Kompleks sonning algebraik, geometrik, trigonometrik va ko’rsatkichli shakllari. Kompleks sonlar ustida amallar

Funksiya uzluksizligi. Uzilish nuqtalari va uning turlari.

Berilgan y=f(х) funksiyaning х=а nuqtadagi qiymati y₀=f (х₀) bo’lsin. Argument x ning boshlang’ich a va biror x qiymatlarini ko’raylik. x-a ayirma argumentxning a nuqtadagi orttirmasi deyiladi va orqali belgilanadi.

y-y₀=f (х)-f (а) ayirmaga f (х) funksiyaning х=а nuqtadagi orttirmasi deyiladi va y orqali belgilanadi.

х=х-а, y=y-y₀=f(х)-f(а) ёки х=а+ х, y=y₀+ y бo’либ y= f (а+ х)-f (а) .

Мисол.y=х² funksiyaning x=a nuqtadagi funksiya orttirmasini hisoblang.

y=f (а+ х)-f (а)=(х+а) ²-а²=2а х +( х)² .

Endi funksiyaning uzluksizligiga o’taylik. y=f (x) funksiya biror x=a nuqtada va uning atrofida aniqlangan bo’lib, x=a da y=f (a) bo’lsin.

1-ta’rif. Agar f(x) funksiyaning x a da limiti mavjud bo’lib f(x)=f(a) bo’lsa f(x) funksiya x=a nuqtada uzluksiz deyiladi.

Demak f(x) funksiya x=a nuqtada uzluksiz bo’lsa,

f(x)=f(a) (1)

tenglik o’rinli bo’ladi.

2-Ta’rif. Agar y= f(x) funksiyaning x=a nuqtadagi o’ng limiti

f(x)= f(a) yoki chap limiti f(x)= f(a) lar mavjud bo’lsa, u holda f(x) funksiyani x=a nuqtada o’ngdan yoki chapdan uzluksiz deyiladi.

3-ta’rif. Agar f(x) funksiya biror intervalning xar bir nuqtasidauzluksiz bo’lsa, funksiyani shu intervalda uzluksiz deyiladi.

4-ta’rif. Agar f(x) funksiya x=a nuqtada aniqlanmagan bo’lsa yoki f(x) limit mavjud bo’lmasa yoki (1) tenglik o’rinli bo’lmasa, f(x) funksiyani a nuqtada uzlukli (yoki a nuqtada uzilishga ega) deyiladi. a nuqtaga f(x) funksiyaning uzilish nuqtasi deyiladi.

5-ta’rif. Agar f(x)= f(a+0), f(x)= f(a-0) chekli limitlar mavjud bo’lib, lekin ular o’zaro teng bo’lmasa, f(x) funksiyani a nuqtada -tur uzilishga ega deyiladi.

1-tur uzilishga kirmaydigan, barcha uzilishlarga -tur uzilish deyiladi.

Мисол.1. f(х)= funksiyaning x=5 nuqtada uzluksiz ekanligini ko’rsating. f(5)= =3; f(х)= = =3; f(х)= f(5)=3.

2. f(х)= (х 0). =+ ; =+

Demak funksiya x=0 nuqtada ikkinchi tur uzilishga ega.

Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning uzluksizligi.

Teorema. Agar funksiyalar x=a nuqtada uzluksiz bo’lsa,u holda

f₁(x) f₂(x), f₁(x) f₂(x) va (f₂(a) 0) funksiyalar xam shu x=a nuqtada uzluksiz bo’ladi.

Endi kesmadagi uzluksiz funksiyalarning quyidagi ikkita xossasini ko’rib o’taylik.

1-teorema. Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo’lsa, u xolda bu funksiya shu kesmada o’zining eng katta va eng kichik qiymatiga erishadi.

2-teorema. Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo’lib, bu kesma uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u xolda a va b nuqtalar orasida xech bo’lmaganda shunday bir x=c (a

Misollar

Quyidagi funksiyalarining uzluksizligini ko’rsating.(1-7)

1. 2. 3. х

4. 5. 6. 7.

аning qiymatida f(x) funksiya uzluksiz bo’ladi. (8-11)

8. 9.

10. 11.
12. аva b ning qanday qiymatlarida f(x) funksiya uzluksiz bo’ladi.

Quyidagi funksiyalarining uzilish nuqtalarini aniqlang.(13-29)

13 14. 15 .

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23.

24 25.

26. 27.

28. 29. .

30. funksiya nechta uzilish nuqtaga ega.

Quyidagi funksiyalarining nechanchi tur uzilishga ega. (31-38)

31. 32.

33. 34. ,

35. 36. ,

36. 38.