехмерном пространстве, изучение геометрии должно идти по второму пути – по пути фузионизма. Это направление нашло свое отражение в начальных курсах геометрии, преподаваемых в школах XVIII и XIX вв, в работах А. Леве, В.Кембеля, П.Трейтлена и др. [8].
Работа с геометрическими объектами позволяет активно использовать наглядно – действенный, наглядно – образный и наглядно – логический уровни мышления, которые наиболее близки младшим школьникам. Младшие школьники проявляют большой интерес к изучению геометрического материала, легко запоминают названия геометрических фигур и выделяют их свойства в процессе практических действий с ними. Поэтому перечень геометрических понятий можно и расширять, включив в программу темы: «шар», «круг», «симметрия», «окружность». Это положительно скажется на развитии пространственного мышления ребенка, так и на формирование навыков работы с линейкой, угольником и циркулем.
Увеличение объема изучения геометрического материала, в начальных классах способствует более эффективной подготовке учеников к изучению систематического курса геометрии, развивая пространственное мышление и систему геометрических понятий, что позволяет снизить у школьников существенные трудности, возникающие при изучении геометрии [9].
Что бы научится создавать собственные объемные модели, ребенку необходимо освоить конструирование, анализ и сопоставление объектов на плоскости, используя для этого картинки, иллюстрации, схемы, фотографии и рисунки. Очень важно сформировать у учащихся умение выявлять особенности исследуемой формы, находить характерные признаки и опускать менее важные детали.
Развитие у детей образного мышления и пространственного воображения даст возможность в будущем легче осваивать геометрический материал 5-6 классов, осваивать черчение, стереометрию, разбирать в чертежах и схемах, планах, развивать способность воссоздавать образ в трехмерном пространстве.

4.Элементы геометрии в курсе математики 5-6 классов.

Изучение элементов геометрии в 5-6 классах это логическое продолжение изученного в курсе математики 1-4 классов. В начальной школе накапливались и развивались геометрические представления учеников о точке, прямой, плоскости, геометрических фигурах: треугольнике, прямоугольнике, квадрате, круге и т.д. Ученики привыкали к определенной терминологии, овладевали начальными навыками использования линейки, угольника, циркуля. Конкретно – действенное мышление и геометрические представления развиваются путем выполнения практических действий, направленных на изготовление учениками моделей геометрических фигур, вырезание фигур, изображений, которые учениками могут быть распознаны в окружающем мире и рисунках. Большое количество упражнений были направленны на измерение геометрических величин, и использование измерительного и чертежного инструмента.
В 5-6 классах имеющийся запас геометрических знаний и представлений систематизируется, обобщаются и расширяются. На этом этапе обучения начинают развиваться на наочно- интуитивном уровне с использованием дедуктивных соображений (без употребления терминов определение, теорема, доказательство)почти все содержательные линии школьной геометрии. Этим достигается цель подготовки учащихся к изучению дедуктивного курса геометрии.
Действительно, линия изучения геометрических фигур и их свойств развивается в связи с повторением сведений про точку, прямую, плоскость, отрезок, треугольник, прямоугольник, квадрат.
В 5классе:

• 
  Координатный луч
  
• 
  Угол и его виды, мера измерения угла.
  
• 
  Прямоугольный параллелепипед
  
• 
  Расширение понятий об отрезке
  
• 
  Окружность и круг. Сфера и шар.
  

В 6 классе:

• 
  Окружность и круг
  
• 
  Круговой сектор
  
• 
  Шар
  
• 
  Параллельные прямые
  
• 
  Перпендикулярные прямые
  
• 
  Пирамида
  
• 
  Призма
  
• 
  Цилиндр
  
• 
  Конус.
  

Немного расширяются сведения о известных фигурах. Например, вводятся элементы окружности и круга – центр, радиус, диаметр, хорда.
Когда рассматривается треугольник, то формируется его свойства (сумма каких – либо двух сторон треугольника больше третьей стороны).
Линия геометрических построений развивается за счет построений новых фигур: улов по их градусной мере, параллельных и перпендикулярных прямых, круга и секторов при изучении диаграмм.
Значительно расширяется учебный материал, который касается измерения геометрических величин. Кроме известных измерений длин отрезков ученики учатся измерять углы, вычислять площадь круга, прямоугольника длину окружности, объем прямоугольного параллелепипеда. Путем непосредственных измерений величин ученики убеждаются в правильности их свойств, которые в курсе геометрии будет сформировано в виде аксиом.
На этом этапе обучения закладываются основы координатного метода. Ученики ознакамливаются с прямоугольной системой координат; учатся находить точку, по ее координатам на плоскости; решают обратную задачу; по координатам точек определяют расстояние между двумя точками на координатной прямой.
Основным методом изучения геометрии в 5-6 классах есть конкретно индуктивный метод. Подавляющее большинство геометрических понятий, в частности фигур и их элементов вводится конструктивно, то есть в связи с их построением. Вводится целый ряд определений, хотя термин «определений» употреблять нецелесообразно.
Например, «две прямые, что образуют при пересечении прямые углы, называется перпендикулярными», или «две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными». Когда от ученика требуют сформировать определение, чаще всего употребляют словосочетание «Что такое…?», «Что называется…?».
Во время изучения прямой важно создать представление про ее бесконечность. В большинстве заданий в связи с этим применяются выражение «прямая не имеет концов». Хотя во многих учебниках с такими заданиями сначала вводиться отрезок, а прямая появляется вследствие продолжения его концов, на следующем уроке целесообразно подчеркнуть, что отрезок является частью прямой. Это необходимо для перспективной связи с курсом геометрии, где отрезок толкуется как часть прямой.
С точки зрения перспективных связей надо стремиться к одинаковому толкованию понятий в пропедевтическом и систематическом курсах геометрии. К сожалению, у действующих учебников такое требование нарушено, и выполняется не всегда. Например, во время измерения углов в учебнике [10] градус толкуется, как величина части прямого угла, а в [11] и [12] он толкуется, как геометрическая фигура.
Практика показывает что, во время выполнения геометрических построений, измерение углов, эффективным считается алгоритмический подход, по которому четко формируется указание по выполнению той или иной деятельности. Например, что бы измерить угол нужно:

