Комплекс сонлар. Комплекс сонллар устида алгебраик амаллар. 6– м а ъ р у з а

5-мисол. Мавҳум бирлик i нинг натурал даражаси учун формула топинг.
Ечиш.
Умуман,
6-мисол. ни ҳисобланг.
Ечиш.
2. Комплекс сондан илдиздан чиқариш.
Бу амал даражага кўтариш амалига тескари амалдир. Комплекс соннинг n даражали илдизи деб, шундай W сонга айтиладики, бу соннинг даражаси илдиз остидаги сонга тенгдир, яъни агар
бўлса, деб ёзиш мумкин бўлади.
Агар ва
бўлса, у ҳолда:
(12.3)
Муавр формуласига биноан:
Бундан ва ни
топамиз:
Бунда k - исталган бутун сон, -арифметик
илдиз. Демак,
(12.4)
(12.5)
(12.6)
k га қийматлар бериб, илдизнинг n та ҳар хил қийматига эга бўламиз, бу қийматларнинг модуллари бир хил. да илдизнинг топилган қийматлари билан бир хил бўлган қийматлар ҳосил бўлади. n та илдизнинг ҳаммаси маркази координаталар бошида бўлиб, радиуси га тенг айлана
(12.7)
ичига чизилган мунтазам n томонли кўпбурчак учларида ётади.
3. Кўрсаткичи комплекс бўлган кўрсаткичли функция. Эйлер формуласи, унинг қўлланиши.
Таъриф. Агар комплекс ўзгарувчи z нинг бирор комплекс қийматлар соҳасидаги ҳар бир қийматга бошқа W комплекс миқдорнинг аниқ қиймати мос келса, у ҳолда W комплекс ўзгарувчи z нинг функцияси дейилади ва
ёки каби белгиланади.
Биз комплекс ўзгарувчининг битта функция-си - кўрсаткичли функцияни қараймиз:
ёки
бу функция бундай аниқланади:
Агар бу формулада десак, у ҳолда
Бу формула мавҳум кўрсаткичли даражали функцияни тригонометрик функциялар
(12.8)
(12.9)
(12.10)
орқали ифодаловчи Эйлер формуласидир.
Комплекс сонни тригонометрик шаклда ифодалаймиз:
Эйлер формуласи бўйича:
Шундай қилиб, ҳар қандай комплекс сонни кўрсаткичли шаклда ифодалаш мумкин:
(12.11)
(12.12)
(12.13)
Мисол. сонларни кўрсаткичли шаклда ифодаланг.
1) Агар бўлса, бўлади, шу сабабли
2) шу сабабли:
3) шу сабабли:
Кўпайтириш, бўлиш, даражага кўтариш ва илдиз чиқариш амаллари кўрсаткичли шаклда осон бажарилади.
бўлсин. У ҳолда:
Бу формулалар шу амалларнинг ўзи учун тригонометрик шаклда чиқарилган формулалар билан бир хил.