Kurs ishi mavzu: Funksiya yordamida texnikaga oid masalalarni yechish Tekshirdi: “

2.2.FUNKSIYA YORDAMIDA YECHIMI TOPILADIGAN MASALALAR

Fundamental matematikadagi “funksiya tushunchasi fizikaviy ifodalarning mazmunini ochib berishda asosiy rol o’ynaydi. Masalan, Kinematika asoslari mavzusida x=x(t), v=v(t), s=f(t) ifodalar qo’llaniladi. Bu matematikada funksiya ko’rinishadi quyidagicha yoziladi: y=kx+1, y=kx2+bx+c. Fizika darslarida funksiyaning grafik tasvirlanishidan foydalaniladi, masalan x=x0+v0xt, y=y0+y0yt, z=z0+v0xt. Ushbu kinematikadagi asosiy xulosalar mexanika kursining hamma bo’limlariga taaluqlidir. shu o’rinda takidlash joizki, fizika o’qituvchilarining vazifasi o’quvchilarga faqatgina grafikni o’rgatish emas, balki ularga grafikni tahlil qilish va uni o’qitish, tushunish, jismning harakati haqida grafik bo’yicha qanday axborotlar olish mumkinligini ham tushuntirishdan iboratdir.

Ko’p hollarda matematika kursida ishlatiladigan funksiya va argument kabi atamalardan o’z o’rnida foydalanmaslik fizikadan masalalar yechishda qiyinchiliklarga olib keladi. Matematika kursida funksional bog’lanishlardan fizika o’qitish jarayonida foydalanishni quyidagicha izohlash mumkin. Masalan v=v0+dt, sx=v0xt+ formulalarda qaysi kattaliklar argument va qaysilari funksiya ekanligini, bu funksiyalarning grafiklari qanday ko’rinishda bo’lishini, grafikning ko’rinish koeffitsientining son qiymatiga qanday bog’liqligini o’quvchilar mustaqil aniqlashlari lozim.
“Kinematika asoslari” bo’limi oxirida Aylanma tekis harakatda tezlik mavzusi beriladi. Bunda o’qituvchi oldin geometriya kursida otilgan markaziy burchak va aylana haqida tushunchani o’quvchilarning esiga tushirishi lozim.
Shuningdek, Dinamika asoslari bo’limi o’tilayotgan vaqtda ham fizika bilan matematikaning o’zaro aloqadorligidan, ya’ni matematikaga doir vektorlar, koordinatalar, tenglamani yechish va tenglamalar sistemasi kabi tushunchalardan foydalanish mumkin. Nyuton qonunlarini vektor va skalyar ko’rinishda yozishda, yuqorida keltirilgan tushunchalar bo’yicha matematika tayanch vazifasini bajaradi.
Mamulki, Nyutonning II va III qonunlari F=ma, F1=F2 formulalar bilan ifodalanadi. Agar teng ta’sir etuvchi kuch nolga teng bolsa (R=0), u holda tezlik ozgarmas (v=const), tezlanish nolga teng boladi (a=0) (Nyutonning I qonuni). Masalalar yechish uchun vektor ko’rinishdagi formulalarning koordinata o’qiga proyeksiya modullari quyidagi ko’rinishda yoziladi: Fx0=max, F1x=-F2X, F=ma, F1=F2 .
Shuningdek, tebranglik kuchi, Saqlanish qonuni, Mexanik tebranish va to’lqinlar mavzularini o’tishda, matematikadan vektorlar, trigonometrik funksiya, chiziqli tenglama va sistemalar, koordinata o’qiga impuls proyeksiyasi, matematik mayatnikning tebranish davri kabi tushunchalardan foydalaniladi.
“Qattiq jism, suyuqlik va gazning bosimi mavzusi bo’yicha qattiq jismning bosimi, suyuqlikning gidrostatik bosimi, atmosfera bosimi, arximed kuchi va uning qo’llanilishi o’rganiladi. Ushbu tushunchalarning har birini tushuntirishda fanlararo aloqadorlikdan foydalanish mumkin.
Bosim formulasi qiymatlarning to’g’ri va teskari proporsionalligini ko’rsatadi. Bu esa o’quvchilarning y=kx funksiya xossalari haqidagi bilimlarini chuqurlashtiradi. Paskal qonunini o’rganish, gidravlik mashinaning ishlash tamoyilini taminlaydi.
G kuch va S yuzani hisoblashda proporsionallik xossasidan: r1 q r2 bosimlar teng bo’lganligi uchun kuch va yuza orasidagi munosabat.Berilgan idishdagi suyuqlik bosimini hisoblashda, o‘quvchilarning matematika kursidan (to‘g‘riburchakli parallelepiped hajmi) olgan bilimlari va oddiy matematik almashtirishlardan foydalaniladi:
U holda F=g ρSh; p=g ph.
Bu erda balandlik h va bosim p orasida to’g’ri proporsional va funksional bog’lanish mavjudligini bilish taqozo etiladi.