1. 
   Наложить на угол транспортир так, что бы вершина угла совместилась с центром транспортира, а одна сторона угла прошла через начало отсчета на шкале.
   
2. 
   Найти штрих на транспортире, через который пройдет другая сторона угла, и посчитать число градусов, которое стоит возле этого штриха. Отдельное указание нужно дать по использованию верхней или нижней шкалы транспортира, если такие есть.
   

Во время измерения отрезков и углов у учеников следует развивать глазомер, тоесть навыки на глаз определять размер угла.
Основным средством изучения геометрического материала в 5-6 классах должна быть система разнообразных упражнений и задач, которые предусматривают наблюдение свойств фигур, изображенных на рисунках, в окружающем мире, необходимость делать выводы, употребляя необходимые геометрические термины, а так же задачи, которые требуют от учеников действий направленных на изображение фигур, измерения соответствующих величин, изготовление моделей фигур [13].

5.Геометрический материал в курсе математики 5-6 классов

Основным принципом обучения на первом этапе является принцип наглядности. Все свойства геометрических фигур ученик воспринимает путем рассмотрения конкретных предметов и моделей, чертежей.
При ознакомление с геометрическими фигурами должна быть максимально использована деятельность учащихся, то есть ученик не только рассматривает готовую модель или чертеж, но и сам их изготавливает. Выполнение чертежа или изготовление модели активизирует учеников и повышает сознательность и прочность усвоения знаний. Если ученик сам начертил развертку параллелепипеда, вырежет ее, изготовит модель, то он, безусловно, сознательно усвоит свойства этого геометрического тела, число, форму и расположение граней, число ребер и многое другое.
Очень важным является то, что бы пятиклассник имел возможность ознакомиться с различными видами рассматриваемой геометрической фигуры, что бы опыт был разнообразен. Будет ошибкой то, что учитель рассматривал прямоугольник, ограничиваясь только изображением определенного вида. Ученик должен наблюдать прямоугольник в различных предметах и рисунках, о так же начертить в тетради несколько прямоугольников в виде узкой плоскости, и имеющих форму квадрата и близких по форме к квадрату. Изображать прямоугольник необходимо в разных положениях, не только по клеточкам, но и пользуясь чертежным угольником, линейкой. Тогда у учеников будут вырабатываться правильные представления, способствующие образованию отвлеченного понятия.
В результате этого дети будут знать многие геометрические фигур, не заучивая определений. В большинстве случаев логическое определение и не может быть дано, так как ученики раньше знакомятся с видовыми понятиями, чем с родовыми. К примеру, учащиеся знают прямоугольник до знакомства с параллелограммом или треугольник – до того как начинали изучать ломанную и многоугольник. Ученики хорошо знают, что углы у прямоугольника прямые, но определение самого угла не знают.
В пятом классе очень большое внимание уделяется измерениям величин. Пятиклассники самостоятельно проводят измерения в классе, дома и на местности. При этом очень важным является получение навыков использования и обращения с измерительными инструментами и приборами для измерения, что в последующем их обучении даст положительную динамику при изучении химии, физики, где необходимо умение пользоваться измерительными приборами.
Геометрический материал тесно связан с курсом арифметики, поэтому особенно большое значение имеет решение задач бытового и производственного характера. Например, определить длину и ширину комнаты для вычисления площади пола для укладки линолеума, составить смету на оклейку комнаты обоями, определить количество материала затрачиваемого на изготовление ящика, определение вместимости ящика, найти объем определенной детали и многое другое. При этом как учитель, так и сами ученики работая в парах или группах получают числа друг от друга или в результате исследовательской деятельности, проведения измерений. Задачи в которых числовые данные полученные путем измерения, дают прекрасную возможность понять материал приближенного значения числа, правил округления при вычислении и для закрепления этих правил.
Геометрический материал дает хорошие примеры зависимости между величинами. Выполняя соответствующие чертежи и вычисления, ученики закрепляют полученные знания и в тоже время наблюдают простейшее случаи функциональной зависимости.
Например:

1. 
   Построить несколько прямоугольников с периметром, равным 30 см, последовательно учитывая длину основания. Вычислить площадь каждого построенного прямоугольника.
   
