|
Muhim maxsus nuqtalar.
Biz muhim maxsus nuqta uchun o`rinli bo`lgan teoremani qaraymiz.
Teorema. funksiyaning ajralgan maxsus nuqtasi muhim maxsus nuqtadan iborat bo`lishi uchun shu funksiyaning nuqta atrofidagi Loran qatorining bosh qismi cheksiz ko`p hadlarga ega bo`lishi zarur va yetarlidir:
Xususiy holda Loran qatorining to`g`ri qismi bo`lmasligi ham mumkin, ya`ni biroq ,…, bo`lishi mutlaqo shart.
Misol. funksiyaning maxsus nuqtalari va uning tafsifi aniqlansin.
Yechish.
1-usul maxsus nuqta. Haqiqiy sonlar o`qida funksiya da bo`ladi.
Mavhum o`qida esa bo`ladi, agar bo`lsa
Demak, da funksiya limitga ega emas, ya`ni nuqta muhim maxsus nuqtadir.
2-usul. Berilgan funksiyaning ajralgan maxsus nuqtasi dan iborat, chunki qator yoyilmasiga asosan
Bu esa Loran qatorining bosh qismidan iborat bo`lib, hadlari cheksiz ko`p
Demak, berilgan funksiyasining muhim maxsus nuqtasi.
2.3 Yakkalangan maxsus nuqtalar. Soxodskiy teoremasi
1 –Ta’rif. nuqta uchun yakkalangan maxsus nuqta deyiladi, agarda nuqtani qandaydir o’yilgan atrofida funksiya golomorf bo’lsa. ( nuqtani o’yilgan atrofii deganda xalka tushuniladi nuqta uchun xalka tushuniladi).
2 –Ta’rif. a) agar mavjud va chekli bo’lsa nuqtaga kutulib bo’ladigan maxsus nuqta deyiladi.
b) agar mavjud va ga teng bo’lsa, nuqtaga qutb maxsus nuqta deyiladi.
v) Agar limit mavjud bo’lmasa, u holda nuqtaga muhim maxsus nuqta deyiladi.
Misol.
1. funksiya uchun nuqta bartaraf etiladigan maxsus nuqtadir. CHunki
2. funksiya uchun nuqta qutb maxsus nuqta
3. funksiya uchun nuqta muhim maxsus nuqta
4. funksiya uchun nuqtalar qutb maxsus nuqtalardir. Nol’ nuqta funksiya uchun yakkalanmagan mxsus nuqtalardir.
5. funksiyani maxsus nuqtalari ancha murakkab.
Qator doirada yaqinlashuvchi, Koshi –Adamar formulasini kullasak, , . Shuning uchun funksiya doirada golomorfdir. tengsizlik natural son uchun o’rinlidir.
YUqoridagi tengsizlikdan ekanligi kelib chiqadi. funksiya uchun nuqta maxsus nuqta (qutb). Shunday qilib,
tenglikdan nuqta ham funksiya uchun maxsus nuqta ekanligi kelib chiqadi. tenglikdan nuqtalarning maxsus nuqtalar ekanligi kelib chiqadi. shakldagi nuqtalar to’plami aylanani hama joyda zich bo’lgan to’plamni tashkil etadi.
Shuning uchun aylananing barcha nuqtalari funksiya uchun maxsus nuqtadir.
Eslatma. Teylor qatoridagi kabi Loran qatorini koeffitsientlari uchun ham koshi tengsizligi o’rinlidir.
xalkada yaqinlashuvchi bo’lgan Loran qatorini koeffitsientlari uchun tengsizlik o’rinlidir.
Isboti Teylor qatoridagi kabi isbotlanadi.
Teorema. nuqta bartaraf etiladigan maxsus nuqta bo’lganligi uchun funksiyani shu nuqta atrofidagi Loran qatorini bosh qismi mavjud bo’lmasligi zarur va yetarli.
Isbot (Zarurligi) bartaraf etiladigan maxsus nuqta bo’lsin. U holda chekli limit mavjud. Shuning uchun funksiya qaralayotgan atrofida chegaralangandir.
Koshi tengsizligiga ko’ra tengsizlik o’rinli.
Oxirgi tengsizlikdan da limitga o’tsak, Demak, bosh qismi yo’q.
Yetarliligi. funksiya nuqta atrofidagi Loran qatoriga yoyilmasining bosh qismi mavjud bo’lmasin. Bu tengsizlikdan –chekli son. bartaraf etiladigan maxsus nuqta.
Toerema. yakkalangan maxsus nuqta funksiya uchun qutb maxsus nuqta bo’lishligi uchun uning nuqta atrofidagi Loran qatori yoyilmasi bosh qismini cheklitasi 0 dan farkli bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. (Zarurligi.) qutb maxsus nuqta bo’lsin, ya’ni deb belgilash kiritamiz. funksiya nuqtaki atrofida golomorfdir va . Bundan
yoyilma o’rinli bo’ladi. –natural son.
funksiya nuqtalarni qandaydir atrofida analitik funksiya birligi uchun bu funksiyalarning shu nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyish mumkin.
Demak,
.
Yetarliligi. funksiya nuqtani teshik atrofida Loran qatoriga yoyish mumkin bo’lsin. funksiyani kiritamiz. . Bundan bo’lganligi uchun . Demak, nuqta funksiya uchun qutb maxsus nuqta ekan. 1 va 2 teoredan quyidagi 3 chi teorema kelib chiqadi.
Teorema. yakkalangan maxsus nuqta muhim maxsus nuqta bo’lishligi uchuch funksiyaning nuqta atrofidagi Loran qatori yoyilmasida manfiy darajalarni cheksiztasi katnashishi zarur va yetarli.
Do'stlaringiz bilan baham: |