2.3.Funksional elementlar va ulardan sxemalar yasash
Ushbu bobda mulohazalar algebrasining diskret texnikaga, matematik kibernetikaga tatbiq etilishi, rele-kontaktli sxemalar, kontaktli sxemalar va
ularning sintezi, funksional elementlar va ulardan sxemalar yasash, ko‘ p taktli sxemalar, funksional elementlar sistemasining to'liqligi, sxemalarni
minimallashtirish muammosi, teskari bog‘ lanishi bo'lmagan avtomatlar, chekli avtomat haqida umumiy tushunchalar, ko‘ rib chiqilgan. Mantiq algebrasi funksiyalarini sxemalar (avtomatlar realizatsiya qilish masalasiga alohida) orqali ahamiyat beriladi. Funksional elementlar va ulardan sxemalar yasash
Funksional element. Qurilma. Sxema yasash usullari.Funksiyaning realizatsivasi.Sxemaning matematik induksiya metodi bo 'yicha ta 'riji. Soxta kirish. Funksional elementlar sistemasining to ‘liqligi. Sikl.
1.1. Funksional elementlar. Biror qurilma berilgan bo‘ lsin, uning ichki tarkibi bizni qiziqtirmaydi. Qurilmaning n ta tartiblangan (masalan, ldan wgacha raqamlangan) “ kirishi” va bitta “ chiqishi” bolsin (1- shakl).Qurilmaning har bir kirishiga ikki xil signal berish mumkin (elektr toki
bor yoki elektr toki y o ‘ q). Bu signallarni mos ravishda 1 va 0 bilan belgilaymiz. Qurilma kirishlariga berilgan har bir signallar majmuasi uchun uning chiqishida bitta signal paydo b o ‘ ladi (I yoki 0). Chiqishdagi
signalning qiymati kirishlarga berilgan signallar majmuasiga bog‘ liq b o ‘ladi. Shunday aniqlangan qurilmaga biz funksional element deb ataymiz.
Ma’ lumki, har bir funksional elementga mantiq algebrasining bitta funksiyasi to‘ g ‘ ri keladi, bu holda har bir funksional
element mantiq algebrasining bitta funksiyasini realizatsiya qiladi deb
aytamiz. Buning uchun kirishning har bir i raqamiga , (1 < i < n ) o‘zgaruvchini mos qilib q o ‘yamiz. U holda o ‘zgaruvchilaming har bir , qiymatlar majmuasiga f { ,..., ) funksiyaning 0 yoki l gateng f ( ,..., ) qiymati mos keladi.




1-shakl


1

2

3

n

1.2. Funksional elementlar vaulardan sxemalar yasash. Agar ,...., funksional elementlar mavjud b o ‘ lsa, u holdaulardan yangi murakkab funksional elementlami quyidagicha yasash mumkin.

1. Birorta funksional elementning kirishini ikkinchi bir funksional elementning chiqishi bilan tutashtirish natijasida murakkab funksional element hosil qilish mumkin (2- shakl).Hosil qilingan qurilmani yangi funksional element deb qabul qilish mumkin. Bu funksional elementning chiqishi elementning chiqishi-dan, kirishlari esa, va elementlaming ozod kirishlaridan iborat b o ‘ ladi. Agar yangi hosil b o ‘ lgan qurilmaning majmuasini yuborsak, u holda elementning ozodkirishlariga signallar bir vaqtda yetib boradi, qolgan(lar)iga bo ‘ lsa, elementning chiqishidagi signal tushadi.