2. 
   Построить несколько различных прямоугольников с одинаковой площадью 36 см, и найти периметр каждого.
   
3. 
   Начертить несколько прямоугольников с основанием 2 см последовательно увеличивая высоты, и вычислить площадь каждого.
   
4. 
   Начертить несколько квадратов, учитывая сторону первого квадрата в два раза, три и четыре раза, и сравнить площадь каждого квадрата с площадью первого квадрата.
   

Такого рода упражнения не должны быть только вычислительного характера, потому что их цель – сохранить в памяти ученика наглядные геометрические фигуры или образы.
Несмотря на то что при изучении наглядной геометрии выводы делаются на основании опята и интуиции учащихся, эти выводы опираются на некоторые элементарные рассуждения. Они заключают в себе элементы дедукции и должны способствовать развитию логической мысли.
Например, не делая вывода площади прямоугольника или объема прямоугольного параллелепипеда в общем виде, на частных примерах можно провести рассуждения, имеющие общее значение. Если в младших классах надо приучать учеников к тому, что основанием для вывода не должен являться единичный пример или отдельный опыт, приучать их к наблюдению различных случаев, сравнению, постепенному обобщению и систематизации. Так при измерении площади треугольника надо рассмотреть треугольники разного вида и их преобразование в прямоугольник.
Основным геометрическим материалом в курсе математики пятого класса является измерение площадей и объемов. Площадь прямоугольника и квадрата, объем куба и прямоугольного параллелепипеда (без этого определения) уже ученикам известны из курса четвертого класса, так что новым для них является только площадь треугольника. Однако в пятом классе нужно, и это является очень важным, проверить насколько сознательно учащиеся усвоили способ вычисления площади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда. Если тема прямоугольного параллелепипеда и нахождение его объема не изучалась ранее необходимо внести ее на изучение в 5 классе.
Очень часто ученик при вычислении площади прямоугольника, учащиеся говорят: «Надо умножить длину на ширину», но не могут объяснить почему нужно делать именно так, не связывает с этим правилом никаких конкретных представлений. Поэтому построение одного правила является совершенно недостаточным. Очень часто ошибки допускаются учащимися, когда они дают ответы о соотношениях между квадратными единицами, а особенно между кубическими. Например, говорят: « В 1 кубическом метре 100кубических сантиметров» и т.д. Такие ошибки возникают потому, что у учащихся отсутствуют конкретные представления. Так же ошибкой является и то что ученики формально заучивают материал, а формальное заученное, быстро забывается.
Пятиклассники оперируют уже не только с целыми числами, но и с дробными числами. В школе можно часто наблюдать, как установив правило вычисления площади прямоугольника, длины сторон которого выражена в целых числах, учитель сразу может предложить ученикам решить задачи с дробными данными. Это чисто формальный прием, при котором учащиеся могут механически решать задачи, но это решение не связывать не с каким конкретным представлением.
Рассмотрим, как может быть проведено в пятом классе измерение площадей и объемов. Первоначально нужно проверить и повторить с учениками метрическую систему мер и позаботиться о том, что бы все ученики имели правильное представление о квадратных и кубических единицах.
Как этого достичь, опишем ниже:
А) в каждой тетради должен быть вычерчен квадратный дециметр;
Б) дециметр квадратный должен быть разделен на квадратные сантиметры;
В) квадратный сантиметр должен быть разделен на квадратные миллиметры.
Для последнего чертежа целесообразно использовать миллиметровую бумагу. На доске полезно вывесить изображение квадратного метра, разделённого на квадратные дециметры. Так же важным является наличие у учащихся представлений об аре и гектаре, если представления имеют не точности, то можно, и даже необходимо провести экскурсию совместно с учителем географии на территорию школы. На уроках надо рассмотреть различные прямоугольники как указанно выше, необходимо ввести термины «основание и высота».
Затем можно напомнить учащимся как на первых уроках изучения площади они составляли прямоугольники из квадратных сантиметров, и затем предложить составить полоску из нескольких квадратных сантиметров и затем приложить одну к другой.
Учащимся очевидно, что площадь прямоугольника выражается числом квадратных единиц, из которых его можно составить. Если учащиеся хорошо помнят этот материал, то можно лишь показать готовый чертеж, где за единицу взят квадратный дециметр.
Затем переходят к подсчету числа квадратных единиц, составляющих данный прямоугольник. Для этого надо выяснить, сколько квадратных единиц будет в одном ряду и сколько получится таких рядов. Учащиеся в тетрадях чертят прямоугольник по данным размерам основания и высоты и разбивают его на квадратные сантиметры. Далее отвечая на вопросы учителя, пятиклассники выясняют, что в одном ряду содержится столько квадратных сантиметров, скольким линейным сантиметрам равна длина основания, а количество рядов определяется числом линейных сантиметров, содержащихся в высоте прямоугольника, и записывают в таком виде:
В одном ряду 1кв.см х 6=6 кв.см.
В трех рядах 6кв.см х 3 =18 кв. см.
Далее ученики должны сделать вывод о том, что площадь прямоугольника в квадратных единицах равна произведению чисел, измеряющих его основание и высоту в соответственных единицах. Эта формулировка длинная, и обычно говорят кратко, площадь прямоугольника равна произведению длин его основания и высоты. Но пятиклассник должен отчётливо понимать смысл формулировки и знать, в каких единицах выражаются длины основания и высота, в каких – площадь. При вычислениях записывают кратко: 6х3=18 см² .
Совершенно аналогично может быть рассмотрен вопрос об объеме прямоугольного параллелепипеда. Необходимо, что бы каждый ученик изготовил модель прямоугольного параллелепипеда и умел начертить его развертку. Когда учащиеся класса выполнят такого рода задание, изготовят модели прямоугольного параллелепипеда, аналогично тому как это делалось при рассмотрении площади прямоугольника, надо из равных кубиков сложить, брусок, из нескольких брусков – слой и затем, накладывая слой один на другой, получить параллелепипед.
После этого надо перейти к вычислению площади прямоугольника, если длины основания и высота его выражена дробными числами. Однако это можно выполнить лишь тогда, когда тему обыкновенных дробей ученики уже прошли, так как в некоторых учебниках этот материал разорван. Так, например, в [4] площадь прямоугольника и объем прямоугольного параллелепипеда с натуральными числами изучается отдельно от нахождения площади прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда.
Ученики 6 класса уже знакомы с треугольником, надо только рассмотреть с ними треугольники разного вида, предложить или найти среди окружающих предметов и на рисунках фигуры треугольной формы.
Для того чтобы ученики правильно понимали что такое высота и прежде чем дать правильное представление о высоте, необходимо выяснить, что высота треугольника образует с основанием треугольника прямой угол.
После этого на остроугольном треугольнике следует показать, что любую его сторону можно принять за основание, но боковая сторона не образует с основанием прямого угла, не является его высотой. Для того что бы учащиеся наглядно восприняли понятие о высоте треугольника, можно воспользоваться двумя треугольниками, поставив их рядом, совместив их основание с горизонтальной плоскостью.
Р ис.13

