Kompyuter grafikasi tarixi

1.1-rasm. 1.2-rasm. 1.3-rasm
9 – 14 maruza

To‘g‘ri chiziqning tekislikka perpendikulyarligi

Ta’rif. Agar to‘g‘ri chiziq tekislikdagi ikki o‘zaro kesishuvchi to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lsa, bu to‘g‘ri chiziq tekislikka ham perpendikulyar bo‘ladi.

Bunda bP va cP, bc hamda ab va ac bo‘lsa, aP bo‘ladi (113-rasm). Demak, tekislika perpendikulyar bulgan to‘g‘ri chiziq tekislikning asosiy chiziqlariga ham perpendikulyar bo‘ladi. Faraz qilaylik, a to‘g‘ri chiziq tekislikning h gorizontali va f frontaliga perpendikulyar bo‘lsin (114-a, rasm).
To‘g‘ri burchakning proyeksiyalanish xususiyatiga muvofiq  AKD=90^o bo‘lib, KD∥H bo‘lgani uchun bu to‘g‘ri burchakning gorizontal proyeksiyasi  A′K′D′=90^o bo‘ladi. Demak, A′K′C′D′ yoki a′h′ bo‘ladi.
P tekislikning h gorizontalini gorizontal proyeksiyasi h′||P_H bo‘lgani uchun a′P_H bo‘ladi. Shuningdek, a″f″ yoki a″P_V bo‘lishini isbotlash qiyin emas (114,a-rasm). Demak, aP bo‘lsa, a′ h′ va a″ f″ yoki a′P_H va a″P_V bo‘ladi (114,b-rasm).
Fazoda to‘g‘ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo‘lishi uchun, uning gorizontal proyeksiyasi tekislik gorizontalining gorizontal proyeksiyasiga, frontal proyeksiyasi esa tekislik frontalining frontal proyeksiyasiga va profil proyeksiyasi tekislik profilining profil proyeksiyasiga perpendikulyar bo‘lishi kerak.
Agar tekislik chizmada izlari bilan berilgan bo‘lsa, unga perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning bir nomli proyeksiyalari tekislikning bir nomli izlariga mos ravishda perpendikulyar bo‘ladi (115-rasm).
To‘g‘ri chiziq va tekislikning o‘zaro perpendikulyarlik shartidan foydalanib ko‘pgina metrik masalalarni yechish mumkin.
 

a) b)
113-rasm 114-rasm
1-masala. ABC bilan berilgan tekislikning A uchidan unga perpendikulyar o‘tkazilsin (116-rasm).
Echish. Masalani quyidagi algoritm bo‘yicha yechamiz.
1. ABC (A′B′C′, A″B″C″) tekislikning h(h′, h″) gorizontali va f(f′, f″) frontali o‘tkaziladi.
2. Tekislikning A nuqtasining A′ va A″ proyeksiyalaridan ixtiyoriy uzunlikda A′E′h′ va A″E″f″ qilib perpendikulyarning proyeksiyalarini yasaladi.

115-rasm 116-rasm
2-masala. A(A′, A″) nuqta orqali l(l′, l″) to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar tekislik o‘tkazilsin (117-rasm).
Echish. Buning uchun:
 A nuqtaning A′ va A″ proyeksiyalaridan h′l′ va h″||Ox qilib izlangan tekislik gorizontalining proyeksiyalarini o‘tkaziladi;
 A nuqtaning A′ va A″ proyeksiyalaridan f ′||Ox va f ″l″ qilib tekislik frontalining proyeksiyalarini o‘tkaziladi;
 hosil bo‘lgan hf(h′f′  h″f″) kesishuvchi chiziqlar izlangan tekislikni ifoda qiladi.
Tekislikning gorizontali h  l va frontali f  l bo‘lgani uchun bu tekislik l to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘ladi.
3-masala. A(A′, A″) nuqta orqali o‘tuvchi va b(b′, b″) to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan tekislikning izlari qurilsin (118–rasm).
Echish.
 A nuqtaning A′ va A″ proyeksiyalaridan h′∋A′ va h′b′ va h″∋A″ va h″∥Ox qilib tekislikning gorizontali o‘tkaziladi (119-rasm).
 gorizontalning frontal B izining B′ va B″ proyeksiyalarini yasaladi.
 Q tekislikning Q_V frontal izini Q_V∋B″ va Q_Vb″ qilib o‘tkaziladi. Tekislikning Q_H gorizontal izini esa Q_X dan Q_HQ_X va Q_Hb′ (yoki Q_H∥h′) qilib o‘tkaziladi.
 