1







2-shakl

2. Biror funksional elementning ikki va undan ortiq kirishlarini aynan tutashtirish natijasida yangi murakkab funksional element hosil qilish mumkin (3- shakl). Bu funksional elementning chiqishi elementning chiqishidan iborat, kirishlari esa, tutashtirilmagan kirishlardan va aynan tutashtirilgan kirishlarga mos keladigan bitta kirishdan iboratdir.

3-shakl

1. 
   Uchinchi usul birinchi va ikkinchi usullarning kombinatsiyasidan iborat. Masalan, qandaydir elementning biror kirishiga , elementning chiqishi, boshqa kirishiga elementning chiqishi ulanadi va ayrim kirishlari aynan tenglashtiriladi va hokazo (4- shakl).Hosil bo‘ lgan yangi murakkab funksional elementga birinchi va ikkinchi usullarni q o ‘ llab, yana yangi murakkab funksional elementga ega b o ‘ lamiz. Shu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin.Agar ,..., funksional elementlar mosravishda funksiyalami realizatsiya qilsa, u holda hosil bo‘ lgan yangi murakkab funksional element realizatsiya qila­digan funksiya funksiya­laming superpozitsiyasidan iborat boladi.
   

4-shakl
Haqiqatan ham, agar biror , funksiyani realizatsiya qiladigan

elementning kirishiga funksiyani realizatsiya qiladigan elementning
chiqishi ulangan bo‘ lsa, u holda funksiyaning o ‘ sha kirishiga mos
bo‘ lgan argumenti o ‘ rniga funksiyani keltirib q o ‘ yishimiz kerak.
Hamma aynan tutashtirilgan kirishlar o'miga ularga mos kelgan faqat bitta
argument qo‘ yish kerak, shuning uchun 2- shaklga asosan, funksional
element realizatsiya qiladigan f( funksiyaning
argumentti o ‘ rniga funksional element realizatsiya qiladigan (
funksiyani keltirib qo'yish kerak. Natijada, f( )=
= funksiyani realizetsiya qiladigan murakkab funk­
sional elementga ega bo'lamiz, funksiyasi esa, ta’ rifga asosan, f va
, funksiyalar superpozitsiyasi mahsulidir. 3- shakldagi funksional
element funksiyani, 4- shakldagi funksional element esa funksiyani realizatsiya qiladi. Demak, , funksiya f va , funksi-
yalarning, funksiya f funksiyaning va funksiya esa , funksiyalaming supeфOzitsiyasidir. Birinchi va ikkinchi usullami q o ‘ llash natijasida hosil qilingan qurilmalar sxemalar (to‘ g ‘ ri sxemalar) deb ataladi.Endi sxemaning induksiya metodiga asoslangan ta’ rifini beraylik.
1- ta’ rif. a) Har qanday funksional element sxema bo'ladi. Uning
kirishi funksional elementning kirishidan, chiqishi esa uning chiqishidan
iborat bo ‘ladi;
b) agar sxema va uning ikkita kirishi aynan tutashtirilgan bo ‘Isa, и
holda hosil bo 'Igan S qurilma ham sxema bo ‘ladi. S ning chiqishi
ning chiqishidan va S ning kirishlari bo'lsa, ning tutashtirilmagan
kirishlaridan va aynan tutashtirilgan ikkita kirishga mos kelgan kirishdan
iborat bo ‘ladi;
d) agar va , sxemalar bo ‘Isa, u holda sxemaning birorta
kirishiga sxemaning chiqishini ulash natijasida hosil bo ‘Igan S
qurilma ham sxema bo'ladi. S sxemaning chiqishi sxemaning