Таким образом, учащиеся придут к выводу, что один треугольник выше другого, следовательно и высота его больше, хотя на рисунке высоты и не проведены. Очень важным моментом при изучении, является умение правильно строить высоту при помощи линейки и чертежного треугольника. Способ построения лучше усвоиться, если ученикам наглядно на доске продемонстрировать как правильно построить высоту в треугольнике, а далее предложить ученикам выполнить аналогичное задание в тетради, с последующей проверкой выполненного.

Построение высоты необходимо показать на разных видах треугольника, не стирая изображения с доски, так как после всех построений учащиеся должны прийти к выводу, что в прямоугольном треугольнике одна из его сторон будет являться его высотой. Этот момент вывода очень важен, так как основываясь на практику работы в 6 классах, ребята очень часто допускают ошибки в построении высоты именно в прямоугольном треугольнике.
При изучении площади треугольника, проще всего начать с прямоугольного треугольника. Рассмотрев прямоугольный треугольник (рис.14) ученики сразу заметят, что его нельзя заполнить целыми квадратными единицами (или их прямоугольными долями). Тогда учитель может предложить ученикам разрезать этот треугольник на две части и составить из них прямоугольник.
Р ис.14
В случае а мы получаем прямоугольник у которого основание равно основанию данного треугольника, но высота в 2 раза меньше, поэтому для вычисления площади треугольника, которая равна площади полученного треугольника, надо длину основания треугольника умножить на половину длины его высоты.
В случае б,в половину длины основания треугольника умножить на длину его высоты.
Так же можно из двух равных прямоугольниках составить прямоугольник, потом вычислив его площадь через произведения длины прямоугольника на высоту, полученное произведение разделить на два.
После этого можно предложить преобразовать в прямоугольник остроугольный треугольник. Тут так же могут быть применены различные комбинации и способы преобразования.
Рис.15

На рисунке 15 треугольник разрезан по средней линии, а затем маленький треугольник разрезан по его высоте на 2 прямоугольных треугольника. Повернув эти треугольники, получим прямоугольник, равноставленный с данным треугольником, тоесть имеющий ту же площадь. Основание прямоугольника равно основанию данного прямоугольника равно основанию данного треугольника, а высота в два раза меньше.

Р ис.16

Н а рисунке 16 отрезки, на которые высота разделила основание, разделены каждый пополам, затем отрезаны 2 прямоугольных треугольника и после преобразования получен прямоугольник, у которого основание составляет половину основания данного треугольника, а высоты их равны.

