Ko’phadlarning qiymatini gorner sxemasi bilan hisoblash. Ko’PHADNI Ko’phadga bo’lishda bo’linma va qoldiq

KO’PHADLARNING QIYMATINI GORNER SXEMASI BILAN HISOBLASH. KO’PHADNI KO’PHADGA BO’LISHDA BO’LINMA VA QOLDIQ

Algebraik tenglamalarni ildizlarini topish bilan bog’liq masalalarda ko’phadlar va ularning hosilalari qiymatlarini ko’p nuqtalardahisoblashga to’gri keladi. Ayrim metodlarda esa ko’phadni ko’phadga bo’lganda hosil bo’lgan bo’linma va qoldiqning qiymatini topish kerak bo’ladi. Biz bu paragrafda mana shu amallarning effektiv usullarini ko’rib chiqamiz.

1) Gorner sxemasi. Faraz qilaylik, koeffitsiyentlari a a_{0 1}, ,...,a_n haqiqiy sonlardan iborat
P xn( )  a x0 n  a x1 n1 ... an1x  an ko’phadning x   nuqtadagi qiymatini hisoblash talab qilinsin. P x_n( ) nix  ga bo’lamiz, u vaqtda
a x₀ ⁿ  a x₁ ^n1 ... a_n  (b x₀ ^n1 bx₁ ^n2 ...b_n1)(x  ) b_n (1)
ga ega bo’lamiz. Bu tenglikda xni o’rniga  ni quysak, b_n  P_n( )
kelib chiqadi, P_n( ) ni hisoblash uchun b_n ni topish kifoyadir. (1) tenglikda xning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib,
a₀ b₀ a₁ b₁ b₀ a₂  b₂ b₁,
...................
an  bn1 bn2
munosabatga ega bo’lamiz. Bu tengliklardan ketma-ket b b₀, ₁,...,b_n larni topamiz:
b0  a0 b₁  a₁  b₀
b₂  a₂  b₁ (2)
...................
bn  an1  bn2
Qulda yoki klavishli mashinada hisoblaganda ( ) tengliklarni quyidagi a₀ a₁ a₂ a₃ … a_n1 a_n
b^0 b₁ b₂ … b_n2 b_n1
b₀ b₁ b₂ b₃ … b_n1 b_n  P_n( )
sxema shaklida joylashtirish ma’kuldir, bu yerda b₀  a₀ bo’lib, oxirgi qatorda boshqa sonlarning har biri uning ustida turgan ikkita sonning yig’indisiga teng.
Keltirilgan sxema Gorner sxemasi deb ataladi, u Gorner tomonidan 1819 y. e’lon qilingan edi. Agar biz ( ) tenglikda х=1 deb olsak, hisoblashning to’gri yoki noto’g’riligini tekshirish imkonini beradigan
a₀  a₁ ... a_n b_n  (1)(b₀ b₁ ...b_n1)
munosabatga ega bo’lamiz. Agar faqat b_n  P_n( ) ni hisoblash talab qilinsa, u holda Gorner sxemasini quyidagicha
P_n( ) (...((a₀ a₁) a₂ )... a_n1) a_n
yozib olamiz. Bu usul ko’phad qiymatini hisoblash uchun haqiqatan ham effektiv usuldir. Chunki ( ) formula yordamida P_n( ) ni hisoblayotganda biz faqat n marta ko’paytirish amalini bajaramiz. Oddiy yo’l bilan hisoblaganda esa  ², ³,...,ⁿ darajalarni hisoblash uchun n-1 marta ko’paytirish amalini va a₀ⁿ,a₁^n1,...,a_n1 ko’paytmalarni hosil qilayotganda yana n ta ko’paytirish amalini, hammasi bo’lib 2n-1 ta ko’paytirish amalini bajarishga to’g’ri kelar edi.
Misol. Quyidagi
P x₄ ( )  2x⁴  5x³  3x² 1
ko„phadning х=1,5 nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz: Demak, P₄ (1,5)  1,25.