chiqishidan va uning kirishlari ning hamma kirishlaridan hamda S
ning chiqishi bilan tutashtirilgan ning kirishidan tashqari ozod qolgan
hamma kirishlaridan iboratdir;
e) ushbu la'rifning b) va d) bandlarida tasvirlangan usullar orqali
chekli qadamda har qanday sxemani funksional elementlardan yasash
mumkin.
Bu ta’rif oldingi paragraflarda funksiyalar superpozitsiyasi haqida
berilgan ta’ rifdan shakli jihatdan birmuncha farq qiladi. Bu farq birinchi
navbatda sxemaning rangi (funksional elementlardan sxema yasash uchun
bajarilgan qadamlar soniga sxemaning rangi deb ataladi) tushunchasi
kiritilmaganligi tufayli paydo bo‘ ldi. Ikkala ta’ rifni taqqoslab tahlil qilishni
o ‘ quvchiga havola etamiz.
Endi mantiq algebrasining sxema realizatsiya qiladigan funksiyasini
induksiya metodi orqali topaylik.
1. Induksiya asosi. Har bir funksional element mantiq algebrasining
bitta funksiyasini realizatsiya qilishi aniqlangan.
2. Induktiv o ‘tish. a) Agar S0 sxema f ( x l,x 2,...,x n) funksiyani
realizatsiya qilsa, u holda 1- ta’ rifning b) bandi asosida qurilgan S1, sxema
aynan tutashtirilgan kirishlarga mos keladigan argumentlarni aynan
tenglashtirish natijasida hosil qilingan funksiyani realizatsiya qiladi;
b) f ( x l,x 2,...,x n) funksiyani S0 sxema va у/(У\,У2>—>Ут) funk­
siyani Sj sxema realizatsiya qilsin, bu yerda x l,x 2,...,x n,y t,y 2,...,y m lar
bir-biriga teng bo'lmagan o ‘ zgaruvchilar bo‘ lsin. U holda 1- ta’rifning d)
bandiga asosan qurilgan S sxema f { x 1,...,xj_l,\f/(yl,...,ym),x M,...,xtl)ni
realizatsiya qiladi. Bu yerda y/(y{ ,...,y m) funksiya / funksiyaning x i
argumenti o ‘ miga qo‘yilgan.Teng kuchli funksiyalami bir xil funksional element realizatsiya qiladi deb qabul qilamiz. Buning uchun soxta kirish tushunchasini kiritamiz.
2- ta’ rif. Agar ф funksional element realizatsiya qiladigan
f ( x , y x,...,yn) funksiyaning qiymati x argumentga mos kelgan kirish
signalining qiymatiga (0 yoki Iga) bog'liq bo'lmasa (ya’ni, x o'zgaruvchi
f ( x ,y ],...,yn)ning soxta argumenti bo ‘ha, и holda ф elementning X
argumentga mos kirishi soxta kirish deb ataladi.
3- ta’ rif. Faqatgina kirishlarning raqamlanish tartibi va soxta
kirishlari bilan farq qiladigan funksional elementlar ekvivalent funksional elementlar deb ataladi.
Demak, funksional elementni o ‘ zgartirmasdan istalgancha soxta
kirishlarni olib tashlash yoki q o ‘ yish mumkin.
Ф — {(pl ,(p2,...,(pn) sistema ф1,ф2,...,ф„ funksional elementlar siste-
masi va F = ( f , f 2,- .- ,f n) sistema фр ф2,...,ф;1 funksional elementlar
mos ravishda realizatsiya qiladigan f x, f 2,...,f n funksiyalar sistemasi
b o ‘ lsin. Ф = (ф ,,ф 2,...,ф л) sistema qanday shartlarni qanoatlantirganda,
mantiq algebrasining istalgan funksiyasini uning q>{,(p2,...,(pn funksional
elementlaridan yasalgan sxema orqali realizatsiya qilish mumkinligi