Рис.17
На рисунке 17 из двух равных остроугольных треугольников после того, как один из них разрезан по высоте на 2 прямоугольных треугольника, составлен прямоугольник, площадь которого больше, чем площадь данного треугольника.
После этих преобразований можно вводить для учащихся формулу нахождение площади треугольника.
S треугольника = или S треугольника= * h и объяснить что результаты
получаются одинаковы, т.к. если один из сомножителей разделить на 2, то и все произведение уменьшиться в 2 раза [1].
Важным разделом геометрии пятого класса является равенство фигур. Понятие равенства фигур вводиться на основе наложения одной фигуры на другую. Так например, при изучении треугольников дается определение о двух равных треугольниках. Для понятия этого определения, учащимся можно раздать чертежи двух треугольников и предложить согнуть лист пополам, после проделанной процедуры ученики приходят к выводу, что при наложении одной части листа на другую треугольники совмещение получаются равными. При помощи наглядных пособий, выполненных учителем, учащиеся приходят к выводу, что равные отрезки имеют равные длины, отрезки с равными длинами равны, а фигуры с равными площадями не всегда равны. Параллельно с этим учитель должен учитывать, что понятие «геометрическая фигура» играет важную роль в изучении элементов геометрии в 5 классе и последующем изучении геометрии в целом. В изучаемом курсе это понятие является самым широким родовым, и к раскрытию его следует обратиться в самом начале изучаемого материала.
Формально – логическое определение понятию «геометрическая фигура» не дается. Оно формируется абстрактно на основе наблюдения учащимися окружающих тел. При этом необходимо опираться на интуитивно развитое умение ребят выделять одинаковые и неодинаковые формы у наблюдаемых вещей, на уже развитые у учащихся этого возраста способности не связывать понятие формы с материалом, из которого изготовлены изучаемые тела. Этого можно достичь, ставя перед учениками задачи такого рода: «Назовите известные вам геометрические фигуры» Очень важным является то, что бы учащиеся приводили примеры, как пространственных, так и плоских фигур. Так же важно что бы ученики называли не предметы, а именно геометрические фигуры такие как: треугольник, куб, квадрат многоугольник, пирамида и многие другие.
В своей практике мы применяем задания на дом практического характера такие, как: выполнить модель одной из геометрической фигуры, материалы для этого ученики могут использовать различные, учащиеся изготавливают такие модели из бумаги, пластилина, картона, пенопласта, а некоторые на уроках технологии из древесины, так же в своих тетрадях ребята делают рисунки, творческие проекты описывая свойства фигур и иногда в творческом проекте указывают историю об открытии свойств фигуры. Такого рода задания способствуют развитию познавательных навыков, навыком умения работать самостоятельно, умению анализировать, систематизировать и обобщать найденный материал, расширять свой кругозор.
В программе 6 класса отводятся два раздела «Перпендикулярные прямые» и «Параллельные прямые». В курсе математики 5 класса в некоторых учебниках уже вводились эти понятия, но они рассматривались при изучении темы «Прямая.Луч.Отрезок.» [4]. Рассматриваются эти понятия в обобщенном виде без конкретизации свойств этих прямых: « Две прямые могут и не пересекаться, сколько бы их не продолжали. Такие прямые называются параллельными», так же рассматриваются способы построения параллельных прямых и их обозначения. Вопрос перпендикулярных прямых так же рассмотрен в [4] при изучении темы «углы. Измерение углов». Работая с линией учебника [4] мы можем сделать вывод, о недостаточном раскрытии этих тем, так же количество заданий по данной теме в учебнике ограниченно (1-2 задания не более), что способствует не усвоению учениками этих понятий, ребята воспринимают их, как просто текст учебника и плохо воспринимают эти определения, а программа составлена так, что на углубленное изучение данного материала фактически нет времени.
В шестом классе термин «параллельные прямые» можно вводить на 1-м уроке лишь с целью ознакомления. Из всех случаев выделенные прямые при пересечении которых образуются прямые углы. Путем рассуждений доказывается, что если один из углов при пересечении двух прямых получается прямым, то остальные углы тоже прямые и тогда вводиться определение перпендикулярных прямых.
Понятия перпендикулярных и параллельных прямых формируется на основе конкретных представлений наблюдений из окружающего мира и опыта учащихся.
Здесь же получает дальнейшее развитие понятие отрезка, вводиться определение параллельных отрезков. Параллельные отрезки располагаются на параллельных прямых. Так же ученики при изучении этих тем знакомятся со знаками используемыми при обозначении этих прямых. Учитель должен обратить особое внимание учеников на правильное чтение и запись знаков. Важное значение имеет формирование практических умений построения перпендикулярных и параллельных прямых с использованием чертежных инструментов (линейки, угольника, транспортира).
Далее учащиеся знакомятся без доказательства, исходя из наглядных представлений, с признаком параллельных прямых. На основании этого признака ребята решают две основные задачи на построение:

1. 
   Дана прямая а на плоскости. Построить некоторую прямую b, параллельную прямой а.
   
2. 
   Даны прямая а и точка В вне прямой а. Построить прямую b, параллельную прямой а и проходящую через точку В.
   

