Kо‘p о‘zgaruvchili funksiya va uning limiti 10. Kо‘p о‘zgaruvchili funksiya tushunchasi

6-teorema. (Kantor). Agar funksiya chegaralangan yopiq tо‘plamda uzluksiz bо‘lsa, funksiya shu tо‘plamda tekis uzluksiz bо‘ladi.

◄Faraz qilaylik, funksiya chegaralangan yopiq tо‘plamda uzluksiz bо‘lib, u shu tо‘plamda tekis uzluksiz bо‘lmasin. Unda biror son va uchun tо‘plamda

tengsizlikni qanoatlantiruvchi shunday

nuqtalar topiladiki,

bо‘ladi. Ravshanki,

ketma-ketlik chegaralangan. Undan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin:

da va

Masofa xossasidan foydalanib topamiz:

Keyingi munosabatdan, da limitga о‘tish bilan

bо‘lishini topamiz. funksiya tо‘plamda, jumladan nuqtada uzluksiz. Unda da

bо‘lib, undan

bо‘lishi kelib chiqadi. Bu esa

deb qilingan farazga ziddir. Demak, funksiya tо‘plamda tekis uzluksiz.►

Aytaylik, fazoda biror tо‘plam berilgan bо‘lsin: . Ushbu

miqdor tо‘plamning diametri deyiladi.

6-ta’rif. funksiya tо‘plamda aniqlangan bо‘lsin. Unda


son funksiyaning tо‘plamidagi tebranishi deyiladi.

Natija. funksiya chegaralangan yopiq tо‘plamda uzluksiz bо‘lsa, u holda son uchun shunday son topiladiki, tо‘plamning diametri dan kichik bо‘lgan tо‘plamlarga shunday ajratish mumkinki,

,

har bir da

bо‘ladi.

◄Natijaning shartidan funksiyaning tо‘plamda tekis uzluksizligi kelib chiqadi. Unda ta’rifga binoan uchun shunday topiladiki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqtalarda

bо‘ladi.

Ravshanki, nuqtalar uchun

tengsizlik bajariladi. Demak,

.

Keyingi tengsizlikdan

,

ya’ni

bо‘lishi kelib chiqadi.►