117-rasm 118-rasm 119-rasm
 
Natijada, Q_Hb′ va Q_Vb" bo‘lgani uchun Qb bo‘ladi. Bu misolni tekislikning frontal chizig‘ini o‘tkazish yo‘li bilan ham yechish mumkin.[1]
N uqta va tekislik orasidagi masofani aniqlash. Nuqtadan tekislikkacha bo‘lgan masofa nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning uzunligi bilan aniqlanadi. Bu perpendikulyarning uzunligini aniqlash uchun uning tekislikdagi asosini yasash zarur.
Nuqtadan tekislikkacha bo‘lgan masofani qo‘yidagi yasash algoritmi bo‘yicha aniqlanadi (120-rasm).
 A nuqtadan Q tekislikka a perpendikulyar o‘tkaziladi: a  A va a  Q.
 Bu perpendikulyarning Q tekislik bilan kesishgan K nuqtasi (asosi) aniqlanadi: K=aQ.
Buning uchun:
 a perpendikulyardan o‘tuvchi yordamchi S  a tekislik o‘tkaziladi;
 Q va S tekisliklarning l kesishish chizig‘i yasaladi;
 a perpendikulyarning tekisliklarning kesishish chizig‘i l bilan kesishgan K nuqtasi topiladi: K=a∩l. Chizmadagi AK kesma A nuqtadan Q tekislikkacha bo‘lgan izlangan masofa bo‘ladi.
1-masala. Berilgan A (A′, A″) nuqtadan Q (Q_H, Q_V) tekislikkacha bo‘lgan masofani aniqlansin (121-rasm).
Yechish. Yuqorida keltirilgan yasash algoritmiga asosan:
 A nuqtaning A′ va A″ proyeksiyalaridan Q tekislikning Q_H va Q_V izlariga mos ravishda perpendikulyarning a′ va a″ proyeksiyalari o‘tkaziladi: a′A′, a′Q_H va a″A″, a″Q_V.
 Bu perpendikulyarning Q tekislik bilan kesishish nuqtasining proyeksiyalarini aniqlash uchun:
o a perpendikulyardan yordamchi gorizontal proyeksiyalovchi S(S_H,S_V) tekislik o‘tkaziladi;
o Q va S tekisliklarning kesishish chizig‘i MN(M′N′,M″N″) bilan a(a′,a″) perpendikulyarning kesishish nuqtasi K ning K′ va K″ proyeksiyalarini aniqlanadi.
 Chizmada hosil bo‘lgan A′K′ va A″K″ izlangan masofaning proyeksiyalari bo‘ladi. Bu masofaning haqiqiy o‘lchami to‘g‘ri burchakli A₀A″K″ ning A₀K″ gipotenuzasi bo‘ladi.
2-masala. D(D′, D″) nuqtadan ABC(A′B′C′, A″B″C″) tekislikkacha bo‘lgan masofa aniqlansin (122-rasm).
Yechish. Masalani quyidagi yasash algoritmi asosida yechiladi.
 ABC tekislikning gorizontal va frontal chiziqlarining proyeksiyalari o‘tkaziladi.
 D nuqtaning D′ va D″ proyeksiyalaridan perpendikulyarning m′ va m″ proyeksiyalari m′D′, m′h′ va m″D″, m″ f ″ qilib o‘tkaziladi.
 Perpendikulyarning ABC tekislik bilan kesishgan nuqtasi D₁ ning D₁′ va D₁″ proyeksiyalarini aniqlanadi.
 

121-rasm 122-rasm
 m perpendikulyardan yordamchi gorizontal proyeksiyalovchi M(M_H, M_V) tekislik o‘tkaziladi;
 ABC va M tekisliklarning kesishish chizig‘ining 3′4′ va 3″4″ proyeksiyalarini yasaladi;
 tekisliklarning kesishish chizig‘i proyeksiyalari 3′4′ va 3″4″ bilan m′, m″ perpendikulyarning kesishish D₁ nuqtasining D₁′ va D₁″ proyeksiyalarini aniqlanadi: D₁″=m″3″4″ va D″m″
Chizmada hosil bo‘lgan D′D₁′ va D″D₁″ proyeksiyalar izlangan DD₁ masofaning proyeksiyalari bo‘ladi. Uning haqiqiy o‘lchami to‘g‘ri bo‘rchakli D₀D″D₁″ning D₀D₁″ gipotenuzasidan iborat bo‘ladi.

123-rasm 124-rasm
Agar tekislik xususiy vaziyatda berilsa, u holda berilgan nuqtadan tekislikkacha bo‘lgan masofani aniqlash uchun qo‘shimcha yasashlar talab qilinmaydi. Masalan, A(A′, A″) nuqtadan N(N_H, N_V) frontal proyeksiyalovchi tekislikkacha bo‘lgan masofaning haqiqiy o‘lchami (123-rasm) nuqtaning frontal A″ proyeksiyasidan tekislikning N_V frontal iziga tushirilgan perpendikulyarning A″K″ frontal proyeksiyasiga teng bo‘ladi.
124-rasmda F(F′, F″) nuqtadan gorizontal proyeksiyalovchi ABC(A′B′C′, A″B″C″) tekislikkacha bo‘lgan masofani aniqlash tasvirlangan.[2]