Курс лекций по дисциплине «Основы системного анализа и моделирование технологических процессов»

Шкала наименований (номинальная, классификационная).
Существует конечное число классов эквивалентности явлений 
(объектов). Каждому классу присваивается свое обозначение. Измерение 
заключается в определение, к какому классу относится объект. Возможна 
иерархия классов. Характерный пример иерархии классов – почтовые адреса. 
Данные в номинальных шкалах – всегда только символы, если это даже 
цифры. Единственная допустимая операция – проверка совпадения, для чего 
введен символ Кронекера – 
δ
ij
. 
𝛿
𝑖𝑗
= {
1, если 𝑥
𝑖
= 𝑥
𝑗
0, если 𝑥
𝑖
≠ 𝑥
𝑗
, где 𝑥
𝑖
, 𝑥
𝑗
− разные измерения.
 
На этой основе возможны более сложные операции:
− количество совпадений: 
𝑛
𝑖
= ∑ 𝛿
𝑖𝑗
∀𝑗
; 
− относительная частота класса: 
𝜌
𝑖
=
𝑛
𝑖
𝑛
здесь n-общее число измерений; 
− различные статистические процедуры. 
2. 
Порядковые (ранговые) шкалы.
Используются для сравнения объектов, классов по каким-либо 
признакам, качествам. Пример – шкала родственных отношений: 

---

отец = мать > сын = дочь; 
дядя = тетя < брат = сестра. 
В порядковых шкалах справедливо: 
если А > В, то В < А ; 
если А > В, В > С, то А > С.
Понятия дистанции между шкалами нет. Для сравнения вводится
ранг 
R
i
– ранг 
i
-го объекта:
𝑅
𝑖
= ∑ 𝑐(𝑥
𝑖
− 𝑥
𝑗
)
𝑛−1
𝑗=1
Используется также и символ Кронекера. 
3. Модифицированные ранговые шкалы. 
Эти шкалы имеют место при арифметизации качественных измерений. 
Примеры таких шкал. 
а) Шкала твердости по Мозесу. 
1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 
– кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз. Это не значит, что разность по 
твердости между корундом и алмазом такая же, как, например, между тальком 
и гипсом. 
б) Шкала силы ветра по Бофорту. 
в) Шкала землетрясений по Рихтеру. 
г) Бальные шкалы оценки знаний. 
д) Порядковые шкалы Акоффа-Черчмена для упорядочения альтернатив 
с учетом силы предпочтения. 
4. Шкалы интервалов. 
Проводится упорядочение объектов с точностью до интервалов между 
ними. Единицы измерений произвольны, но постоянны по всей шкале, т.е. при 
произвольном выборе 0 и 1 справедливо 
∆𝑥
1
∆𝑥
2
=
∆𝑦
1
∆𝑦
2
, ∆x
1
и ∆x
2
– расстояния 
между объектами в одной шкале, а ∆y
1
и ∆y
2
– расстояния между теми же 
объектами в другой шкале. 
Таким образом, связь между шкалами линейная: 
 
y = ax + b, a > 0, - ∞ 
. 
Имеют смысл только действия над интервалами, а не над отсчетами 
шкал. Возможны любые арифметические операции. При статистических 
оценках центральные моменты имеют смысл, а начальные – нет, поэтому не 
имеет смысла и коэффициент вариации. 

---

5. Шкалы отношений. 
Измерения являются полноправными числами. 0 – единственный. 
Для двух шкал отношений справедливо 
𝑥
1
𝑥
2
=
𝑦
1
𝑦
2
, где x
1
и x
2
измерения в 
одной шкале, а y
1
и y
2
– измерения тех же величин в другой шкале. 
Соответственно справедливо: 
y = ах, a > 0
. 
Примеры: шкалы измерения длин, весов, денег. 
6. Шкалы разностей (периодические, циклические). 
Шкалы инвариантны к сдвигу на некоторую постоянную (период). 
Справедливо, что 
y = x + b
, 
b
– постоянная величина. 0 здесь условен, иначе 
это шкала интервалов. При вводе условного нуля возможны арифметические 
действия. 
Примеры: шкалы часов, компаса. 
7. Абсолютная шкала. 
0 и 1 зафиксированы. Единица измерения безразмерна. Эта числовая 
шкала может быть как самостоятельной, так и вспомогательной для других 
шкал. 
8. Шкалы размытых множеств. 
Размытое множество A – это совокупность упорядоченных пар вида 
A = 
{x, µ А(x)}
, где 
µ А(x)
– функция принадлежности 
x
множеству 
A
, 
0 ≤ µ А(x) ≤ 1
. 
Для уяснения особенностей построения шкал размытых множеств 
необходимо обратиться к алгебре размытых множеств, а для построения самих 
шкал нужно ввести ряд дополнительных определений. 
Перевод полученных измерений в другую, более сильную шкалу 
возможен, но требует аккуратности.