Kurs ishi bajardi: Matematika

Yechilishi: , .

Tenglamadagi ni bilan, ni bilan almashtirsak,

bo`lib, uni soddalashtirsak, konus tenglamasi hosil qilinadi:

Ta`rif-3.Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
(12)

ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa , u konus deb ataladi.Bu tenglamada , munosabatlar bajarilishi talab qilinadi.
Konus tenglamasidan ko’rinib turibdiki,u koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan,koordinata boshi esa uning simmetriya markazidir.Bundan tashqari,agar nuqta konusga tegishli bo’lsa, va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqdagi har bir nuqta konusga tegishlidir.
Aylanma sirtlar
Q tekislikda biror L chiziq va l to’g’iri chiziq berilgan bo’lsin.
Ta’rif. L chiziqning l to’g’ri chiziq atrofida aylanishidan hosil bo’lgan F figura aylanma sirt deb ataladi. Bunda L aylanma sirtning mediani, l aylanish o’qi deb atadi.
Ravshanki, L chiziqning har bir nuqtasi l atrofida aylanishida biror aylanani hosil qilib, bu aylananing markazi to’g’ri chiziqda bo’ladi.Aylanma sirtning tenglamasini keltirib chiqaramiz.
Dekard koordinatalar sistemasini shunday tanlab olamizki, bunda Q-(Oz) o’q hamda L:F(x;y)=0 bo’lsin. L chiziqning (Oz) o’q atrofida aylanishdan f sirt hosil bo’lgan bo’lsin. M (x;y;z) shu sirtga tegishli ixtiyoriy nuqta bo’lsin. M nuqtadan Oz o’qqa perpendikulyar o’tkazsak, kesimda markazi nuqtada bo’lgan biror aylana hosil qilinadiki, u L chiziq bilan nuqtada bo’lgan biror aylana hosil qilindiki, u aylana L chiziq bilan nutada kesishsin. U holda ning koordinatalari (0;0;z) bo’ladi. Kesim aylanadan iborat bo’lgani uchun: . (4)
Bu masofalar ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko’ra quyidagicha bo’ladi:
,
Bu qiymatlarni (4) tenglikka qo’yamiz:
bo’lgani uchun:
(5)
(5) tenglama L chizini Oz o’q atrofida aylantirishdan hosil bo’lgan aylanma sirtning tenglamasidir. Agar L chiziqni mos ravishda Ox vaOy
o’qlar atrofida aylantirsak, hosil bo’lgan sirtlarning tenglamalari mos ravishda
va (6)
bo’ladi .
1-misol: OYZ tekislikda joylashgan ellips; b) giperbola; c) parabola; ning OZ o’q atrofida aylanishidan hosil bo’lgan aylanma sirtlarning tenglamalarni tuzing.
Yechish: (4) formulaga asosan:
Ellipsni Oz o’q atrofida aylantirsak, yoki
sirt hosil bo’lib, aylanma ellipsod deb ataladi;
Giperbolani Oz o’q atrofida aylantirsak, yoki sirt hosil bo’lib, u giperboloid deb ataladi;
Parabolani Oz o’q atrofida aylantirsak, yoki sirt hosil bo’lib, u holda, aylanma paraboloid deb ataladi.
2-misol: y=x to’g’ri chiziqning Ox o’q atrofida aylnishidan hosil bo’lgan aylanma sirt tenglamasini tuzing.
Yechish. Y=x to’g’iri chiziq tenglamasida y ni bilan almashtiramiz:
yoki , bu izlanilayotgan aylanma sirt tenglamasi bo’lib, u doiraviy konus sirtdan iboratdir.