Kurs ishi mavzu: Ikkinchi tartibli chiziqlarning optik xossalari. Topshirdi: Satimova G. Qabul qildi: Sultonov B. Urganch 2022 Reja: kirish

Tekislikda ikkinchi tartibli chiziqlar
(Aylana, parabola, giperbola)
Analitik geometriyada ko’riladigan ikkinchi tartibli chiziqlarga parabola, giperbola, aylanma va ellips kiradi. Ikkinchi tartibli ixtiyoriy chiziq umumiy holda ikkita o’zgaruvchili ikkinchi darajali tenglama yordamida keltiriladi:
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1)
A, B va C koeffistientlar nolga teng emas. Yuqorida nomlari qayd etilgan ikkinchi tartibli chiziqlar keltirilgan tenglamaning xususiy hollari.
Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning fan va texnikada qo’llanishiga misollar keltiramiz:
1. Ellipsning ikkita urinmasi o’zaro parallel bo’lsa, urinish nuqtalarini tutashtiruvchi kesma ellips markazidan, ya’ni nuqtadan o’tadi.
Fizikadan ma’lumki, nurning sirtga tushish burchagi qaytish burchagiga teng. Shuning uchun, ellipsning fokuslaridan biriga yorug’lik manbaini joylashtirsak, barcha nurlar ellips chizig’idan qaytib ikkinchi fokusda yig’iladi.
Bu hodisani akustik va optik tajribalarda kuzatish mumkin. AQSh da ellips shaklda qurilgan katta xona mavjud bo’lib, uning nuqtasida gaplashayotgan ikki kishining suhbatini nuqtada bemalol eshitish mumkin.
2. Ma’lumki, quyosh sistemasining planetalari Quyosh joylashgan umumiy fokusga ega ellipslar bo’yicha harakat qiladi.
3. Agar parabola fokusiga yorug’lik manbai joylashtirilsa, paraboladan qaytgan nurlar uning o’qiga parallel holda ketadi. Projektorning tuzilishi shu xossaga asoslangan.
4. Mexanikada isbot qilinganidek, yer yuzidan gorizontalga qarab burchak ostida km/s (ikkinchi kosmik tezlik) boshlang’ich tezlik bilan chiqarilgan raketa parabola bo’ylab yer yuzidan cheksiz uzoqlashib boradi km/s boshlang’ich tezlik bilan harakat qilayotgan raketa ham yer yuzasidan cheksiz uzoqlashib boradi, faqat – giperbola bo’ylab harakat qiladi. Nihoyat, km/s boshlang’ich tezlikda raketa ellips bo’ylab harakatlanib yoki yana Yerga qaytib tushadi, yoki Yerning sun’iy yo’ldoshi bo’lib qoladi.
5 – m a s a l a. Gorizontga nisbatan o’tkir burchak ostida otilgan tosh parabola yoyini chizib, boshlang’ich joyidan 16 metr uzoqqa tushadi. Toshning 12 metr balandlikka ko’tarilganligini bilgan holda uning parabolik traektoriyasi tenglamasini tuzing.
Y e c h i s h. Koordinata o’qlarini shunday joylashtiramizki, tosh otilgan nuqta bilan toshning tushgan nuqtasi abssissalar o’qida yotsin. Hosil bo’lgan kesmaning o’rtasidan hamda toshni eng balandlikka ko’tarilgan nuqtasidan ordinatalar o’qini o’tkazamiz (18 – chizma)

24-rasm Bu holda parabola o’qqa simmetrik bo’lgani uchun uning tenglamasini ko’rinishda izlaymiz. Masala shartiga asosan: . Demak, parabolaning tenglamasi:

x
Bu parabola A (8 ; 0) nuqtadan o’tganligi uchun bu nuqtaning koordinatalari parabola tenglamasini qanoatlantirishi kerak:
.
Demak, gorizontga nisbatan o’tkir burchak ostida otilgan toshning traektoriyasi:
6 – m a s a l a. Fontandan otilib chiqayotgan suv oqimi, parametri bo’lgan parabola shaklini oladi. Suvning otilib chiqayotgan joydan 2 m uzoqlikka tushayotganligi ma’lum bo’lsa, otilib chiquvchi suvning balandligi topilsin.
Y e c h i s h. Bu masalada ham koordinata o’qlarini shunday joylashtiramizki, suvning otilib chiqish nuqtasi bilan tushush nuqtasi abssissalar o’qida yotsin. Hosil bo’lgan kesmaning o’rtasidan hamda suvning eng balandga ko’tarilgan nuqtalari orqali ordinatalar o’qini o’tkazamiz.

25-rasm

Biz oldin egri chiziqning tenglamasini tuzamiz. Tenglamani ko’rinishda izlaymiz. Masala shartiga asosan, tenglama ko’rinishni ladi. Bu egri chiziq A (1 ; 0) nuqtadan o’tganligi uchun bu nuqtaning koordinatalari tenglamani qanoat-lantirishi kerak:

Xulosa
Men ushbu kurs ishini yozish davomida tekislikda affin va dekart koordinatalarini almashtirish bo’yicha juda ko’p ma’lumotga ega bo’ldim.
Tekislikda ikkita o’zaro perpendikulyar to’g’ri chiziq o’tkazamiz: biri gorizantal, ikkinchisi vertikal. Ularning kesishish nuqtasini O harfi bilan belgilaymiz. Shu to’g’ri chiziqlarda yo’nalishlar tanlaymiz: gorizantal to’g’ri chiziqda chapdan o’ngga, vetikal to’g’ri chiziqda pastdan yuqoriga. Har bir to’g’ri chiziqda bir xil uzunlik birligini ajratamiz.
Gorizontal to’g’ri chiziq OX bilan belgilanadi va absissalar o’qi deyiladi, vertikal to’g’ri chiziq OY bilan belgilanadi va ordinatalar o’qi (koordinata o’qlari) deyiladi.
Analitik geometriya kursida o'rganish metodlarining asosini koordinatalar metodi tashkil qiladi. Biz asosan figuralarni ularning tenglamalari yordamida o'rganamiz, ya’ni algebraik tenglamalarini o'rganish bilan shugullanamiz. Bu yerda algebraik metodlar asosiy rolni o'ynaydi. Biz asosan birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan ish ko'ramiz. Analitik geometriya kursida o'rganiladigan geometrik figuralar sinfi unchalik katta bo'lmasa ham, birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar fan va texnikada juda katta rol o'ynaydi Birinchi darajali algebraik tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar — to'g'ri chiziq va tekislikdir. Ushbu asosiy geometrik figuralar bilan siz elementar geometriya kursidan tanishsiz. Tekislikda ikkinchi darajali tenglamalar ikkinchi tartibli chiziqlami, fazoda esa ikkinchi tartibli sirtlarni aniqlaydi. Yuqoridagi misoldan ko'rinadiki, aylana ikkinchi tartibli chiziqdir.