masalasini ko‘ raylik.
4- ta’ rif. Mantiq algebrasidagi istalgan f ( x [, x, ) funksiyani
Ф sistemadagi (pt ,(p2 ,...,ф я funksional elementlardan yasalgan sxema
orqali realizatsiya qilish mumkin ho ‘Isa, bu funksional elementlar
sistemasi to 4iq sistema deb ataladi. Biz yuqorida sxema realizatsiya qiladigan funksiya shu sxemani yasashda foydalanilgan funksional elementlar realizatsiya qiladigan funksiyalaming superpozitsiyasidan iborat ekanligini ko‘rgan edik. Demak, F = „ } funksiyalar sistemasi Post teoremasining shartlarini qanoatlantirgan taqdirdagina, Ф = ( ф ,,ф 2,...,ф п) sistemasidagi funksional elementlar orqali mantiq algebrasining istalgan funksiyasini realizatsiya qiladigan sxema yasashimiz mumkin ekan. Bu yerdan funksional elementlardan yasalgan sxemalar tili mantiq algebrasi
funksiyalarining superpozitsiyasi tiliga ekvivalentligi kelib chiqadi.
1- misol. Ft = { x y ,x v y ,x } funksiyalar sistemasi to‘ liq bo'lganligi
uchun, Zoning elementlarini mos ravishda realizatsiya qiladigan ф,,ф2,ф3
elementlardan iborat Ф, = {
2- misol. F2 = { x y ,x v y ) funksiyalar sistemasi to‘ liq bo‘ lmagani
uchun, Zoning elementlarini mos ravishda realizatsiya qiladigan
elementlardan iborat Ф2 = { ф ,,ф 2} sistema to‘ liq b o ‘ lmaydi. ■
3- misol. F3 = { x y ,x } funksiyalar sistemasi to‘ liq b o ‘ lgani uchun,
F3ning elementlarini mos ravishda realizatsiya qiladigan ф,,<р3
elementlardan iborat Ф3 = { ф ,,ф 3} sistema ham to‘ liq bo‘ ladi. ■
4- misol. F4={ x v v , x } funksiyalar sistemasi to ‘ liq b o ‘ lgani
uchun, F4 ning elementlarini m o s ravishda realizatsiya qiladigan ф2,ф 3
elementlardan iborat Ф4 = {ф2,ф3} sistema ham t o ‘ liq b o ‘ ladi. ■
5- misol. Ф1 ={<р1,(р2} va bo'lsin. ф, funksional
element xy funksiyani, ф2 esa x funksiyani realizatsiya qiladi. Bu
funksional elementlar orqali x v у , x —> у , x <-> у , x + у , 0 va 1
elementar funksiyalami realizatsiya qilish talab etilsin.
Yuqoridagi misollardan ko‘ rinib turibdiki, ixtiyoriy f ( x 1,x 2,...,x n)
funksiyani sxema orqali realizatsiya qilish uchun:
1) berilgan Ф sistemadagi (p^(p2,...,(pn funksional elementlardan ko‘ p
pog‘ onali sxema tuzishga to‘ g ‘ ri keladi;
2) ko‘p pog‘ onali sxemani yuqoridan pastga qarab yasashga to‘ g ‘ ri
keladi;
3) sxemaning ozod chiqishli funksional elementi kirishlariga shunday
signallar majmuasini berish kerakki, uning chiqishida qurilayotgan sxema
realizatsiya qilishi kerak bo‘ lgan f funksiyaga mos keladigan signal
paydo b o ‘ Isin;
4) sxemaning ichki funksional elementlari kirishlariga shunday
signallar majmuasini berish kerakki, uning chiqishida kerakli signal paydo
bo isin.
Berilgan qurilmaning sxema ekanligini uning ta’ rifiga asosan aniqlash
mumkin. Ammo sxema emasligini aniqlash uchun berilgan qurilmaning
sxemaga loyiq bo‘ lgan xususiyatlarga ega emasligini ko‘rsatish kerak
boiadi.
5- ta’ rif. (pl ,(p2,...,

