Kurs ishi mavzu: maxsus nuqtalar va ularning turlari bajardi

2.4 Loran qatori
halqada golomorf bo’lgan funksiyani qatorga yoyish masalasi bilan shug’ullanamiz. Bunda .
Loran qatori tushunchasi.
Teorema 1. (Loran teoremasi) Ushbu sohada (halqada) golomorf bo’lgan ixtiyoriy funksiyani shu sohada yaqinlashuvchi
(1)
qatorning yig’indisi sifatida tasvirlanadi:


.
Bu yerda qatorning koeffisientlari
(2)
bo’lib, bo’ladi.
halqani olamiz. Bunda . bo’lganligi sababli Koshining integral formulasiga ko’ra, uchun

ifoda o’rinli. bo’lgani uchun


(3)
bunda . uchun tekis yaqinlashuvchi ushbu

qatorni ikkala tomonini chegaralangan funksiyaga ko’paytirib, so`ng bo’yicha hadlab integrallasak,
(4)
hosil bo’ladi. Bu yerda
. (5)
(3) dagi ikkinchi integralda esa yoyilma boshqacharoq bo’ladi. Barcha lar uchun
.
Shuning uchun
.
Bunda qator uchun tekis yaqinlashuvchidir. bo’yicha tenglikni ikkala tomonini ga ko’paytirib, so’ng bo’yicha hadlab integrallasak
(6)
bo’lishini topamiz, bunda
. (7)
Natijada (3), (4) va (6) munosabatlardan
(8)
(7) formulada ni bilan almashtirsak, u holda formula quyidagi ko’rinishga keladi:
(9)
Bundan esa (6) ifoda quyidagi ko’rinishga keladi:
.
Agar z nuqta V sohadagi ixtiyoriy nuqta ekanini, funksiya shu sohada golomorf bo’lishini hamda va chiziqlar V sohaga tegishli ekanligini e’tiborga olsak, Koshi teoremasiga ko’ra
,
umuman,

bo’lishini topamiz. Bu yerda
.
Endi (5) va (9) tengliklarni solishtirib

ya’ni

bo’lishini topamiz. Bu hol
va
yig’indilarni birlashtirib, ushbu

ko’rinishda yozish imkonini beradi:
.

Demak,

bo’lib, bunda

bo’ladi.
Ta’rif. Koeffitsientlari (2) formula bilan aniqlangan (1) qator funksiyaning sohadagi (halqadagi) Loran qatori deyiladi.
funksiya sohada (halqada) golomorf bo’lsa, teoremaga binoan

bo’lishini e’tiborga olib, bu holda funksiya sohada (halqada) Loran qatoriga yoyiladi deb aytamiz.
Ushbu
(10)
qatorga Loran qatorining to’g’ri qismi,
(11)
qatorga esa Loran qatorining bosh qismi deyiladi.
Loran qatorining to’g’ri qismi

darajali qatordir. Uning yaqinlashish sohasi Abel teoremasiga ko’ra doiradan iborat bo’lib, yaqinlashish radiusi Koshi–Adamar formulasi

ga ko’ra topiladi. (10) qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Loran qatorini bosh qismi

da o’zgartirish kiritsak, unda

Ko’rinishga keladi. Bu qator Abel teoremasiga ko’ra

da yaqinlashadi, yaqinlashish radiusi Koshi –Adamar formulasiga ko’ra

bo’ladi.
Demak,

qator doiraning tashqi qism bo’lgan sohada yaqinlashuvchi bo’ladi.
Agar bo’lsa, Loran qatorini yaqinlashish sohasi bo’sh to’plamdan iborat bo’ladi.
Agar bo’lsa, Loran qatori

ning yaqinlashish sohasi halqadan iborat bo’ladi. bo’lsa, bitta nuqtada o’yilgan doiradan iborat bo’ladi.