Kurs ishi bajardi: Matematika

Giperboloidlar
Giperboloidlar ikki hil bo’ladi. Agar giperboloni mavhum o’qi atrofida aylantirsak, hosil bo’lgan sirt bir pallali aylanma giperboloid deb ataladi va bu sirt tenglamasi . (1)
ko’rinishda yoziladi. Agar giperboloidni haqiqiy o’q atrofida aylantirsak, hosil bo’lgan sirt ikki pallali aylanma giperboloid deb ataladi va bu sirtning tenglamasi :
(2)


ll. Ikkinchi tartibli sirtlarning to’g’ri chiziqli yasovchilari
Biz yuqorida ikkinchi tartibli sirtlarning turli sinflari bilan tanishdik.Unda sirtlar bir biridan tenglamalari yoki tariflari bilan farq qilar ekan. Endi bu sirtlarni biz boshqa nuqtai nazardan ikki sinfga ajratamiz: ulardan biriga ikkinchi tartibli shunday sirtlarni kiritamizki ular o’z tarkibiga to’g’ri chiziqlarni to’liq olsin, bunday sirtlar to’g’ri chiziqli sirtlar deyiladi; ikkinchi tartibli slindr va konuslar bularga yaqqol misol bo’la oladi. Ikkinchi sinfga esa tarkibida bitta ham to’g’ri chiziq bo’lmagan ikkinchi tartibli sirtlarni kiritamiz, ravshanki, ellipsoid chegaralangan sirt bo’lgani uchun uning tarkibida to’g’ri chiziq yo’q, demak, ellipsoid ikkinchi sinfga kiradi. Sirtlar tarkibidagi to’g’ri chiziqlar shu sirtlarning yasovchilari deyiladi. Tarkibida cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar mavjud bo’lgan sirtlar (konus va slindrdan boshqa ) yana bormi degan savolga javob izlaymiz.
2.1-§. Giperbolik paraboloid.

Buning uchun giperbolik paraboloidni tekshirib ko’raylik:

(x² /p)-(y²/q)=2z, p>0, q>0 (1)
Shu sirtga tegishli tayin M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtani olaylik. M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtadan o’tib (1) paraboloid tarkibida bo’lgan to’gri chiziqlarni izlaylik, buning uchun M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziqni parametrik tenglamasini yozaylik
U: x=x₀+lt
y=y₀+mt (2)
z=z₀+nt
bunda l, m, n yo’naltiruvchi vektorning koordinatalari bo’lib shularni va M₀(x₀, y₀, z₀) ni berish bilan U to’g’ri chiziqning vaziyati aniq bo’ladi.Bu yo’naltiruvch vektorning yo’nalishi xattoki l:m:n nisbat bilan ham to’liq aniqlanadi. Shu nisbatni izlaylik.

1. 
   va (2) dan:
   

[(x₀+lt)²/p]-[(y₀+mt)²/q]=2(z₀+nt)
yoki
-n)t+(
M₀(x₀, y₀, z₀) giperboloidga tegishli bo’lgani uchun uchinchi qavs ichidagi ifoda no’lga tengdir, shuni e’tiborga olsak,
-n)t=0 (3)
Agar U to’g’ri chiziq giperbolik paraboloid tarkibida bo’lsa, u holda (3) tenglik t ning har qanday qiymatida o’rinli bo’lishi kerak, demak,

–n=0 (4)
Aksincha, (4) bajarilsa, U (1), demak, (4) shartlar to’g’ri chiziqning giperbolik paraboloidga to’liq tegishli bo’lishi uchun zaruriy va yetarli shartlar ekan.
(4) ning birinchisidan:
m=± yoki m₁= , m₂=-
bulardan:
:
= : (5)
(5) ning har birini (4) ning ikkinchisi bilan birgalikda yechilsa,
: : )
= : : ) (6)
Bundan ko’rinadiki, paraboloidning M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtasidan yo’nalishi (6) tengliklar bilan aniqlanadigan ikkita to’g’ri chiziq o’tib ular giperbolik paraboloidning yasovchilari ro’lini o’ynaydi.
Endi ={ } vektorga parallel bo’lgan yasovchi bilan
П₁: (7)
Tekislikning o’zaro vaziyatini tekshiraylik. Bu tekislikning normal vektori
=(
bo’lgani uchun (6) ning birinchisini e’tiborga olsak,
+(- + )*0=0 * =0 u₁
yasovchi (7) tekislikka paralleldir.
Xuddi shunga o’xshash, ={ } vektorga parallel bo’lgan u₂ yasovchi П₂: =0 tekislikka parallel bo’ladi.
Giperbolik paraboloidning barcha yasovchilarini ikki oilaga shunday ajratamizki, birinchi oilaga faqatgina П₁ tekislikka parallel bo’lganlari kiradi, ikkinchi oilaga П₂ tekislikka parallel bo’lganlari kiradi.(Shuni eslatamizki, bu ikki oilaga kirmagan yasovchi qolmaydi, chunki biz yuqorida giperboloidning har bir nuqtasidan faqatgina ikkita yasovchi o’tishini va bu yasovchilardan biri П₁ ga, ikkinchisi П₂ ga parallel ekanligini isbotladik). U holda