chiqishi ф3 elementning kirishiga va hokazo, (pk_l elementning chiqishi

kirishiga ulangan b o ‘Isa, и holda bunday qurilma sikl va qurilmada
teskari bog‘lanish bor deb aytiladi.
Teorema. (pl ,(p2,...,(pn funk­sional elementlardan yasalgan S qurilma:
1) (pt ( / = 1,...,и) elementlardan faqatgina bittasining chiqishi ozod b o ‘lsa;
2) har bir (pj elementning kirishi faqatgina (pj elementlardan bittasi­ning chiqishi bilan ulangan bo isa;
3) S qurilmada sikl (teskaribogianish) mavjud boimaganda va faqat shundagina sxema bo‘ ladi
Teoremani isbot qilishni o ‘ quvchilarga havola qilamiz.

XULOSA

Pedagogika universitetlari va pedagogika institutlari matematika, fizikamatematika fakultetlari bakalavr talabalari uchun darslar, matematik analiz kursining qatorlar nazariyasiga oid mavzu va unda ko’p uchraydigan misollar yechimiga to’xtalib o’tdik.. Ushbu kurs ishini yozishda, mavzuni batavsil bayon qilish va talabalar foydanayotganda mavzuni yaxshi tushunib yetishlari uchun soda tilda yozishga harakat qilindi. Ushbu kurs ishi pedagogika oliy ta’lim muassasalari matematikani o‘qitish bakalavriat ta’lim yo‘nalishida tahsil olayotgan talabalar uchun mo‘ljallangan bo‘lib, “Matematik analiz” fan dasturiga mos yozilgan. O’quv qo’llanma funksiyani texnikaga tatbiqi mavzusiga mos bo’lib ikkita bobdan tashkil topgan. Bunda matematik analiz dasturida funksiyalar bo‘limi bo‘yicha ko‘rsatilgan barcha mavzulardan nazariy va qisman amaliy materiallar keltirilgan. Kurs ishini tayyorlashda ta’lim bosqichlari orasidagi izchillikka va ta’limning kasbiy yo‘nalganlik tamoyillariga, hamda ustozlarning qo’llanma kitoblariga asoslangan holda va Nizomiy nomidagi pedagogika universiteti o’qituvchilaring ko’p yillik tajriba va foydali materiallaridan foydananilgan. Kurs ishining tuzilishi, mavzularning tanlanishi mana shu tajribalar natijasi bo‘lib, shuningdek, shu paytgacha o‘zbek tilida mavjud bo‘lgan darslik va o‘quv qo‘llanmalardan, horijiy davlatlarda chop etilgan yangi adabiyotlardan ijobiy foydalanildi. Foydalanilgan adabiyotlardagi atamalar, tushunchalar v a belgilashlarni saqlab qolishga harakat qilindi. Nazariy va qisman amaliy materiallarni mukammal o‘zlashtirishni ta’minlash maqsadida har bir bob so‘ngida amaliy misollar yechimlari berildi. Kurs ishida teorema, ta’rif, misol, formulalar har bir paragraf bo‘yicha, rasmlar har bir bo‘lim uchun alohida nomerlangan. Kurs ishi yozish davomida teoremalar isbotlariga mukammal yondashilgan holda, har bir teoremaga oid millar ham keltirib o’tilgan.

“Matematika va fizikani o’qitishda pretmetlararo aloqadorlikni amalga oshirish metodikasi” mavzusidagi kurs ishini yozish davomida mavzuga oid ilmiy-pedagodik, ilmiy-metodik adabiyotlar, matematika va fizikaga oid umumiy o‘rta ta’lim maktablari va o‘rta mahsus ta’lim muassalari darsliklari, o’quv qo’llanmalarini o’rganish, tahlil qilish asosida kurs ishini shakllantirishda quyidagi xulosalarga kelindi:

1. Maktablarda va o‘rta maxsus kasb-hunar ta’lim muassasalarida matematika va fizikani o’zaro aloqadorlikda integrassiyalash tamoili asosida o’qitish ushbu fanlarni o‘qitishning sifat va samaradorligining oshishiga xizmat qiladi. O’quvchilarda integrativ tasavvurlarni shakllanishiga, dunyoqarashini o’sishiga xizmat qiladi.
2. Matematika va fizika o’quv fanlarini o’qitishda son tushunchasi, vektor tushunchasi, funksiya tushunchasi, xosila tushunchalarini o’qitishda o’zaro aloqadorlikni amalga oshirish imkoniyatlari ochib berildi va bunday aloqadorlikni amalga oshirish yo’llari, usullari ko’rsatildi.
3. Kurs ishini yozish davomida to‘plangan materiallar, xulosa va tavsiyalardan, dars ishlanmalarining namunalarida kelajakda amaliyot faoliyatda foydalanish mumkin. Xulosa qilib aytish mumkinki, o’rta maxsus, kasb-hunar ta’limini rivojlantirishda matematika va fizikani o’zaro aloqadorlikda o’qitish ta’lim sohasida an`anaviy o`quv jarayoniga, uning samarasini oshirishga ta’sir ko’rsatishning yangi imkoniyatlarini yaratadi. Bu esa o’sib kelayotgan yosh avlodni komil inson va hozirgi zamon talablariga javob bera oladigan, eng muhimi har tomonlama yetuk kadr sifatida kamol topishiga keng yo’l ochib beradi.