В процессе решения этих задач учащиеся убеждаются в том, что через данную точку плоскости проходит только одна прямая, параллельная данной прямой. Далее учащимся на основе практики делают вывод, что через каждую точку плоскости можно провести прямую, параллельную данной прямой [14].
Геометрический материал в 5-6 классах распределен по всему курсу математики. Он составляет содержание так называемого пропедевтического или подготовительного курса геометрии. Основные цели этого курса – подготовить учащихся к сознательному усвоению систематического курса геометрии 7-11 классов к изучению смежных дисциплин в средней школе.
При этом решается целый ряд задач:

• 
  Развивается логическое мышление учащихся;
  
• 
  Прививаются элементарные навыки определений простейших геометрических понятий, навыков четной формулировки выводов на основе наблюдений.
  
• 
  Развиваются пространственные представления учащихся.
  
• 
  Ознакомление учащихся с простейшими дедуктивными обоснованиями (без введения понятий «определение», «теорема», «доказательство»).
  
• 
  Формируется умения и навыки в выполнении построений с помощью основных геометрических инструментов – циркуля, линейки, угольника, транспортира, формируются рациональные приемы построения.
  
• 
  Развивается творческая активность и самостоятельность учащихся.
  

В соответствии с дидактическим принципом систематичность и последовательность изучения геометрического материала в 5-6 классах, является логическим продолжением изучения программы начальных классов и основной базой для изучения основного курса геометрии в средней школе и смежных дисциплин.

6.Анализ учебников 5-6 классов на содержание геометрического материала.

В данном пункте курсовой работы проведем сравнительный анализ геометрического материала, содержащегося в следующих учебно -методических комплектах по математике:

1. 
   Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2013. [15].
   
2. 
   Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2013. [16].
   
3. 
   Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учебных заведений /Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. – М.: Просвещение, 2007.[17].
   
4. 
   Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. – М.: Дрофа, 2000.[18]
   

Все без исключения учебники по содержанию по манере и стилю, выстроены таким образом, чтобы обеспечить и гарантировать ученикам довольно легкий и безболезненный переход к систематическому изучению курса геометрии в 7 классе.
Содержание учебников полностью соответствует требованиям стандарта математического образования для учеников 5-6 классов. В учебниках изложен тот минимум содержания, который предлагали учебники для 1-4 классов, это дает возможность использовать данные учебники в качестве продолжения любого курса математики, так традиционно, так и развивающего направления. Рассмотрим каждый комплект:

1. 
   Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2013.
   

Весь материал учебника разбит на параграфы, каждый из параграфов разбит на 4-8 пунктов, которые посвящены отдельным темам. Материалы каждого пункта изложен простым и доступным для понимания 5 - классников языком. В каждом пункте при изложении темы выделяются основные понятия, правила и теоретические сведения, которые следует либо запомнить, либо выучить наизусть, кроме того после объяснительного материала в учебнике имеются вопросы, которые позволяют закрепить пройденный материал как на уроке всем классом, так и самостоятельно каждому учащемуся дома.
Важно отметить, что все упражнения в учебнике располагаются ссылки, на сведения, которые надо хорошо запомнить, на правила и теоретические сведения, которые необходимо знать наизусть. На полях так же отдельно выделены упражнения для работы дома, в классе, работы в группах или парах, так же присутствуют ссылки на упражнения для исследовательско – поисковой работы, ссылки на задания из учебного интерактивного пособия. Ссылки на рассказы об истории возникновения и развития математики. Так же в учебнике присутствуют рубрики в которых ученики:

• 
  Учат как правильно говорить на языке математики;
  
• 
  Решают задачи помогающие учиться думать, рассуждать, делать выводы, расширять круг математических знаний и представлений.
  
• 
  Развивают сообразительность и внимательность.
  

В учебнике все упражнения построены по принципу от простого к сложному. Все задания в каждом пункте учебника разбиты на три большие группы:
1-я группа – для работы в классе;
2-я группа – для работы дома;
3-я группа – задания для повторения ранее изученного материала.
Некоторые из этих упражнений имеют дополнительные номера: 1,2,3,4 и т.д. Эти упражнения предназначены для самостоятельной работы. При этом нечетные номера заданий для 1 варианта, а четные – для 2 варианта.
Для учащихся со средним уровнем математической подготовки число упражнений в учебнике несколько избыточно. Это содействует тому, что бы дать учителю возможность, опираясь на особенности конкретного класса, выбрать более легкие или, наоборот, более сложные задания, уделять большее внимание тому или иному виду задач, т.е. для успешного усвоения материала нет необходимости провешивать с детьми все задачи учебника.
Главной особенностью упражнений для классной работы является то , что они расположены по степени «Обязательности», важности для формирования основных знаний и умений.
Упражнения для домашней работы разделены на 2 типа задач:
1) упражнения, которые непосредственно связанны с изучаемой темой, они зачастую, по трудности соответствуют основным задачам раздела классных упражнений;
2) упражнения для систематического повторения ранее изученных разделов математики.
Наиболее сложная многоцелевая группа задач, предусматривает:

1. 
   Задания для устного решения;
   
2. 
   Подготовительные задания для работы над новой темой;
   
3. 
   Задачи для непрерывного повторения ранее изученного материала;
   
4. 
   Задачи повышенного уровня трудности.
   

