Kompleks sonni geometrik tasvirlash. Kompleks sonning trigonometrik shaklda yozilishi. Trigonometrik shakldagi

Kompleks sonni geometrik tasvirlash. Kompleks sonning trigonometrik shaklda yozilishi. Trigonometrik shakldagi komleks sonlar ustida amallar
kompleks sonni geometrik tasvirlash uchun to’g’ri burchakli Dekart koordinatalari sistemasidan foydalanamiz. Bunda o’qida birlikni, o’qida birlikni ajratib ularning oxirlaridan o’qlarga perpendikulyarlar o’tkazamiz. Ular o’zaro kesishib nuqtani hosil qiladi. Bu nuqta kompleks sonning tekislikdagi geometrik tasviri bo’ladi. Demak, har bir kompleks songa tekislikda bitta nuqta mos kelar ekan va aksincha tekislikdagi har bir  nuqtaga bitta kompleks son mos keladi (1-chizma). Bu esa kompleks sonlar to’plami bilan tekislik nuqtalari orasida bir qiymatli moslik borligini anglatadi. Shunday qilib, tekislikni kompleks sonlar tekisligi deb qarash mumkin ekan.
Koordinatalar boshi nuqta bilan  nuqtani birlashtiruvchi kesma uzunligi ga kompleks sonning moduli deyiladi va kabi belgilanadi.
Pifagor teoremasiga asosan,
bo’lishi ravshan.
vektor bilan o’qi orasidagi burchakka kompleks sonning argumenti deyiladi va  kabi belgilanadi. Demak, . 1-chizmadan ko’rinadiki,
yoki bo’lib, bular yordamida kompleks sonning argumentini topish mumkin. Ulardan ifodalarga ega bo’lib, bundan esa  kompleks sonni
ko’rinishda yozish mumkinligini aniqlaymiz. Kompleks sonning bu ko’rinishiga uning trigonometrik shakli deyiladi. Kompleks sonning bunday ko’rinishda yozilishi bir qator qulayliklarga olib keladi.
Aytaylik va kompleks sonlar berilgan bo’lsin. Bu yerda , , va . U holda va lar quyidagicha aniqlanadi.
Trigonometrik shaklda berilgan  kompleks
son uchun va larni quyidagicha aniqlash mumkin:
Bu formulalar Muavr formulalari deyiladi.
Kompleks sonlar - {\displaystyle a+bi}  koʻrinishidagi sonlar, bunda {\displaystyle a}  va {\displaystyle b}  haqiqiy sonlar, {\displaystyle i}  esa mavhum birlik. {\displaystyle i^{2}=-1}  shartni qanoatlantiruvchi mavhum birlikda kompleks sonning haqiqiy qismi, b esa mavhum qismi deyiladi; b=Q boʻlganda Kompleks son haqiqiy, feO va a=0 boʻlganda Kompleks son — sof mavhum son boʻladi. Har bir a+b Kompleks son geometrik jihatdan tekislikning koordinatalari a va b dan iborat nuqtalari orqali tasvirlanadi. Agar bu nuqtaning qutb koordinatalarini g va j orqali belgilasak, u holda mos Kompleks sonni r(cos
I. Muavr formulasi kelib chiqadi: (cosq> + sincp)" = cos"
{\displaystyle \mathbb {C} }  bilanbelgilanadi. {\displaystyle \mathbb {C} }  maydon haqiqiy sonlar maydonining kengaytirilganidir. Tarixan kompleks son ikkinchi darajali tenglamalarni yechish munosabati bilan kiritilgan. Kub tenglamaning haqiqiy ildizlarini topish masalasi kompleks son ustida amallar bajarishni talab qiladi.