В этой группе заданий предусмотрены задания, в которых сообщают дополнительные сведения, которые расширяют кругозор учащихся, готовят их к глубокому усвоению курса алгебры и геометрии в последующем. Так же эти задания позволяют учителю строить собственную систему внеклассной работы.
Следует отметить то, что в учебнике имеются красочные иллюстрации, яркие цветные плашки, цветное обрамление, цветной текст в некоторых разделах учебника призван (на уровне подсознания детей) создавать радостный настрой, заинтересовывать и располагать к себе детей.
Геометрический материал не выделен в отдельные главы, он представлен отдельными пунктами в параграфе:
Параграф первый:

1. 
   пункт 2. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник.
   
2. 
   пункт 3. Плоскость. Прямая. Луч.
   
3. 
   пункт 4. Шкалы и координаты.
   

Параграф четвертый:

1. 
   пункт 18. Площадь. Формула площади прямоугольника.
   
2. 
   пункт 19. Единицы измерения площадей.
   
3. 
   пункт 20. Прямоугольный параллелепипед.
   
4. 
   пункт 21. Объемы прямоугольного параллелепипеда.
   

Параграф пятый:

1. 
   пункт 22. Окружность и круг.
   

Параграф восьмой:

1. 
   пункт 41. Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник.
   
2. 
   пункт 42. Измерение углов. Транспортир.
   

Второй пункт первого параграфа «Отрезок. Длина отрезка. Треугольник» позволяет ученикам систематизировать и актуализировать свои знания, полученные в 1-4 классе. А именно чертить отрезки, измерять отрезки, показывать и распознавать элементы треугольника, сравнивать отрезки с помощью измерительного инструмента, находить расстояние между точками. В процессе изучения этого пункта учебника, школьники вспоминают единицы измерения длины. Знакомятся с элементами треугольника, а так же знакомиться с группой многоугольников.
Третий пункт «Плоскость. Прямая. Луч.» направлен на введения новых понятий: плоскость, прямая, луч. Знакомятся с новым свойством прямой, луча. Упражнения предусмотренные в этом пункте содержат задания на распознавание отличий между отрезками, прямой и лучом.
В четвертом пункте «Шкалы и координаты» ученики знакомятся с понятиями координатного луча, единичного отрезка, координатой точки. Цель данного пункта - научить учеников пользоваться различными шкалами, записывать и определять координаты точек, определять место точки на координатном луче по заданной координате.
В восемнадцатом пункте четвертого параграфа учебника «Площадь. Формула площади прямоугольника» главной задачей является актуализация знаний учащихся уже имеющихся знаний из 1-4 классов о площади. Для учеников вводиться понятие о равных фигурах и площади треугольника.
Пункт «Единицы измерения площадей» не является новым для учеников. Происходит актуализация уже ранее полученных знаний о единицах измерения площадей в 1-4 классах. В данном пункте учащиеся ознакамливаются с новыми единицами площади (гектар, ар и др.) и соотношениями между ними. В заданиях данного пункта ученики приобретают умение выражать одни единицы площади через другие.
«Прямоугольный параллелепипед». Цель данного пункта является знакомство с новым для пятиклассников, геометрическим телом на примере прямоугольного параллелепипеда: учить решать задачи на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. В пункте учебника вводятся новые понятия такие как: грань параллелепипеда, ребро, вершина, куб.
В пункте «Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда» учащиеся знакомятся с понятием объема фигуры. Учатся находить объем прямоугольного параллелепипеда и куба. Некоторые задания данного пункта направленны на развитие умения выводить новые формулы для нахождения высоты, длины, ширины, основываясь на формулу объема прямоугольного параллелепипеда.
В пункте «Окружность и круг» главной задачей является правильно сформировать у учеников понятий окружности и круга, развить у ребят умений различать окружность и круг. Вводятся новые понятия окружность, круг, центр окружности, радиус, диаметр, закономерность отношения радиуса к диаметру.
«Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник». В данном пункте вводиться понятие угла, правила чтения и записи углов, так же вводятся понятия прямого, развернутого, тупого, острого угла, доступно и понятно ведется объяснение способа построения углов при помощи чертежного треугольника.
«Измерение углов. Транспортир». В данном пункте, основной задачей является: научить учеников строить углы и измерять их при помощи транспортира, познакомиться с единицей измерения углов – градусом. В процессе изучения материала, ученики знакомятся с градусной мерой: развернутого, тупого, острого и прямого угла.
На основании выше изложенного можно сделать вывод о том, что геометрический материал в учебнике:[Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2013.] является наглядно – образным. Многие понятия даются только на ознакомительном уровне. Обучение организованно как образовательный процесс, который направлен непосредственно на знакомство с плоскими и пространственными геометрическими фигурами, в ходе которого учащиеся усваивают важнейшие свойства геометрических фигур, а так же ознакамливаются с тем, как используются свойства геометрических фигур в практической деятельности. Доступность изложенного материала, наглядность способствует развитию у учащихся интереса к изучению математики, что является главной мотивацией для дальнейшего изучения курсов алгебры и геометрии в дальнейшем.
2. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2013.
Материал данного учебника так же разбит на две главы, каждая из которых содержит параграфы. А параграфы разбиты на небольшие пункты которые посвящены отдельным темам. Так же как и в учебнике 5 класса описанного выше, деление упражнений на рубрики продолжается. Учебник построен таким образом, что сначала даются простые упражнения, направленные на отработку отдельных умений. Затем уровень сложности повышается.
Геометрический материал в этом учебнике дополняет и расширяет сведения о фигурах, полученные учащимися в 5 классе, и так же представлены отдельными пунктами:
П.24 Длина окружности и площадь круга.
П 25. Шар.
П 43. Перпендикулярные прямые.
П 44. Параллельные прямые.
«Длина окружности и площадь круга» в данном пункте учебника учащиеся знакомятся с новым для них числом «Пи» которое представлено как отношение длины окружности к длине ее диаметра. Даются формулы длины окружности и площади круга. Задания в учебнике по данной теме можно условно поделить на два типа:

1. 
   упражнения на измерение элементов окружности;
   
2. 
   упражнения на вычисления неизвестных компонентов по формулам.
   

В пункте «Шар» само понятие шара дается образно, оно связывается с предметами из окружающего мира (мяч, глобус, арбуз). Количество задач по данной теме очень ограниченно. Большинство из них посвящены отношению радиуса и диаметра шара.
«Перпендикулярные прямые» данный пункт посвящен усвоению понятий таких прямых. Учащиеся должны научиться строить перпендикулярные прямые с помощью чертежных инструментов, распознавать эти прямые, а также знакомятся с перпендикулярными отрезками и лучами.
Пункт «Параллельные прямые» нацелен на усвоение понятий параллельных прямых. Основной уклон в данной теме делается на главный вопрос темы: Сколько прямых, параллельных данной можно провести через одну точку. Ответ на данный вопрос достаточно понятно объясняется и поясняется. Кроме этого, в данном пункте показывает, как с помощью треугольника и линейки можно построить прямую, параллельную данной. Задачный материал направлен на отработку умения построить прямую параллельную заданной.
Следовательно можно сделать вывод, что обучение по учебнику: [Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2013.] продолжает, так же как и в учебнике 5 класса, организовываться как образовательный процесс, направленный на развитие плоских геометрических представлений, чертежных умений, расширение пространственных образов. Часть понятий дана на ознакомительном уровне, а для других понятий имеются четкое определение. Хочется отметить, что количество задач и упражнений, направленных на закрепление умений и навыков, связанных с объектами окружающего мира, что позволяет учащимся научиться использовать свойства геометрических фигур в практической деятельности.
3.Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учебных заведений /Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. – М.: Просвещение, 2007.
Данный методический комплект соответствует современным тенденциям и способствует формированию математического мышления. Каждое пособие, которое входит в комплект для 5 класса, имеет свои функции и особенности. Учебник – это центральная книга комплекта. Весь материал в нем разбит на небольшие по объему главы, каждая из которых включает от трех до семи пунктов. В каждом пункте выделяется учебный (объяснительный) текст, в нем содержатся все необходимые понятия и термины, разбираются способы решения задач. Практически все пункты написаны достаточно развернуто и содержат материал для чтения, который не требуется ни запоминать, ни воспроизводить. Это, например, исторические фрагменты, объяснение возникновения того или иного термина, обозначения. Это делает текст более интересным, повышает привлекательность и доступность материала для учащихся данного возраста, способствует возникновению прочных ассоциаций, что, в конечном счете, помогает пониманию и запоминанию собственно математических фактов. Система упражнений по каждому пункту разделена на группы А и Б. Упражнения первой группы направлены в основном на формирование и отработку умений на уровне обязательной подготовки, упражнения второй группы - на развитие более высоких уровней усвоения. Диапазон сложности самых первых заданий (из группы А) и последних заданий (из группы Б) всегда значителен. Каждая глава учебника завершается двумя самостоятельными разделами. Первый из них - «Для тех, кому интересно». Это необязательный материал, углубляющий или чаще расширяющий знания учащихся. Его название полностью отражает его назначение. Он содержит небольшой объяснительный текст и интересные задачи, в большинстве своем доступные детям с разными способностями. Предполагается, что этот материал может использоваться самыми разными способами: для индивидуальной работы учащихся в классе и дома, для совместной работы детей с родителями, для фронтальной работы с классом, - все зависит от конкретных условий и возможностей класса. Второй, завершающий раздел - «Задания для самопроверки». Он содержит обязательные результаты обучения по данной главе. В конце учебника существует раздел «Задания для итогового повторения». В нем задания сгруппированы в восемь работ, по две дублирующие, направленные на компактное, эффективное, систематизирующее повторение всего материала за год.
Геометрический материал учебника представлен в следующих главах: